圆的基本性质复习课教案(市公开课)

圆的基本性质复习课

宁波东海实验学校 丁燕波

教学目标：

1． 在例题的分析过程中回顾并进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性；

2． 在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆

定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；

3． 通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的

能力。

4． 通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。

教学重点：圆的轴对称性、旋转不变性

教学难点：相关性质的应用

一、引入：

师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？

生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。

师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？ 生：折痕是直径。圆具有轴对称性。

师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？

生：因为它们所对的圆心角相等。

师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。这说明圆具有一种旋转不变性。圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。今天这节课我们来复习圆的基本性质。—出示课题《圆的基本性质复习》。

二、圆的基本性质复习：

例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且

OD//AC 。求证：CD=BD

师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，

合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每

组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。

（学生分组交流，一会后学生汇报成果。）

组一：连接OC ，OD AC // COD ACO BOD A ∠=∠∠=∠∴,

OC OA = ∴ACO A ∠=∠DOB COD ∠=∠∴ BD CD =∴

师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？

组二：连接AD ，OD AC // ，

OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD

师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦

相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同

弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所

对的弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。

（边总结，边在黑板上抽离基本图形）

师：还有其他方法吗？

组三：连接BC ， AB 是直径 0

90=∠∴ACB AC//OD OD BC ⊥∴

由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD

师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画

出这个基本图形）

垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的

关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的轴对称性。

而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；

而090的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图

形。）连直径，作直角是圆中常添的辅助线方法。在圆中构造直角，

还常作弦心距，弦心距、弦的一半、半径构成一个直角三角形，这在计算题中用得较多。 师：还有其他方法吗？

组四：延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE 。

OD AC // ∴弧AE=弧CD ∴AE=CD

BOD AOE ∠=∠ BD AE =∴ ∴CD=BD

师：这也是圆中的一种基本图形，由弦平行，可以得到所夹弧相等。

这个结论我们书上证明过，可以证一对内错角又是圆周角相等得到。

若不添加任何辅助线，你能证明出来吗？（提示：已知的相等两角A ∠、BOD ∠的度数分别与弧的度数有什么关系？）

组五：A ∠ m =2

1弧BC m BOD =∠弧BD ∴21弧BC=弧BD=弧CD ∴CD=BD 师：圆周角度数等于所对弧度数的一半，圆

心角度数等于所对弧的度数。

同学们真是太了不起了，一道题目想出

这么多种证法，同学们的思路很开阔。在圆

中还有一对基本量，我们刚才提到过，是什

么？——弦心距。弦心距于圆心角、弧、弦

之间也有一定的联系。在同圆或等圆中，两

个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中

有一对量相等，其余各对量都相等。（同时

抽离出基本图形）而圆周角又与圆心角、弧

之间有这样的关系，这使得弦心距与圆周角

之间也有一定联系。这五种量的关系体现了

圆的旋转不变性。圆的轴对称性和旋转不变

性构成了圆的基本性质。这四个基本图形集

中体现了圆的基本性质。同学们在平时的学习中要注意积累一些基本图形，它有时是解题的关键。

（这个例题分析完后，黑板上出现这些量之间的关系图。）

（2）：延长AC 、BD 交于点E ，连接BC ，请判断：下面结论中正确的是______________。

①AB=AE ②BD=DE ③∠E=2∠EBC

④ ⑤△ECD ∽△EBA

（3）过点D 做DG ⊥AE ，垂足为G ，则四

边形DGCF 为什么四边形？为什么？

（4）移动点D 位置，使点D 在弧AB 中点处，令点C 在弧AD

之间，过D 做DF ⊥BC ，DG ⊥AE ，垂足为E 、F ，则四边形DGCF

是什么四边形？为什么？

师：首先这个四边形已经是一个什么四边形？——矩形。

那再证一个什么条件，矩形就能成为正方形了？

由弧AD=弧BD ，你能得到哪些结论？由弧你想到了什么？

生1：连接OD ，

D 是弧AB 中点 ∴090=∠BOD 0452

1=∠=∠∴BOD BCD ∴DF=CF ∴矩形CFDG 是正方形

生2：连接AD,BD 弧AD=弧BD ∴AD=BD

90,=∠=∠∠=∠DFB AGD FBD GAD

DBF DAG ∆≅∆∴ DF DG =∴

∴矩形CFDG 是正方形

师：在圆中，我们不要忽视弧的作用，它是弦与角转化的桥梁。

三、小结：

师：通过本节课的学习，你对圆的基本性质又有哪些认识呢？你还有什么收获？

通过本节课的复习，我们又重新梳理了圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距五种量之间的关系，以及直径与弧、弦之间的关系定理——垂径定理及逆定理。从这些关系中我们发现，证明圆中一对量相等的道路是四通八达的，可以考虑证明圆中的其它几对量相等。圆的这些性质是我们计算角、线段及证明角、线段、弧相等

的基本依据和方法。

四、圆的基本性质的妙用：

师：复习了圆的基本性质后，老师出了道思考题：

例：圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2，如图：

AB=BC=CD=DE=1,EF=FG=GH=HA=2,求此八边形的面积。

师：九（3）班有几位爱探究的同学课后在一起讨论解决此题。