点电荷平衡问题总结

静电场中平衡问题的归类例析

带电体在静电场中的平衡问题是电场中的一类主要问题，处理这类问题的关键是受力分析，因此它是物体平衡问题的延续。但由于其受力分析和运用数学的能力要求较高，使学生在分析时无法把握问题的本质而导致错误。下面对这一问题做简单归纳，供大家参考。

1. 点电荷系的平衡问题

情形之一：两个固定的电荷间引入第三个点电荷，使第三个点电荷处于静止状态。

例1. 真空中有两个固定的点电荷A、B，所带电荷量分别为，两点电荷之间距离为r，若引入第三个点电荷C，欲使点电荷C处于静止状态，试确定点电荷C的位置、电性和它的电荷量。

分析与解：设点电荷C的电荷量为，由于点电荷A、B所带电荷的电性未知，所以可讨论如下：

（1）若点电荷A、B带同种电荷，则由点电荷C的平衡条件可知，它应放在A、B间的连线上。设点电荷C与A、B的距离分别为，则由库仑定律和平衡条件得：

，由此可得：

，（式中）

这表明点电荷C处于静止状态与其电性、电荷量的多少无关，只与其放置的位置有关，且放置位置（与A、B间距离）跟原点电荷的电荷量的平方根成正比。

（2）若点电荷A、B带异种电荷，则由点电荷C的平衡条件可知，它应放在A、B连线的延长线上，即放在A的外侧或B的外侧，设点电荷C与A、B的距离分别为，则由库仑

定律和平衡条件得：，由此可得：

这表明点电荷C处于静止状态与其电性、电荷量的多少无关，只与其放置的位置有关，且应放置在带电量小的点电荷的外侧（与A、B间距离）跟它们的电荷量的平方根成正比。

情形之二：两个电荷间引入第三个点电荷，使三个点电荷均处于静止状态。

例2. 两个电荷量分别为和的点电荷A、B，在真空中相距为r，如果引入另一点电荷C，正好能使这三个点电荷都处于静止状态。试确定电荷C的位置、电性及它的电荷量。

分析与解：由于A、B点电荷的电性未知，则可讨论如下：

（1）若点电荷A、B带同种电荷，由平衡条件可知，电荷C应放在A、B之间的连线上，这样才能使三个电荷所受库仑力的方向相反、合力为零。设点电荷C与A、B的距离分别为

（如图1所示），则对点电荷C由库仑定律和平衡条件可得：，由此可得：

，（式中）

图1

三个电荷都处于静止状态，即电荷A、B所受静电力的合力也应为零，对电荷A而言，B对它的库仑力是向左的斥力，可知C对A的库仑力应是向右的引力，所以电荷C的电性一定与A、B的电性相反。所带电量由库仑定律和平衡条件可得：

解此式可得：。

（2）若点电荷A、B带异种电荷，由平衡条件可知，电荷C应放在A、B连线的延长线上，

且在电荷量小那一个的外侧。设点电荷C与A、B的距离分别为（若，如图2所示），则对点电荷C用库仑定律和平衡条件可得：

图2

，由此可得：

，（式中）

三个电荷都处于静止状态，对点电荷A、B所受静电力的合力也应为零，对电荷B而言，A 对它的库仑力是向左的引力，可知C对B的库仑力应是向右的引力，所以电荷C的电性一定与远的那一个相同、与近的相反。再对电荷B用库仑定律和平衡条件可得：

，解此式可得：

结论：由以上两种情形的讨论，对点电荷系的平衡问题可概括为“同内、异外、近小”六个字。“同内”就是第三个点电荷应放在两个同种电荷的连线间；“异外”是指第三个点电荷应放在两个异种电荷连线的延长线上；“近小”是指第三个点电荷应靠近电荷量小的点电荷。