风险定价

波动率和相关系数的估计
相关系数的估计 变量X与Y之间的相关系数定义为
cov( X , Y )
XY
考虑两个不同的市场变量U和V。我们定义ui和vi为第i-1 天末到第i天末之间的U和V的变动百分比，在第i天末 有：
U i U i 1 ui , U i 1
Vi Vi 1 vi Vi 1
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历史模拟法
3、在上述分布表中找到第五坏的日变动，它与概率分布 的一个百分比相对应，VaR的估计值为我们处于第一个 百分比时的损失。 4、假设过去500天是对下一天将发生事情的较好的预 测，我们对损失不超过VaR的估计值就有99%的把握。 注：定义vi为第i天的市场变量值，并假定今天是第m天， 那么明天的此变量值为 vm+1=vm(vi/vi-1)
116500 10 368405美元
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建模法
对于两种资产的情况 一个由1000万美元微软股票和500万美元AT&T的股票构 成的组合情况。 我们假设两种股票的收益率服从双变量正态，其相关系 数为0.3及σX=200000和σY=50000.因此，在一天内由这 两种股票构成的组合价值变动的标准差为：
其中变量αi是i天前观测值的权重，对任意i， αi >0；当 i>j时，αi > αj；并且

i 1
m
i
1
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波动率和相关系数的估计
指数加权移动平均模型（exponentially weighted moving average model）简称EWMA。 令前面讨论的αi满足αi+1= λαi ，其中λ是介于0和1之 间的常数。 在此假设下，波动率的估计值有了很简单的公式，即
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线性模型
下面我们来分析怎样用线性模型处理期权。 考虑一个由当前股票价格为S的单只股票的期权构成的组 合，头寸的Delta为δ，则下式近似成立
P S
即
ΔP= δΔS
其中ΔP为一天内组合价值的变动额，ΔS为一天内股票 价格变动额。定义Δx为一天内股票价格变动的百分比：
2 p 102 0.022 52 0.012 2 10 5 0.3 0.02 0.01 0.0485
则σp=0.220，这就是组合价值日变动的标准差（单位百 万美元）。 10天99%的VaR为
2.33 0.220 10 1.623
与前面讨论一致。
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历史模拟法
假设我们想使用500天的数据计算证券组合时间范围为1 天、置信水平为99%的VaR，该如何做？ 1、确认哪些市场变量会影响组合价值。并搜集这些变量 在最近500天内的数据。 2、根据上面的500组数据对明天的相应变量进行计算， 再根据变量计算出组合价值并得到今天和明天之间组合 价值变动的金额，这样我们就得到了一个分布表。
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蒙特卡罗模拟法
基于历史数据和既定分布假定的参数特征，借助随机产 生的方法模拟出大量的资产组合收益的数值. 根据模拟的收益数值计算VaR值。 计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱaR值三种方法的基本步骤及特征如下表。
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1 m (ui 1 u ) 2 m 1 i 1
2 n
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波动率和相关系数的估计
为了计算VaR，通常作下列变动： 1、ui被定义为第i-1天末到第i天末之间市场变量的百分 比，这样就有：
Si Si 1 ui Si 1
2、假设 u 为零。 3、用m替代m-1。 所以估计值可以由下式取代
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建模法
建模法也称为方差协方差法（variance-covariance approach） 在期权定价中我们常用到年波动率σ年，我们知道它和每 日的波动率σ日应该有如下关系
年 252日
σ日近似等于一天内资产价格变动百分比的标准差。在计 算VaR时，我们假设它们精确相等。 接下来的讨论我们假定已知日波动率的估计值。
2000002 500002 2 0.3 200000 50000 220227
10天99%的VaR为：
220227 2.23 10 1622657
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分散投资的好处
从前面的分析中我们看到： 微软股票组合的10天99%的VaR为1473621美元； AT&T股票组合的10天99%的VaR为368405美元； 微软和AT&T股票组合的10天99%的VaR为1622657美 元； 差额（1473621+ 368405）- 1622657=219369美元代表分散 投资的好处。 如果微软与AT&T是完全相关的，组合的VaR将等于微软 的VaR与AT&T的VaR之和。
2 P i 1 2 i 2 i i 1 j i
n
n
N天内变动标准差为 P N ，N天99%的VaR为 2.33 P N
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线性模型
在前面的微软和AT&T投资组合的例子中， σ1=0.02， σ2=0.01，ρ12=0.3。已知w1=10，w2=5，我们有
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线性模型
若假定
n
P wi xi
i 1
中的Δxi服从多变量正态分布，则ΔP就服从正态分布， ΔP的均值为零，而它的方差为
ij wi w j i j
2 P i 1 j 1 n n
上式也可以表示为
w 2 ij wi w j i j
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波动率和相关系数的估计
σu,n：第n天估计出的变量U的日波动率； σv,n：第n天估计出的变量V的日波动率； covn：第n天估计出的变量U和V每日变动额间协方差的估 计值； 我们对第n天U和V间的相关系数的估计为：
u ,n v ,n
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1 m 2 ˆ un i m i 1
2 n
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波动率和相关系数的估计
上述公式是在等权重的原则下给出的，但对于实际情况 来说，我们更倾向于给予最近的数据更多的权重。 从而给出考虑权重的模型：
2 ˆ i un i 2 n i 1 m
风险价值
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南开大学数学科学学院 白晓棠
Contents
1 2 3 4 5
风险价值 历史模拟法
建模法
线性模型及二次模型 波动率和相关系数估计
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风险价值
前面我们讲过Delta、Gamma和Vega等刻画了一些金融产 品的风险，但每天我们都面临着各种市场变量的改变， 这些改变使得Delta、Gamma和Vega分析产生大量的、不 同的风险指标。 风险价值（value at risk，简称VaR）试图提供一种能够 涵盖金融资产组合所有风险的单一指标。 本节中，我们将研究VaR指标，并介绍两种主要的计算 方法——历史模拟法（historical simulation）和建模法 （model-building）
S x S
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线性模型
于是ΔP与Δx之间的近似线性关系
P Si i xi
i 1 n
其中Si为第i个市场变量的价值， δi为组合价值与第i个市 场变量之间的Delta。 在上式中Siδi就相当于式子
P wi xi
i 1 n
2 2 2 ˆn ˆn u (1 ) 1 n 1
上面的结果可由下式看出
2 2 2 2 ˆn ˆn [ u u (1 ) ] (1 ) 2 n2 n 1 m 2 2 ˆ nm =(1 ) i 1un i i 1
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建模法
单项资产的情况 我们所分析的组合由1000万美元的微软股票构成。假设 N=10，X=99，这样我们关心的问题是10天内我们对其有 99%把握的损失上限是多少？ 假设微软的波动率为每天2%。则头寸价值变动的日标准 差为1000万元×2%=20万元。 假设微软的年期望收益率为20%。在一天内期望收益率 为0.2/252即0.8%左右，而收益率的标准差为 2% 10 6.3%左右。 ，即
二次模型
其实组合价值的变动ΔP与标的市场变量ΔS变动之间的 线性关系只是近似的。 若同时用Delta（δ）和Gamma（γ）来刻画它们的关系 则更为准确，即
1 P S (S ) 2 2
仍设
x S S
于是有
1 2 P Sx S (x) 2 2
中的wi。
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线性模型
例：一个组合由微软股票期权和AT&T股票期权构成。微 软股票期权的Delta为1000， AT&T股票期权的Delta为 20000。微软股票价格为120美元， AT&T股票价格为30 美元。求此组合5天95%的VaR。 解：由于
P 120 1000 x1 30 20000 x2
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建模法
微软股票组合价值变动的标准差为20万美元，均值近似 为0，我们假设价值服从正态分布。 由于Φ(-2.33)=0.01，所以一个对数正态分布变量价值减 少额超过2.33个标准差的概率近似为1%。 因此，对于由1000万美元微软股票头寸构成的组合而 言，1天99%的VaR为 200000×2.33=466000美元 10天99%的VaR为
cov n
波动率和相关系数的估计
定义σn为在第n天的市场变量的日波动率，第n天的波动 率的平方σn2是方差率. 前面我们介绍了从历史数据里估计σn的标准方法。 假设在第i天末市场变量价值为Si，定义变量ui为在第i天 内的连续复利收益率：
ui ln Si Si 1
使用最近m个观测数据估计出σn2的值为
故ΔP的标准差（单位：千美元）为
(120 0.02) 2 (600 0.01) 2 2 120 0.02 600 0.01 0.3 7.099
再由Φ(-1.65)=0.05，5天95%的VaR为
1.65 5 7099 26193美元
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466000 10 1473621美元
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建模法
一个由500万美元AT&T股票头寸构成的组合，假设 AT&T的日波动率为1%（年波动率大约为16%），则其 10天99%的VaR为多少？ 一天内组合价值的标准差为 5000000×0.01=50000 1天99%的VaR为： 50000×2.33=116500美元 10天99%的VaR为：
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线性模型
假设我们持有一个组合，其价值为P，它由n种资产构 成，对资产i投资的数量为wi(1≤i≤n)，Δxi为日收益率。 一天内资产i的价值变动额为wi Δxi ，且有
P wi xi
i 1 n
其中ΔP是一天内整个组合价值的变动额。 对于前面的例子，投资于微软的金额为1000万美元，投 资于AT&T的金额为500万美元，于是有w1=10，w2=5 （单位百万美元），则ΔP=10 Δx1+5Δx2.
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VaR指标
某个资产组合在未来N天中发生的损失不超过V美元的把 握为X%。 上面的V，就是在指定时间范围N和置信水平X%的上述 资产组合的VaR。 银行监管者要求银行计算N=10，X=99时的VaR。 实务操作中常假定N=1计算VaR，则对于N天的VaR有 N天的VaR=1天的VaR×sqr(N)