10.2(2)在极坐标系下计算二重积分

D
D
问题1：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？ 积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等
y 被积函数形式 f ( x y )或f ( ) x
2 2
问题2：如何在极坐标下计算二重积分？
二重积分
在极坐标下计算二重积分
1、积分区域 (极点为外点)
r 1 ( )
r 2 ( )
,
( x, y )
r

0 x r cos
y r sin
d rdrd
即二重积分在极坐标下的公式：
x
f ( x, y) d f (r cos , r sin ) r d r d
D
D
二重积分在极坐标下的公式：
二重积分
f ( x, y) d f (r cos , r sin ) r d r d
二重积分
I ( x y5 1)dxdy
D
利用线性性质：和的积分等于积分之和
xdxdy y 5dxdy dxdy
D D D
在利用积分区域对称、被积函数奇偶性相关结论
xdxdy 0,
D
5 y dxdy 0 D
I dxdy 4
• 计算要简便
充分利用对称性 应用换元公式
练习10.2： 1. 计算 I 2. 已知 求
5 D
二重积分
2 2 ( x y 1) dxdy , x y 4 D 是圆域
(cos xy sin x
D
3
x y e
2 2
x 2 y2
1)dxdy,
3. 计算
i ri ri i ri ri i
则面积元素为
r ri ri
D
d rdrd 或 dxdy r drd .
o
i
i
ri i
ri
r ri
ri
A
i i
二重积分
由直角坐标和极坐标之间的关系： y
x r cos y r sin
D
x 2 y 2 d r rdrd
2sin
D
O
x
d
0

0
8 1 8 3 8 3 2 ( cos cos ) | ＝ sin d ＝ (cos 1)d cos 0 3 0 3 0 3 3 32 9
r 2sin r dr 0 [ ]0 d 3
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{( r , ) | 0 2 , r 2 }
O

D
x y d
2 2
r rdrd
D
x
d r 2dr 0
0
2
2
2

r 3 2 ( 3 ) | d

2
0
14 4 7 3 d 3 3
D
即求积分区域的面积
2. 已知
二重积分
3
求
(cos xy sin x
D
x y e
2 2
x 2 y2
1)dxdy,
y
解：利用对称性及二重积分的性质可知
3 cos xy sin x dxdy 0; D
dxdy 4 3
D 2
O
x
4 ( x y ） dxdy 0
a
r 2
dr
(1 e
由于 e
x2
a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
注: 利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
二重积分

x2 e 0
dx

2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例4的结果, 得

故①式成立 .
• 若积分区域为
b
f ( x, y ) d y
y x x2 ( y ) d
D
d x2 ( y )
1
c
则
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
x x1 ( y ) x
2、极坐标系情形: 若积分区域为
二重积分
则
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) rd r d
2 2 D
e
D
x y
2
2
dxdy 4 d r e dr (e 4 e )
2 0 r2 1
2 2 x 2 y2 D D

14 d r rdr 1 3
2
2
原式=0+ ( x y ）dxdy e
dxdy dxdy
D
14 23 4 4 (e e) 3 ( e e) 3 3
0

sin cos2 0


4 0
1 d (cos ) 4 2 cos cos 0
1
sin 1 4 rdr 0 cos 2 d r
2 1

4. 计算

D
y arctan dxdy x
二重积分
2 2 2 2 x y 1, x y 4, y 0, y x y 其中D是由
1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
o
D 1x
二重积分
综合题： 计算 I ( x x ye
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域 (2) D由直线
2
围成 .
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y =0

D
D:
1 ( ) r 2 ( )
2 ( )
1
f ( x , y )dxdy d ( )
D
o A f (r cos , r sin ) r dr.

二重积分
例 1 计算 x 2 y 2 d ， D {( x , y ) | 2 x 2 y 2 4 2 }．
二重积分
D
例 3 计算 x 2 y 2 d ， D 是 x 2 y 2 ＝ 2 y 围成的区域。
解 x y ＝ 2 y 的极坐标方程是 r 2sin
2 2
y
D 在极坐标系下可表示为 D {( r , ) | 0 , 0 r 2sin }

4
x y 4 y r 4sin
2 2
y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1
(x y ) d x d y
2 2 D

2


6
o
x
3

d
6

4sin
2sin
r 2 r d r 15(
3 ) 4 8
所围成的在第一象限内的闭区域。 解：D 在极坐标系下可表示为
y x
{( r , ) | 0

4 0 2 1

4
,1 r 2}
O
1
2
x
原式 （ r d r） d
（
4 0

r
2
2
2 1
） d

4 0
3 3 d 2 64
2
二重积分
综合题： 计算 I ( x x ye
二重积分
第二节 二重积分的计算（2）
二重积分在极坐标系下的计算
1、积分区域 (极点为外点) （极点为边界点） 2、积分区域 （极点为内点） 3、积分区域 4. 将直角坐标化为极坐标
三、利用极坐标计算二重积分
二重积分
在二重积分的定义中， 对闭区域的划分是任意的.
故在极坐标系下, 用同心圆 r =常数及射线 =常数, 分划区域D 为 i (i 1, 2,, n) i ?
二重积分
被圆柱面 x 2 y 2 a x 例6. 求球体 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 D : 0 r a cos , 0 2 由对称性可知

维望尼曲线
V 4
D
a2 r 2 r d r d
a cosθ 0
4 dθ
π
4 3 2 a (1 sin3 θ )dθ 0 3 4 3 2a ( ) 3 9
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域 (2) D由直线 围成 .
2 I x 解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 d x d y

x 2 d x d y y 2 d y d x
D D

D
y
1 2 2 I ( x y ) d xd y 2 D
d
0
2
( )
0
f (r cos , r sin ) r dr.
二重积分
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例5. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
0r a 故 解: 在极坐标系下D : , 0 2
原式
D
r d r d d 0 re
0
2
D r 2 ( )

3. 改变积分次序的题型 4. 直角坐标化为极坐标的题型
o

r 1 ( )
计算步骤及注意事项 • 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
二重积分
• 选择坐标系
• 确定积分序 • 写出积分限
被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少
累次积好算为妙
图示法
不等式
( 先积一条线, 后扫积分域 )
3、计算
0 dx x ( x y ) dy
2 2
2
1
x

1 2
二重积分
y
y x2
0 x 1 解： D : 2 x yx
将积分区域D化为极坐标 0 4 D: 0 r sin cos 2
0
yx
1
x
原式 4 d
二重积分
（极点为边界点） 2、积分区域如图：
r ( )
D:
,
0 r ( )

D
o

A
f ( x , y )dxdy f (r cos ,
D
r sin )rdrd
d


( )
D
0
f (r cos , r sin ) r dr.

2
2 0
r d dr ln 2 2 0 1 r 2
1
二重积分
（极点为内点） 3、积分区域如图：
0 2 ,
D:
r ( )
D
0 r ( )
o
A
f ( x , y )dxdy f (r cos ,
D
D
r sin )rdrd
（2）解：I x 2 d xd y x ye x
D D
2
d xd y
2 D x d xd y 1 x d x 1 d y 3 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 , 利用对称性 , 得
1 2 x

D
x ye
x2 y 2
d x d y=
2

3
例4. 计算
其中D是 ( x, y ) x
D
xy 1 dxdy 2 2 1 x y
2
二重积分
y
y 2 1, x 0

O
解: D是关于x轴对称， xy xy dxdy 0 2 2 是关于Y的奇函数， 2 2 1 x y 1 x y D
x


D
xy 1 1 dxdy dxdy 2 2 2 2 1 x y 1 x y D
x y
例2. 计 算 2 2
2 2 2 2 ( x y ) d x d y , 其中 D 为由圆 x y 2 y, D 4 y 及直线 y 3x 0, x 3 y 0, 所围成的
y
二重积分
平面闭区域.
解： x y 2 y r 2sin
2 2
1 0
dx x2 ( x y ) dy
2 2
x

1 2
4. 计算

D
y arctan dxdy x
2 2
其中D是由 x y 1, x y 4, y 0, y x
2 2
所围成的在第一象限内的闭区域。
1. 计算 I 解：
5 2 2 ( x y 1) dxdy , D 是圆域 x y 4 D
O
π 2 0
a 2 r 2 rdr
D
y
D
z=0
r a cos
a cos

a
a
x
内容小结 二重积分化为累次积分的方法
y
二重积分
y y2 ( x)
1、直角坐标系情形 : • 若积分区域为
D
y y1 ( x) a bx
y2 ( x )
1
则
D f ( x, y) d a d x y ( x)