薄壁杆件的弯曲与扭转(第二章)

My Mx z y x Ix Iy
My Mx y x0 Ix Iy
若取中和轴 oo 与x轴成逆时针方向 的夹角为α，则有
M y Ix arctan I Mx y
当x、y轴为截面的形心主轴时
M y Ix arctan I M x y
如果取合力矩ＭR的作用面与x轴正向
的夹角为β，则有 tan
Mx 。中和轴与 My
合力矩作用面夹角之间的关系：
M y Ix M x tan tan Iy Mx M y
Ix Iy
中和轴与合力矩的作用面未必正交
M y Ix arctan I Mx y
ds q0 t q q0 ds t
Qy Qx q t S S t A Ix x Iy y
坐标轴为主轴时
Sx t ds Q x Qy q Sx ds I y Ix t
2.３ 单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力
任意闭合截面薄壁杆件， 假想在某点Ａ处将杆件沿母线 切一口，以点Ａ为曲线坐标的 起始点，截面中的剪力流可按 式（2.17 )计算。
q t
Qy Ix

s
0
Qx ytds Iy

s
0
xtds t A
闭合截面中的剪力流由两项组成：
（1）切口后的开口截面上的剪力流q0， 其剪力流在开口处为零； （2）开口处作用的剪力流qA，它沿截 面外形轮廓线是一常数。

si
0
si2 xti dsi xi si cos i ti dsi xi si cos i ti 0 2 si si2 yi si sin i ti 0 yti dsi 2
si
把上两式代入（2.19）即可得到板段i到i＋１内任意点Ｐ处的剪力流q
s ytds s ydA S x 0 0 s s xtds xdA S y 0 0
q t
Qy Ix

s
0
Qx ytds Iy

s
0
xtds t A
Qy Qx q t S S t A Ix x Iy y
q q0 qA
q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。 qA需要根据变形协调条件来确定，为超静定剪力流。 单室闭合截面薄壁杆件在求解其弯曲剪力流时，可称 其为内部的一次超静定结构。 根据A点的变形，以位移协调条件来求解qA，变形协调 条件
ds 0
从图2—19杆件中面微元发生剪切 变形可以看出：
在节点i＋１处的剪力流qi＋１为
Qx Qy li qi 1 qi xi cos i li ti 2 Ix I y
用节点坐标表示
li yi sin i li ti 2
Qx li ti Qy qi 1 q i xi xi 1 yi yi 1 Ix I y 2
M x M y I xy I y M x 2 1 I IxI y xy M y M y M x I xy I x 2 1 I IxI y xy
其次，考察微段截面上的剪应力， 由∑Ｚ＝０
z t t 0 z s
3、 直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算
取si为从点i至点Ｐ的距离，则在板段i至i＋１内的任意点Ｐ（x， y）处的剪力流q可由式（2.15）得出。
Qy q qi Ix

si
0
Qx yti dsi Iy

si
0
xti dsi
Qy Ix
q t

s
0
Q ytds x Iy

s
0
xtds t A
Qy q qi Ix

si
0
Q yti dsi x Iy

si
0
xti dsi
板段对x轴有逆时针方向的夹角θi
x xi si cos i y yi si sin i
（2）当所选轴与截面主轴相一致时：
１、当Ｑx＝０、Ｑy≠０时，仅平行于x轴方向的板段 剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流呈抛物线分布。 ２、当Ｑy＝０、Ｑx≠０时，仅平行于y轴方向的板段 剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流则呈抛物线分布。
（3）开口截面开口处剪力流为零。
Qy q qi Ix Qx si si yi sin i si ti xi cos i si ti 2 Iy 2
第2章 薄壁杆件的弯曲
2.1 薄壁杆件的弯曲正应力 2.2 薄壁开口截面杆件弯曲剪应力 2.3 单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力 2.4 多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力 2.5 剪切中心 2.６ 剪切滞后
2.1 薄壁杆件的弯曲正应力
1、 弯曲正应力的计算
2、 截面特性计算
3、 中和轴位置计算
4、 位移计算
将上式代入
My Mx z y x Ix Iy
z t t ds C1 z 0 z
s
q t
Qy Ix

s
0
Qx ytds Iy

s
0
xtds t A
M x Qy z Q M y x z
由于tds=dA
M x Qy z Q M y x z
由式（2.2）和（2.12）可知，“有效剪力”与剪力之间的关系为
M x Qy Qx I xy I y Q y 2 z 1 I xy I x I y Q M y Qx Qy I xy I x 2 x z 1 I xy I x I y
Mx Mx
My My
My Mx z y x Ix Iy
在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条 件式和平衡条件式，而与杆件截面的几何形状和尺 寸无关。上面的结果适用于任意截面，包括开口截 面与闭口截面。如果在截面上还有轴力N，则在上式 中加上一项由轴力引起的正应力N/A即可。
2.1.2 截面特性的计算
2.1.1 弯曲正应力的计算
图２－１所示为一具有任意横截面的薄 壁杆件，Ｏ为形心，Ｏxyz为过形心的一任 意直角坐标系。
y cos x sin
平截面假定
z
1


正应力
z E
z
Ey

cos
Ex

sin
由绕x、y轴的力矩平衡方程，得
z
Ey
My Mx z y x Ix Iy
Mx My
称为“有效弯矩”
M x M y I xy I y M x 2 1 I xy I x I y M y M y M x I xy I x 2 1 I xy I x I y
当x、y轴为主轴时，Ｉxy＝０，则有

cos
Ex

sin
Ey 2 Exy M x A z ydA A cos dA A sin dA E cos E sin I I xy x E sin E cos Iy I xy M y A z xdA
Qy q qi Ix
Qx si si yi sin i si ti xi cos i si ti 2 Iy 2
Qy q qi Ix
Qx si si yi sin i si ti xi cos i si ti 2 Iy 2
剪 切 中 心
本节仅讨论纯弯情况。非纯弯可以通过力的平 移原理把它分为合力通过剪心的弯曲问题和由于力 的平移产生附加扭矩引起扭转问题的叠加。
2、 任意截面形状弯曲剪力流计算
横向荷载的合力通过剪切中心使杆件只发生弯曲
首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪 力与弯矩的关系。 由∑Ｍx＝０、 ∑Ｍy＝０，得
任意形状开口截面薄面杆件，计算其对 形心轴的截面几何性质Ｉx、Ｉy和Ｉxy时
I sl x 2tds 0 y sl 2 I x 0 y tds sl I xy xytds 0
2.1.3 中和（性）轴位置的计算
求中和（性）轴的位置时，可依 z 0 的条件得到
y kP sin / EI x
合位移的大小为
x2 y2
当取位移方向与x轴逆时针方向的倾角ψ为正时，
y Iy arctan arctan tan x Ix
比较式（２.10）和（2.8），可得
1 tan tan
4、百度文库剪力流分布规律
（1）剪力流与水流相似，在任一节点处，其流出的剪力流 必与流入的剪力流相等。
一般情况下，当在节点p处有m个薄板板段汇合时，其 中l=m-1个板段在p点一侧的剪力流qp.1，qp.2，……qp.i……qp.i 为已知，且向着s1，s2……si……sl的坐标方向前进（图2— 11b）。当求沿坐标sm方向板段的剪力流qp.m时，其值应为已 知l个板段剪力流的代数和
ψ＝α±π／２，合位移 方向与中和轴相垂直。
2.2 薄壁开口截面杆件弯曲剪应力
1、剪切中心定义 2、任意截面形状弯曲剪力流计算 3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流 计算 4、剪力流分布规律
1、 剪切中心定义
剪切中心： 当杆件上荷载的合力通过杆件截面上的 某一特定点，杆件只发生弯曲不产生扭转。 也称弯曲中 心 ，扭转中心，简称剪心。
du q ds Gt
u
s
0
q ds u A Gt
设开口处点Ａ为曲线坐标s的起 始点，将上式沿轮廓线积分一周 再回到点Ａ，应有 q u uA Gt ds 0 q q0 qA q0 ds Gt ds q A Gt 0 q0 t ds qA ds t
当x、y轴为截面主轴时，Ｉxy＝０
s ytds s ydA S x 0 0 s s xtds xdA S y 0 0
Qy Qx q t S S y t A I x I y x
对于开口截面，可把起始点Ａ选在开口处，由剪应力互等定理 知τＡ＝０，从而消除了（ τt)Ａ项。
由于t=t（s）与z无关，
z t t 0 z s
由此，解得
t t
0
s
z ds C1 z z
一般可以称剪应力τ与壁厚t的乘积τt为剪力流：沿曲线坐标s单位 长度方向的剪力，常用q表示。（假定剪应力沿厚度均匀分布）
由式（2.1），有
z M x y M y x z z I x z I y
2.1.4 位移计算
M y Ix M x tan tan Iy Mx My
I x Iy
梁上作用有一横向荷载Ｐ，它与x轴的夹角为 β，求其作用下梁所产生的位移。把Ｐ沿主轴x、 y方向分解成为Ｐcos β与Ｐsin β产生的位移分别 为
x kP cos / EI y