第六章 混料(配方)设计

7
6.1.3 混料试验的统计模型
设试验中考察的指标为y，那么y与p个因子 x1 , x2 ,, x p 的 关系可以表示为：
y f ( x1 , x2 ,, x p )
2 N ( 0 , )。 这里， 是随机误差，通常假定它服从
ˆ f ( x1 , x2 ,, x p ) 为响应函数，其图形也称为响应曲面， 称y 当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程， 也称响应曲面方程。 由于 f ( x1, x2 ,, x p ) 形式往往是未知的，通常用 x1 , x2 ,, x p 的一个d次多项式表示，此时一个混料试验由因子数p与响应 多项式的次数d来确定，以后用M{p,d}表示一个混料试验。
2
定义：设在一个试验中有p个成分，用 x1 , x2 ,, x p 表 示，若试验中每一因子的取值满足如下条件：
x1 x2 , , x p 1 0 xi 1,i 1, 2, , p
那么称这一试验为混料试验。 使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验 来确定。对这样的混料试验进行的设计称为混料设计， 又称配方设计。混料试验设计中的成分又被称为因子， 通常混料试验中的成分不少于三种。 一般混料中微量成分含量的确定，通常采用普通的因 子设计，不用混料设计。因为它们的成分比例很小，它 们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。
i 1
注意：这里各xi可以看成是类似于回归设计中一种编码值。
13
6.2.2 数据分析
用最小二乘的方法求出参数的估计，由于现在仍是饱和 设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残 差平方和和自由度为不为0时，可以进行各项显著性检验。 或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。 例6.2.1 M {3,2}单形格子设计的参数估计
6.1.1
5
（ 2）单形上点的坐标
我们可以在单形上建立坐标系。 在p =3时，单形是平面上的一个正 三角形，设其高为1，记其三个顶点 分别为X1、X2、X3，它们的坐标分别 是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。又设P 是该三角形的一个内点，定义P到边 X2X3的距离为x1，到边X1X3的距离为 x2，到边X1X2的距离为x3，此时三个 距离之和恰为该正三角形的高，即存 在 x1 x2 x3 1 。
第六章 混料(配方)设计
§6.1 混料设计的概念 §6.2 单形格子设计
§6.3 单形重心设计
§6.4 有约束的混料设计
1
§6.1 混料设计的概念
6.1.1 混料设计（Mixture Design）
混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的 物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等 领域中，如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成；礼花的 闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成；混凝土由水泥、石子、 沙子和水组成；其它如中药、饲料等。 这些产品的每种成分的多少是用相对量表示的，这种相 对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中 各成分的比例不能自由变动，它们受到一个约束：所有成 分比例的和为1。
这种点为单形的顶点，即p维单形的顶点的坐标为：
(1,0,,0), (0,1,,0),, (0,0,,1)
4
p=3时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形， 其三个顶点的坐标分别为（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)，从而该 等边三角形就是三维空间上的一个单形（见图6.1.1a）。 p=4时的单形是三维空间中的一个的正四面体（见图 6.1.1b）。
运算结果：
Factor X1 X2 X3 Y Max 0.2939 0.00 0.7061 17.3844 Min 0.00 0.8646 0.1354 9.2240
18
Lingo 求解程序 Max = 11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x39.6*x2*x3; x1+x2+x3=1; x1<=1; x2<=1; x3<=1; 注：极小值用Min，自变量在运算符左侧，且默认值大于 等于0。 运算结果：
P( x1 , x2 , x3 ) 便是 这种坐标系就是p =3时单形上的坐标系， 单形上点在这个坐标系下的坐标。
6
在p因子的混料试验中，若设超正面体的高为1，其p个顶 点记为： A1=(1,0,0,……,0) A2=(0,1,0,……,0) …… Ap=(0,0,0,……,1) 其中若干个点就可以构成p维空间中的一个超平面。 记单形上任一内点P的坐标为 ( x1 , x2 ,, x p )，那么这里x1 是P点到A2A3…Ap的距离，x2是P点到A1A3…Ap的距离， ……，xp是P点到A1A2…Ap-1的距离。
1 1 2 , , 0, , 0 C 以 为代表的 p 个排列点 2 2 1 1 1 , , , 0, , 0 以 个排列点 为代表的 C 3 p 3 3 3
…… 1 1 1 1 p , , ,, C 以 p p p p 为代表的 p 个排列点 这样的点共计有2p-1个。
16.4
537.92
738
53.06511 19.10344 13.54704 658.14
0.0001
0.0001 0.0018 0.0051 0.0001
19.0 38.67857 11.4 13.92429 -9.6 9.874286 2878.27 479.71
Error
Total
9
14
6.56 0.728889
21
这些试验点的坐标不依赖于d，通常我们选用饱和设计。 在d=1或2时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但 是d>2后就不相同了。 譬如 p=3时，M{3,3}单形重心设计共做 2p-1=7 次试验，试 验点如下：
若要建立M{3,2}单形重心设计，那么可以省略第七号试验， 只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。
M{3,1}
M{3,2}
M{3,3}
10
（1）M{p,1} 的设计 在M{p,1} 中仅含p个未知参数，这时的单形格子设计是 由p个单形顶点组成的设计。其设计方案如下：
11
（2） M{p,2} 的设计 在M{p,2}中含p(p+1)/2个未知参数，这时的单形格子 设计由两类点组成：一类点是p 个单形顶点，另一类点 是两个坐标为1/2，其它坐标为0的点，这类点共有p(p1)/2个，其设计方案如下：
Factor X1 X2 Max 0.2939 0.00 Min 0.00 0.8646
X3
Y
0.7061
17.3844
0.1354
9.2240
19
§6.3 单形重心设计（Simplex Centroid Design）
在M{p,d}单形格子设计中，当d>2时某些混料设计中格子 点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归 系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，Scheffe提出 了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。 单形重心设计的试验点为1到P个顶点的重心，顶点本身 就是重心，两个顶点的重心是它们连线的中点，三个顶点 的重心是它们组成正三角形的中心，……，P个顶点的重心 就是该单形的中心。 Scheffe考虑的回归模型为：
ˆ i xi ij xi x j y
i 1 i j p i j k

ijk i
x x j xk 12 p x1 x2 x p
20
6.3.1 试验设计
P个因子的单形重心设计的试验点由下列点组成： 以 1,0,0,,0 为代表的 C1 p 个排列点
3
6.1.2 单形、单形的顶点与坐标
混料设计中的一些基本概念。 （1）单形与单形的顶点
方程 xi 1 的图形是一个p维平面，而( x1 , x2 ,, x p )为p
i 1
p
维平面上点的坐标。在该p维平面上满足 的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形(正多面 体)，如：正三角形、正四面体等，其高度为1。 若单形上点的p个坐标中有一个为1，其它都为0，则称
Y的极值 SAS软件没有给出Y的极值，需要采用软件SAS或Lingo求 极值。极值分为极大值和极小值。
17
SAS/OR 求解程序 PROC NLP tech=trureg; MAX y; y = 11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x39.6*x2*x3; PARMS x1-x3 = 0.5; BOUNDS 0 <= x1-x3 <=1; LINCON x1+x2+x3=1; RUN;
14
试验中单一成分的试验点安排两次重复，有两种成分的 试验点安排三次重复， 试验结果见下表。
试验点 x1 成分比例 x2 x3 试验指标 Y
1
2
1
0
0
1
0
0
11.0
8.8
12.4
10.0
3
4
0
0.5
0
0.5
1
0
16.8
15.0
16.0
14.8 16.1
5
6
0.5
0
0
0.5
0.5
0.5
17.7
10.0
22
6.3.2 数据分析
用最小二乘的方法求回归参数的估计，由于现在仍是 饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项， 使残差平方和和自由度为不为0时，可以进行各项显著性 检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性 检验。
134.856
16
Model for Y
Model RMSE R-square Adjusted R-square Coefficient of Variation 0.85375 95.14% 92.43% 6.305391
Y=11.7*X1 + 9.4*X2 + 16.4*X3 + 19*X1*X2 + 11.4*X1*X3- 9.6*X2*X3
12
d （3）一般来讲，单形格子设计M{p,d} 共有 Cp 个试验 d 1 点，有如下几个特点：
1）每个M {p,d}设计的试验次数恰好等于响应函数中未 知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单 形上，构成单形的一个格子。 2）试验点的分量与模型的次数d有关，每一成分xi的取 值为 1/d的倍数，即只能取0，1/d，2/d，…，(d -1)/d，1， 并且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。 3）方程中的二次项 xixj ，不能理解为 xi与xj的交互作用， p 因为它们受到约束条件 的限制。 x i 1
16.4
9.7
16.6
11.8
15
Model Source X1 X2 DF Parameter 1 1 11.7 9.4 MS 273.78 176.72 F 375.6128 242.4512 Pr > F 0.0001 0.0001
X3
X1*X2 X1*X3 X2*X3 Model
1
1 1 1 6
同理， p因子二次混料试验M{p,2}的SFra Baidu bibliotekheffe二次正则多项 p 式模型为： ˆ i xi ij xi x j y
i 1 i j
同理， p因子三次混料试验M{p,3}的Scheffe三次正则多项 p 式模型为： y ˆ i xi ij xi x j ijk xi x j xk
8
利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化， 此时给出的多项式模型称为Scheffe正则多项式模型 。 p
对p因子一次混料试验M{p,1}， Scheffe利用 0 0 xi i 1 把p元一次多项式模型化为Scheffe一次正则多项式模型：
ˆ 1x1 2 x2 p x p y
i 1 i j i j k
一般的混料试验多用一次、二次多项式模型，对于混料 二次多项式模型而言，其待估参数的个数要比一般p元二次 多项式模型少p+1个。
9
§6.2 单形格子设计（Simplex Lattice Design）
6.2.1 试验设计方法
单形格子设计是Scheffe提出的一种混料设计，它奠定了 混料设计的基础。M{p,d}的单形格子设计，为d阶格子设计， 它将单形的边划分成d等份，在等分点做与其它边平行的直 线，形成许多格子，故名单形格子设计。 如：p=3，一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。