激光束传输及变换(第二讲)

3. 波包和群速
任何一个波E(r,t)都可以看成是不同频率的
单色波的叠加
E(r ,t) 0 a (r ) exp{i[t g (r )]}d
（1.3.18)
式中a是相应于频率为的单色波的振幅。
3. 波包和群速
考虑两个平面单色波的叠加，假设它们都 沿z轴方向传播，振幅相同，频率和波数略有 不同，则它们的叠加为 E(z,t) a exp[i(t kz)] a exp{[i( )t (k k)z]}
3. 波包和群速
A 单色平面波 a cos(t kz)
B
振幅波
2a
cos
1 2
(t
k
z)
C
波群
2a
cos
1 2
(t
k
z)cos(t
k
z
)
3. 波包和群速
各等振幅面的传播速度－群速度为
d vg k dk
(1.3.22)
在更普遍的情况下，考虑一个由许多沿z 方向传播的单色波叠加组成的一维波群
电场的轨迹方程：
E
2 x
E
2 y
2
Ex Ey
cos sin 2
E
2 x0
E
2 y0
Ex0 E y0
(1.2.16)
式中 =2 - 1。
3. 平面波的偏振态
在x-y平面上(1.2.16)式所表示的电场的轨迹是一 个椭圆，称为椭圆偏振光。
当Ex0 = Ey0, = (m+1/2)（m是整数 ），
第二式说明： 磁感应强度在界面法线方向是连续的。
3. 边值关系
第三式说明： 电场的切线分量在界面两侧是连续的。
第四式说明： 磁场的切线分量在界面两侧是连续的
（只有在没有面电流的条件下才成立，一般 均能满足这个条件） 以上四式统称为边值条件，它们也适用
于真空与介质的交界面。
4. 能量密度和能流密度
式中 是一个常数。这是一个以k为法线,到 原点距离等于(t+0-)/|k|的平面方程。
2. 等相面和相速
把等相面方程(1.2.10)对时间t微商，如果 沿着k方向r的增量为drk, 则可以得到等相 面沿法线方向的传播速度
vp
drk dt
k
p正是(1.2.7)式中的相速。
(1.2.11)
3. 平面波的偏振态
2. 任意简谐波
将上式代入波动方程(1.3.11)，可得到U所 满足的赫姆霍兹方程
2U
(r )
k
2U
(r )
0
(1.3.17)
2. 任意简谐波
•这个方程与波动方程是等价的。 •对于空间变量和时间变量可分离的函数，其
空间部分应满足这个方程。 •这个方程是我们后面讨论各种形式高斯光束
的出发点。
这时，光速定义为平均能流密度与平均能 量密度之比。
在光学上常把平均能流密度的大小叫做光 强。
4. 光强
在只考虑光的相对强弱时，光强可以写成
I E02 E E*
(1.2.25)
因此，电场与其复共轭的乘积就可以表示光 强，而不必再去积分求平均值。
§1.3 球面波和任意简谐波
为了简单，本节只讨论球面标量波和任 意简谐标量波。
假设平面波沿z轴方向传播，无论电场还 是磁场都与传播方向z轴垂直，即E和H在x-y 平面中。在一个平面中的矢量总可以用两个 独立的分量来表示，则沿z轴方向传播的波可 表示为:
Ex Ex0 cos(t kz 1 ) E y E y0 cos(t kz 2 ) (1.2.15)
Ez 0
3. 平面波的偏振态
只要给定了电荷密度和电流密度j的空间 分布以及它们随时间的变化, 就可通过这组 方程求出电场E和磁场H的运动行态。
5. 波动方程
在绝缘介质中，波动方程有最简单的形式
2
E
2 t 2
E
0
2
H
2 t 2
H
0
(1.1.15)
这组方程是我们下面讨论各种电磁波，包
括平面波、球面波、以及高斯光束的基本
由麦克斯韦方程组(1.1.1)的第二式和第四
式可得
(E
DH
B)
jE
(E H )
(1.1.6)
在满t足物质方t 程(1.1.2)的情况下，有
(( HE tt
D) B)
1 2 1 2
t t
(E D)
(H B)
(1.1.7)
4. 能量密度和能流密度
电磁场的能量密度为
平能均流能密量度S 密表2E度达 H为式 (1.1.9)|可E |变2 kk成
(1.2.18)
W
1 2
E02
(1.2.21)
4. 光强
平均能流密度为
S
1
2
E02
k k
1 2
c n
E
2 0
k k
Wvt
(1.2.24)
式中c是真空中的光速，n是介质的折射率， t是介质中光速。
4. 光强
在各向同性介质中，光速t与相速p是 相同的。在各向异性介质中，一般情况下， 无论是方向还是大小，光速都与相速不同。
诸如光的反射和折射、光的干涉、衍射、偏振、光的双折射等现象.
•一些光学分支的经典理论基础
如激光、傅里叶光学、集成光学、非线性光学等学科.
•不足:不能解释如原子光谱、黑体辐射、光电效应等光学现象。 研究高斯光束的理论基础:
经典电磁理论比较简单、直观。并把高斯光束与 平面波及球面波相对照、相比较。
本节内容
斯韦方程组导出的，无论物质方程(1.1.2)是
否成立，它总是正确的。
5. 波动方程
在各向同性的均匀介质中，介电常数和
磁导率是与时间和空间位置无关的常数。
由麦克斯韦方程组(1.1.1)可得到E和H分别
满足微分方程
2
E
2 t 2
E
(
j t
1
)
2
H
2 t 2
H
j
(1.1.13)
5. 波动方程
E0 H0
(1.2.9)
电磁波的电场和磁场不是孤立存在的.
2. 等相面和相速
在时间不变时，相位因子等于某个常数 的点在空间构成一个曲面，这个曲面叫等相 面(波阵面)。
波在传播过程中最前边的等相面叫波前。
2. 等相面和相速
(1.2.1)式所表示的平面波，它的等相面方 程为
t k r 0 (1.2.10)
1. 球面波
方程(1.3.3)的另一个特解为
E(r, t) A ei(tkr 0 ) (1.3.9) r
它表示一个向原点收敛的球面波。
1. 球面波
球面波的相速可从等相面方程(1.3.8)对时 间的微商获得
vp
dr dt
k
c n
(1.3.10)
该式表明，在各向同性的介质中，球面波 的相速与平面波的相速大小相等。
(1.2.16) 式所表征的曲线变成一个圆，称为圆偏 振光；
当Ex0 = Ey0, =m (m是整数)，(1.2.16)式所
表征的曲线退化成一条直线，称为线偏振光。
4. 光强
利用平面波电场与磁场的关系(1.2.9)，能
量密度表达式(1.1.8)可变成
W
1 (E 2
H 2 ) | E |2
(1.2.17)
2a
cos
1 2
(t
kz)
exp[i(t
kt )]
（1.3.20）
式中
1 ,
2
k k 1 k 2
(1.3.21)
3. 波包和群速
(1.3.20)式可以看成是频率为、波数为 k、沿z轴方向传播的平面波。然而这个波 的振幅不是常量，而是随时间t和位置z在0 到2a之间变化，产生拍现象。振幅函数好 象是一个调制波。
本章以光的电磁理论为基础, 导出有关高 斯光束的几种形式:
基模高斯光束 高阶模高斯光束 椭圆高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束 并讨论它们的场分布特点以及传输规律。
本讲的主要内容
1.1 电磁场的运动方程 1.2 平面电磁波 1.3 球面波和任意简谐波
§1.1 电磁场的运动方程
光的经典电磁理论： •已达到了相当完善的地步 •解释了许多重要的光学现象
出发点。
§1.2 平面电磁波
平面电磁波的一般特性：波的表达式、波 矢、相速、以及偏振特性等。
本节内容
•单色平面波 •等相面和相速 •平面波的偏振态 •光强
1. 单色平面波
可以证明方程(1.1.15)的一组特解为：
E
i
(t
k r
0
)
E e 0
H
H ei (t k r 0 ) 0
(1.2.1)
(1.2.1)式满足波动方程的必要条件是
k2
200 r
2
c2
n2
(1.2.6)
1. 单色平面波
上式还可以写成
k
|
k
|
n
(1.2.7)
k是波矢的大小，cp称为vp相速(p=c/n) , 可以
证明：
k E0 H 0
k E0 0
(1.2.8)
k H0 0
1. 单色平面波
根据(1.2.7)式，考虑到电场、磁场、波矢 的正交性，（1.2.8）式中的第一式可以写 成
•麦克斯韦方程组 •物质方程 •边值关系 •能量密度和能流密度 •波动方程
1. 麦克斯韦方程组
在有介质存在的普遍情况下：
•
D
E
B t
(1.1.1)
• BH0Dt
j
式中: E――电场强度矢量 D――电位移矢量
H――磁场强度矢量 B――磁感应强度矢量
――自由电荷密度 j――自由电荷的电流密度
满足该特解的必要条件是
k2
2
2
c2
n2
从(1.3.5)式可得到电场为
(1.3.6)
E(r, t ) A ei(t kr 0 ) (1.3.7) 该式表示波源位于r坐标原点，向外发散的球
面波。
1. 球面波
等相面方程为
t kr 0 (1.3.8)
是一个常数，当t 不变时，上式表示一个 半径为r =( t+0- )/k的球面。
W
1
(E
D
H
B)
2
(1.1.8)
电磁场的能流密度（也叫坡印廷矢量）为
S (E H)
(1.1.9)
4. 能量密度和能流密度
由(1.1.6)～(1.1.9)式可获得能量守恒
的微分形式
W
jE
S
t
在绝缘介质(=0)的情况下
W
S
t
(1.1.10) (1.1.11)
反映能量守恒的(1.1.6)式是直接从麦克
该方程组对于物理性质连续的空间各点都成立。
2. 物质方程
物质方程是介质在电磁场的作用下发生传 导、极化和磁化现象的数学描述。
最简单的是静止或缓慢运动状态的各向同 性介质，在弱场作用的情况下，物质方程取 如下形式:
2. 物质方程
jE
D E B H
(1.1.2)
式中 ――电导率 ――介电常数 ――磁导率 一般在光频情况下，各种介质的磁导率都 近似地等于真空的磁导率0。
1 r
2 r 2
(rE)
2 t 2
E
0
(1.3.3)
1. 球面波
设U(r,t)=rE(r,t), 代入(1.3.3)式，结果有
2 U (r,t) 2 U (r,t) 0
r 2
t 2
该方程的一个特解为
பைடு நூலகம்
(1.3.4)
U (r,t) Aexp{i(t kr 0 ) (1.3.5)
1. 球面波
在空间不存在电荷和电流的情况下，电 场和磁场的任意一个分量都可以从方程 (1.1.15)导出，满足波动方程：
2 E 2 E 0
t 2
(1.3.1)
式中E是电场的一个直角坐标分量。
本节内容
•球面波 •任意简谐波 •波包和群速 •程函方程与光线方程
1. 球面波
首先把波动方程(1.3.1)中的拉普拉斯算符 2用球坐标系的变量来表示。假设我们研 究的场是点波源发出的，则这样的场在空 间的分布对于角及角都是对称的。这时 波动方程(1.3.1)可以写成
激光束传输与变换
第二讲
思考题：
当一束在空气中传播的平面光波经焦距 为f的透镜聚焦后在相距透镜为L1的距离处 通过一个长度为L2、折射率为n2的介质时， 试确定光束焦点位置？
第二部分 高斯光束
第一章 高斯光束 第二章 高斯光束的衍射 第三章 高斯光束的传输与变换 第四章 光束整形与激光组束
第一章 高斯光束
2. 任意简谐波
对于一个圆频率为的标量时间简谐波可
认为是波动方程
2
E
(r ,
t
)
2
E(r ,t) 0
t 2
(1.3.11)
的一个特解。其形式为
E(r , t) A(r ) exp{i[t g(r )]} (1.3.12)
式中A(r)是振幅，g(r)是r的标量函数。
2. 任意简谐波
一般来说，(1.3.12)式所表征的波其等相面 和等振幅面是不一致的，这将导致在同一 个等相面上各点的振幅不同。因此，称这 种波为非均匀波。
3. 边值关系
确定场在两种媒质交界面上的分布 微分形式已不在适用
麦克斯韦方程组的积分形式在极限的情况 下可以得到：
3. 边值关系
(1.1.3)
式中: n――界面法线方向上的单位矢量，方 向从介质1指向介质2, f――界面上自由电 荷密度
3. 边值关系
第一式说明： 电位移矢量在界面 法线方向上有跃变。
非均匀波的等相面方程为
t g(r )
式中为常数。
(1.3.13)
2. 任意简谐波
等相面沿其法线的传播速度为
vp
dr dt
| g (r ) |
(1.3.15)
任意简谐波的空间部分和时间部分可以分
开写成
E(r ,t) U (r ) exp(it) (1.3.16)
式中U是空间变量的标量函数。