苏教版高中数学选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数 学案

1．2.3简单复合函数的导数

学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．

知识点复合函数的概念及求导法则

已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．

思考1这三个函数都是复合函数吗？

思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？

思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．

类型一 复合函数的概念

例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？

(1)y ＝(2－x 2)3；

(2)y ＝sin x 2；

(3)y ＝cos(π4

－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．

反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．

跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．

(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；

(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .

类型二 求复合函数的导数

例2 求下列函数的导数：

(1)y ＝32x －

1； (2)y ＝1(2x ＋1)4

； (3)y ＝5log 3(1－x )；

(4)y ＝x 2cos(2x －π3

)．

跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .

(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用

例3 求曲线y ＝

1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．

反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．

(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．

跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32

x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．

1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．

2．设f (x )＝e －

x 则f ′(x )＝ . 3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12

处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2

上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．

1．复合函数求导的步骤

2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．

提醒：完成作业 1.2.3

答案精析

问题导学

知识点

思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．

思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5

. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积

题型探究

例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．

(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．

(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4

－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．

跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．

(2)y ＝ln(ln x )．

例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，

∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′

＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －

1·ln 3. (2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －

4)′·(2x ＋1)′ ＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－

5 ＝－8(2x ＋1)5

. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．

y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1)

. (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3

的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3

)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3

)，

∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3

)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3

)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e

(3)3sin 2x cos x －3sin 3x

例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32

·(2x －3)， ∴y ＝

1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516

， ∴切线方程为y －12＝－516

(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32

，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32

，∴a ＝0. 达标检测

1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －

x 3.0 4．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数

几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2

上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.