第二章 连续系统的时域分析PPT课件
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y (0 ) C 1 2 C 2 2 1 C2 2
故，全解为： y ( t) e t 2 e 2 t t2 2 t 2 t 0
全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应的求法与齐次解一样
n
rzi(t) Cieit i1
i 为特征根 C i 由初始值确定
零状态响应的求法与求非齐次方程一样
d2t2d
5y td
3x t
微分算子的主要特性
微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方 程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。
Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算， 也可以像代数式那样进行因式分解的运算。
算子方程两边的公共因子一般不允许消去。
如： x pa y (pa)N(p)
但： x 1 y
Cp
M p3e(t)
(L 2M 2)p42RL 3(p R 22 C L)p22 C RpC 12
例2
求如图所示电路的转移算子：
u 1 1H
H( p) u0(t) f (t)
解：用节点方程可求得：
i1
i2
f (t)
3
1F
1 u 0
11 1 (3p)u1pu0 f(t) 1pu1(1pp1)u00
2P2 2
解之： P2 1
2P16P2 2
2P 03P 12P 20
P1 2 P0 2
yp(t)t22t2 全解的通解为： y ( t) y h ( t) y p ( t) C 1 e t C 2 e 2 t t2 2 t 2
将初始条件代入自上由式响，应得： y(0 )C 1 强C 迫2 响2 应1 C1 1
H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：
引入了e(t算) 子阻抗H (后p) ，网络r的(t) 微分方程
系统的可自以然通频过电率路(分特析征课根程的)：分析方法列
D(出p)。如0 网的孔根法为、系节统点的法自、然叠频加率定或理特、征根。
算子阻抗： 戴维南定理等。
对电感：uL
L
d iL dt
将上式代入原微分方程，得：2 P 2 3 ( 2 P 2 t P 1 ) 2 ( P 2 t 2 P 1 t P 0 ) 2 t 2 t 2
即： 2 P 2 t 2 ( 2 P 1 6 P 2 ) t ( 2 P 0 3 P 1 2 P 2 ) 2 t 2 2 t
比较系数可得：
n
rzs(t)齐次解＋特 Cje解 jt ＝ rp(t) j1 j 为特征根 C j 由零状态初始值确定
例2
描述某线性非时变系统的方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 2 y ( t ) f ( t ) 2 f( t )
试求：当 f(t)t2,y(0 )时 的1 ,零y( 输0 )入 响1应和零状态响应。
(1 3p1)u1u0pf(t)
u1(p2p1)u0
(1 1 3p )1 (pp 2)u 0 u 0p(tf)
H (p ) u f0 ( (tt) ) 1 1p p 1p p 2 p 2 1p 3 1 p 2 4 3 p 4
33
3
§2 微分方程的经典wk.baidu.com法
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
第二章 连续系统的时域分析
系统的数学模型 微分方程的经典解法 零输入响应 冲激响应 卷积积分与零状态响应
§1 微分算子及其特性
定义
p d dt
则： px dx dt
1 t (
)d
p
pnx dnx dt n
1 x
t
xdt
p
对于算子方程： (p22p5 )y(p3 )x
其含义是：
d2y dy dx
例1
描述某线性非时变系统的方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 2 y ( t ) f ( t ) 2 f( t )
试求：当 f(t)t2,y(0 )时 的1 ,全y( 解0 )。 1
解：(1)求齐次解，特征根为：11,22 yh(t)C 1 e tC 2e 2t
(2)求特解：设特解为： yp(t)P2t2P1tP0
将初始条件代入上式，得： y(0)C 1C 220
C1 2
y (0 ) C 1 2 C 2 2 0 C2 0
y z( t s ) 2 e t t2 2 t 2t 0
uLLipL
Lp —— 算子阻抗
对电容：uCC 1
t
1
iCdtC
1 piC
1 Cp
—— 算子阻抗
例1
列出电路的微分方程，变量为 i2。
C
M
C
解：网孔方程为：
1 (RL pC)pi1Mi2pe(t)
Mi1 p(RLp C 1)pi20
•
•
e(t )
i1 L
L i2
R
R
RLp 1 e(t)
故，微分方程C为p：
N( p)
但在某种情况下公共因子可以消去，如：
D(p)D(1p)
x x
简单的如： p 1 x x
p
但 1 [D(p)x]x(t)
D(p)
但 1 pxxCx p
微分算子的主要特性
转移算子：若：D (p )r(t)N (p )e(t)，则
H(p)r(t) N(p) e(t) D(p)
r(t)H (p)e(t)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率 或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不 同的形式。一般形式（无重根）：
n
rh(t) Cieit i1
i 为特征根
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式， 用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信 号时，特解就是稳态解。
用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程 有n 个常数，可用个 n 初始值确定。
( L 2 i 2 M R2 ) d LM d p4 i 4 p2 M C 1pp2 t R Rd d LM3 0pi 3 2 pL 1( t R 2 ( R2 C L L) pd M d C2 1i 2 p2 pe) 2(t)2 t C MR 2d pd 2i 2 C 1 t 2 i 2 M d d 3 e ( 3 t )t
解：(1)零输入响应，特征根为：11,22
yz(it) C 1 e t C 2 e 2 t
代入初始值，得
C1 C2 1
C1 2C2 1
解得
C1 3
C2 2
y z(ti) 3 e t 2 e 2 t t 0
(2)零状态响应：特解求法同例1， yp(t)t22t2
y z( t s ) y h ( t) y p ( t) C 1 e t C 2 e 2 t t2 2 t 2
故，全解为： y ( t) e t 2 e 2 t t2 2 t 2 t 0
全响应=零输入响应+零状态响应
零输入响应的求法与齐次解一样
n
rzi(t) Cieit i1
i 为特征根 C i 由初始值确定
零状态响应的求法与求非齐次方程一样
d2t2d
5y td
3x t
微分算子的主要特性
微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方 程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。
Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算， 也可以像代数式那样进行因式分解的运算。
算子方程两边的公共因子一般不允许消去。
如： x pa y (pa)N(p)
但： x 1 y
Cp
M p3e(t)
(L 2M 2)p42RL 3(p R 22 C L)p22 C RpC 12
例2
求如图所示电路的转移算子：
u 1 1H
H( p) u0(t) f (t)
解：用节点方程可求得：
i1
i2
f (t)
3
1F
1 u 0
11 1 (3p)u1pu0 f(t) 1pu1(1pp1)u00
2P2 2
解之： P2 1
2P16P2 2
2P 03P 12P 20
P1 2 P0 2
yp(t)t22t2 全解的通解为： y ( t) y h ( t) y p ( t) C 1 e t C 2 e 2 t t2 2 t 2
将初始条件代入自上由式响，应得： y(0 )C 1 强C 迫2 响2 应1 C1 1
H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：
引入了e(t算) 子阻抗H (后p) ，网络r的(t) 微分方程
系统的可自以然通频过电率路(分特析征课根程的)：分析方法列
D(出p)。如0 网的孔根法为、系节统点的法自、然叠频加率定或理特、征根。
算子阻抗： 戴维南定理等。
对电感：uL
L
d iL dt
将上式代入原微分方程，得：2 P 2 3 ( 2 P 2 t P 1 ) 2 ( P 2 t 2 P 1 t P 0 ) 2 t 2 t 2
即： 2 P 2 t 2 ( 2 P 1 6 P 2 ) t ( 2 P 0 3 P 1 2 P 2 ) 2 t 2 2 t
比较系数可得：
n
rzs(t)齐次解＋特 Cje解 jt ＝ rp(t) j1 j 为特征根 C j 由零状态初始值确定
例2
描述某线性非时变系统的方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 2 y ( t ) f ( t ) 2 f( t )
试求：当 f(t)t2,y(0 )时 的1 ,零y( 输0 )入 响1应和零状态响应。
(1 3p1)u1u0pf(t)
u1(p2p1)u0
(1 1 3p )1 (pp 2)u 0 u 0p(tf)
H (p ) u f0 ( (tt) ) 1 1p p 1p p 2 p 2 1p 3 1 p 2 4 3 p 4
33
3
§2 微分方程的经典wk.baidu.com法
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
第二章 连续系统的时域分析
系统的数学模型 微分方程的经典解法 零输入响应 冲激响应 卷积积分与零状态响应
§1 微分算子及其特性
定义
p d dt
则： px dx dt
1 t (
)d
p
pnx dnx dt n
1 x
t
xdt
p
对于算子方程： (p22p5 )y(p3 )x
其含义是：
d2y dy dx
例1
描述某线性非时变系统的方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 2 y ( t ) f ( t ) 2 f( t )
试求：当 f(t)t2,y(0 )时 的1 ,全y( 解0 )。 1
解：(1)求齐次解，特征根为：11,22 yh(t)C 1 e tC 2e 2t
(2)求特解：设特解为： yp(t)P2t2P1tP0
将初始条件代入上式，得： y(0)C 1C 220
C1 2
y (0 ) C 1 2 C 2 2 0 C2 0
y z( t s ) 2 e t t2 2 t 2t 0
uLLipL
Lp —— 算子阻抗
对电容：uCC 1
t
1
iCdtC
1 piC
1 Cp
—— 算子阻抗
例1
列出电路的微分方程，变量为 i2。
C
M
C
解：网孔方程为：
1 (RL pC)pi1Mi2pe(t)
Mi1 p(RLp C 1)pi20
•
•
e(t )
i1 L
L i2
R
R
RLp 1 e(t)
故，微分方程C为p：
N( p)
但在某种情况下公共因子可以消去，如：
D(p)D(1p)
x x
简单的如： p 1 x x
p
但 1 [D(p)x]x(t)
D(p)
但 1 pxxCx p
微分算子的主要特性
转移算子：若：D (p )r(t)N (p )e(t)，则
H(p)r(t) N(p) e(t) D(p)
r(t)H (p)e(t)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率 或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不 同的形式。一般形式（无重根）：
n
rh(t) Cieit i1
i 为特征根
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式， 用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信 号时，特解就是稳态解。
用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程 有n 个常数，可用个 n 初始值确定。
( L 2 i 2 M R2 ) d LM d p4 i 4 p2 M C 1pp2 t R Rd d LM3 0pi 3 2 pL 1( t R 2 ( R2 C L L) pd M d C2 1i 2 p2 pe) 2(t)2 t C MR 2d pd 2i 2 C 1 t 2 i 2 M d d 3 e ( 3 t )t
解：(1)零输入响应，特征根为：11,22
yz(it) C 1 e t C 2 e 2 t
代入初始值，得
C1 C2 1
C1 2C2 1
解得
C1 3
C2 2
y z(ti) 3 e t 2 e 2 t t 0
(2)零状态响应：特解求法同例1， yp(t)t22t2
y z( t s ) y h ( t) y p ( t) C 1 e t C 2 e 2 t t2 2 t 2