144《高等渗流力学》—保角变换及应用

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例六、共焦点椭圆之间的流动
椭圆地层+裂缝井流动 如下图，有一长度为2c的裂缝井，设地层厚度为h，渗透率为 K，流体粘度为µ，地层压力为p，裂缝井底压力为pw，求裂缝井产 量Q=?
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例六、共焦点椭圆之间的流动 取变换函数：
z= c⎛ 1⎞ w+ ⎟ ⎜ 2⎝ w⎠
w = u + iv = ρ e iθ
c⎛ 1⎞ ⎜ρ − ⎟ a >b ρ⎠ 2⎝
x + iy = a cos θ + ib sin θ
因此，有z平面与w平面的对应关系： ⎧ x = a cos θ ⎨ ⎩ y = b sin θ
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
例六、共焦点椭圆之间的流动
x2 y 2 + 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 a2 b
z 平面上 z = z0 点 w平面上 w = 0（原点） z 平面半径 R 圆周 w平面上 R = 1（单位圆） z平面圆周上任一点 z ′
e
∴
Re ( z ′ − z0 ) w= Re 2 − z0 z ′
z ′z ′ = ( x′ + iy ′ )( x′ − iy ′ ) = ( x′ ) + ( y ′ ) = Re 2
井径无穷小线段：rw = 假设： L ——
dz dw rw ρw ⇒ ρw = dw dz
z 平面上绕井封闭曲线； dn, dL —— z 平面上L的法线及切线单元； λ —— w平面对应封闭的曲线。 dv, d λ —— w平面上 λ 的法线及切线单元； Q —— z 平面上井产量；
Q =
∫
dφ dn
w = zm
iϕ
iθ
ρ = r m , θ = mϕ
z w m 2π β= z 平面半径 m 扇形 w平面上圆 z 平面每一口井径 w 平面位置均在实轴上，且与圆形
δ = ρ = R1
m
相距为：
dw ρw = ⋅ rw = mR1m −1rw 且 dz z = z0
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保角变换及应用
w = z m 将z平面上对称布置 m 口井映射到
z = ia
x − ia w = ρe = ρe x + ia
⇒ w = ρe 实轴（
z − ia z + ia
x +a e
2 2
− iarctg
a x
x2 + a e
a iarctg 2 x
e
= ρee
− i 2 arctg
a x
x 轴）
上半平面 z = ia
w 平面圆周 ρ w 平面原点
ρe dw ( z + ia) − ( z − ia) 2ia ρw = Rw = ρe Rw = ρ e Rw = Rw 2 2 dz ( z + ia ) (2ia ) 2a z =ia
−
= ρe ⋅ e
πy
a
−
πy
a
⋅e
i
πx
a
= ρ ⋅ eiθ
, ρ = ρe ⋅ e
当 y = 0 时 ρ = ρe z平面实轴变成 w 平面 ρ = ρe 圆周 对 x = ±2an, y = L ( n = 0,1, 2,...) 的各井中心，w 平面同一点
πL
a
ρ = ρe ⋅ e
−
= δ , θ = ±2nπ , ( n = 0,1, 2,...)
四、保角变换及应用
定义：平面 z = x + iy 上给出某个流动其复势是F ( z ) ，引 入新复变函数 w = u + iv
两者间关系： z = z ( w) 或则 w = w( z )
z 实部和虚部关系： ( w) = z (u + iv ) = x (u , v) + iy (u , v ) x = x (u , v ), y = y (u , v ) …………….....(1)
z
一个点
判断条件
z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值 z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值
根据以上对应关系，有以下逻辑判断成立： 如果单值 在一个平面上完成确定的流动网络（流场图）— —流线和等势线对应于另一个平面流动网络。此时 Φ ， Ψ 值本身是相同的 单值对应
平面： w
q=
2π (φe − φw ) ln
ρe ρw
=
2π (φe − φw ) 2a ln Rw
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保角变换及应用
例三：
圆形地层一口偏心井。
z z0 处， 0 模等于偏心距 d
Re ( z − z0 ) w= ， 为 z 的共轭复数。 z 2 0 Re − z0 z 0
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保角变换及应用
z0 = x0 + iy0 , z = x0 − iyo
z
w平面等势线 ρ = C2' 圆 w平面流线 θ = C2' 射线
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保角变换及应用
寻求一个适当变换，把较复杂物平面问题变换为像平面问题，而像平面 复势，产量容易求出。待求出像平面产量公式后，再变换到物平面上。
例二：
直线供给边缘附近一口井。
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保角变换及应用
取变换：w = ρ e
z 平面井心 w = 0 w平面原点 平面 z 点 x 上总有： = 0 y
iα
或缩短了M 倍，并旋转了一个角度 α 。
w = w( z ) 使 z 点处很短的线段 dz 伸长
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保角变换及应用
证明保角性：
lim 导数定义： Δz Δx + i Δy = lim Δw→ 0 Δw Δu → 0, Δu → 0 Δu + i Δv
与Δw 趋于0的方式无关，即 z 和w 平面上对应点引出的对应 dw 无限小线段 dz ， 的比值为常数，而过每一点均可以引出 无限多个无限小线段 dz1 , dz2 , , dw1 , dw2 ,
因此： ⎧ x = c cos θ ⎨ ⎩y = 0
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例六、共焦点椭圆之间的流动
1 2 3 4 5 w平面 ρw=1, θ=0 ρw=1, θ=π/2 ρw=1, θ=π ρw=1, θ=3π/2 ρw=1, θ=2π z平面 x=c, y=0 x=0, y=0 x= -c, y=0 x=0, y=0 x=c, y=0 1 2 3 4 5
dL
dφ vn = − —— 法线渗流速度； dn
dz dn = dv dw
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保角变换及应用
dz dL = dλ 和 dw
例一：
∫
dφ dL = dn
∫
dφ dz dφ dλ = ∫ dλ dz dw dv dv dw
ψ = Ay 等势线
F ( z ) = φ + iψ = ( x + iy ) A φ = Ax 等势线 x = C1
w 平面上偏心井产量： Q =
q= 2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ πL ⎛ ρa ρ e ln ⎢ e ⋅ e a ⋅ ⎜1 − e 2 ⎢ πρ r ⎜ ρe e w ⎜ ⎢ ⎝ ⎣
− 2π L a
2π L − 2 a
∵e
<< 1
2π ( Φ e − Φ w ) ∴q = πL a + ln π rw a
上式为茹可夫斯基函数，其中：z = x + iy
⎞ c⎛ 1 x + iy = ⎜ ρ eiθ + e − iθ ⎟ ρ 2⎝ ⎠ ⎤ ⎛ c ⎡⎛ 1⎞ 1⎞ = ⎢⎜ ρ + ⎟ cos θ + i ⎜ ρ − ⎟ sin θ ⎥ ρ⎠ ρ⎠ 2 ⎣⎝ ⎝ ⎦
令:
c⎛ 1⎞ a = ⎜ρ + ⎟ b = ρ⎠ 2⎝
2
保角变换及应用
设解析函数 w = w( z )把 z 平面上一点 z = x + iy 变换到 w 平面 内的一点 w = u + iv 。用 M 和 α 分别代表函数 w 在 z 点的 导数的模与幅角，则有： z
dw = M e iα dz
dw 说明： ≠ 0 时，变换 dz
dw = Me dz
2 2
Re ( z ′ − z0 ) Re ( z ′ − z0 ) w= = z ′z ′ − z0 z ′ z ′ ( z ′ − z0 )
Re z′ − z0 Re ⋅ = ×1 = 1 w= z ′ z ′ − z0 Re
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保角变换及应用
2π ( Φ e − Φ w ) w 平面： q = 1 ln
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保角变换及应用
w 平面上的井半径：
dw π − πaL ⋅ rw = ρe e ⋅ rw ρw = dz z = z a
2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ ρe ⎛ δ 2 ⎞ ⎤ ln ⎢ ⎜1 − 2 ⎟ ⎥ ⎣ ρ w ⎝ ρe ⎠ ⎦
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ = 2π ( Φ e − Φ w ) ⎛ 2a π L ⎞ sh ln ⎜ ⎟ a ⎠ π rw ⎝ , e x − e− x shx = 2
ρw
Re ( Re 2 − z0 z0 ) Re Rw Rw dw ρw = ⋅ Rw = ⋅ Rw = 2 = 2⋅ 2 dz z = z0 Re − d ⎛ d2 ⎞ Re 2 − z0 z0 ) ( Re ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ Re ⎠
q =
2π (Φ e − Φ
w
)
⎡ Re ⎛ d 2 ⎞⎤ ln ⎢ ⎜1 − 2 ⎟⎥ Re ⎠ ⎦ ⎣ Rw ⎝
w 同理： = w( z ) = w( x + iy ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) …………….....(2) u = u ( x, y ), v = v ( x, y )
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保角变换及应用 （1）和（2）确定了平面 z 和 w上点、线的对应关系如下：
w
一个点 多个点 一条线 一条线 多条线
2π K h
Q =
( pe
− pw
)
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⎡ Re ⎛ d 2 ⎞⎤ μ ln ⎢ ⎜1 − ⎟⎥ Rw ⎝ Re2 ⎠⎦ ⎣
保角变换及应用
例四：
圆形地层中环形井排变换。
R 半径 Re 圆形地层中， 1 半径圆周 m 口井；半径 rw 井壁势 Φ w ，供给边界势 Φ e 。
极坐标表示时： z = r ⋅ e , w = ρ ⋅ e 2π β= 平面上 平面上 θ = mβ = 2π（圆周角）
dz1 dz2 = = dw1 dw2 dz1 dw1 ⇒ = dz2 dw2
Argdz1 − Argdz2 = Argdw1 − Argdw2
间的夹角= 变换 z ( w) 或 w( z ) 是保角的。
1 2
z 平面上线段 dz , dz
w 平面上 dw1 , dw2 间的夹角。
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保角变换及应用
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例六、共焦点椭圆之间的流动
y
特殊流线： θ=0或2π，x轴正方向，y=0 θ=π， x轴负方向，y=0 θ=π/2， y轴正方向，x=0 θ=3π/2， y轴负方向，x=0 W平面单位圆 w = ρ eiθ = eiθ
θ=π/2
θ=0,2π x
θ=π
θ=3π/2
ρ = ρw = 1
c⎛ 1⎞ c z = ⎜ w + ⎟ = ( eiθ + e − iθ ) = c cos θ = x + iy 2⎝ w⎠ 2
∂φ Vx = − = − A , V = Vx = − A ∂x ∂φ Vy = − = 0 ∂y
z 平面上单向流。 ( z ) = Az F
y = C2
w = e z = ρ eiθ = e x +iy = e x eiy 变换：
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保角变换及应用
所以：
ρ = ex 模
θ=y
幅角
平面等势线 x = C1 z 平面等势线 y = C2
上式是长轴为 a ，短轴为b的椭圆方程，给定一个 ρ 值，z平面上 给定一条等势线（圆）。因此，上式为z平面等势线方程。另 外，由于 a 2 − b 2 = c 2 ，故Z平面上所有等式椭圆共焦，焦距为c。 x2 y2 a 2 − b2 − 2 2 = =1 2 2 2 c cos θ c sin θ c W平面上给定一v值，相当于给定一流线，故上式为Z平面的 流线方程。
w平面上一口偏心井
w平面偏心井产量：
Q= 2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ ρe ⎛ δ 2 ⎞ ⎤ ln ⎢ ⎜1 − 2 ⎟ ⎥ ⎣ ρ w ⎝ ρe ⎠ ⎦
2m
=
2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ Re m ⎛ R12 m ⎞ ⎤ ln ⎢ m −1 ⎜1 − 2 m ⎟ ⎥ ⎣ mR1 ⋅ rw ⎝ Re ⎠ ⎦
⎛ R1 ⎞ Re > R1 , m ≥ 5 时 ⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠
<< 1
2π ( Φ e − Φ w ) q= R R m ln e + ln 1 R1 mrw
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保角变换及应用
例五：
取变换： w = 直线无限井列的变换。
ρe ⋅ e
iπ z a
则
w = ρe ⋅ e
θ= πx
a
iπ ( x + iy ) a
从上面对于关系可以看出，w平面上半径为1的单位圆，对 应z平面上长度为2c的裂缝井。 再看w平面上任一圆（等势线）ρ=R，对应Z平面长轴为 c⎛ 1⎞ c 1 a = ⎜ R + ⎟ 短轴为： = ⎛ R − ⎞ 的椭圆。 b ⎜ ⎟ R⎠ 2⎝ R⎠ 2⎝