4_14 离散时间傅里叶变换的性质

k

2
1 j 2 x[ k ] X (e ) d 2 p 2π
2

序列时域的能量等于频域的能量。 证明：
k

1 x[k ] x[k ]x [k ] x[k ] X (e j ) e j k d 2p 2 p k k 1 1 j j k j j X (e ) x [ k ]e d X (e ) X (e )d 2 p 2p 2 p 2 p k
Y (e j ) X (e j( π ) ) X (e j( π ) ) 2
例：已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。
X(ej)
1
2π
π π 2
0
π 2
π
2π

X(ej(p)
解：
2π
π π 2
1
π 2
π
2π

X(ej(p)
则
DTFT ax1[ k ] bx2 [ k ] aX 1 (e j ) bX 2 (e j )
离散非周期序列DTFT的性质
2. 对称特性
DTFT x [ k ] X (e j ) DTFT x [ k ] X (e j )
当 x[k]是实序列时
X (e j ) X (e j )
幅度与相位
X (e ) X (e
j j
实部与虚部
X R ( e j ) X R ( e j )
X I ( e j ) X I ( e j )
)
( ) ( )
例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度谱和相位谱。
1
2π
π π 2
π 2
Y(ej)
π
2π

Leabharlann Baidu
1
π π 2
π 2
π

离散非周期序列DTFT的性质
4. 卷积特性
(a) 时域卷积特性
DTFT x[ k ] h[ k ] X (e j ) H (e j )
序列时域的卷积对应频域的乘积。
离散非周期序列DTFT的性质
4. 卷积特性 (b) 频域卷积特性
解：
X (e j ) 1 2e j e j2 (1 e j )2
4cos2 2 e j
X (e j ) 4 cos 2 2
4 … p 0 p …
( )
…
p
p
…
p


离散非周期序列DTFT的性质
3. 位移特性 (a) 时域位移特性
北京交通大学
信号处理课程组
离散非周期序列DTFT的性质
※ 线性特性 ※ 对称特性 ※ 位移特性 ※ 卷积特性 ※ 微分特性 ※ Parseval定理
离散非周期序列DTFT的性质
1. 线性特性 若
DTFT x1[ k ] X 1 (e j )
DTFT x2 [ k ] X 2 (e j )
π
π
X (e ) d 2π x[k ] 60π
j 2
2 k 0
3
1 π x[ k ]h[ k ] X (e j ) H (e j( ) )d 2π π
DTFT
序列时域的乘积对应频域的卷积。
离散非周期序列DTFT的性质
5. 频域微分特性
dX (e ) kx[k ] j d
DTFT
j
离散非周期序列DTFT的性质
6. Parseval定理

1 j 2 X (e ) d 2p 2 p
例：已知x[k]为一有限长序列且 x[k ] {1, 2,3, 4} ，不计算x[k] 的频谱 X(ej)，直接确定下列表达式的值。 解： (1) X (e ) x[k ] e
j0
k 0 3 k 0 3 -jk 0

2 1 y[k]
Y (e j ) e-j X (e j )
4 …
0 1 2 k
Y (e j )
( )
p

… p 0 p
p
p

离散非周期序列DTFT的性质
3. 位移特性 (b) 频域位移特性
DTFT e j 0 k x[ k ] X (e j( 0 )
DTFT x[ k n ] X (e j )e j n
序列在时域的位移，对应其频域的相移。
例：已知x[k]如图所示，求y[k]=x[k－1]的频谱。
2 1 x[k]
X (e j )
X (e j ) 2 1 cos
k
4 … p 0 p …

-1
0
1
解：
x[k ] 1 2 3 4 10
k 0 3
3
(2) X (e jp ) x[k ] e-jk p x[k ] ( 1)k 1 2 3 4 2
k 0
(3)
(4)

π
π
X (e j ) d 2px[0] 2p

)
序列在时域的相移，对应其频域的频移。
例：已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。
X ( e j )
x [ k] y[ k]
1
...
cos[pk ]
2π
π
...
π / 2
0
π/ 2
π
2π

解：
y[k ] x[k ]cos πk x[k ](e jπk e jπk ) 2