理论力学第十二章习题

12-1质量1kg 的物体以 4m/s 的速度沿斜方向向固定面撞去，设物体弹回的速度

仅改变了方向，未改变大小，且α+β= 900。求作用于物体上的总冲量的大小。

解：根据冲量定理

s

N 66.5υ

2m

υΔm S υ

m - υm S 1

1

2⋅===∴=

12-2一个重P 的人手上拿着一个重p 的物体，此人以与地平线成α角的速度υ0

向前跳去，当他到达最高点时将物体以相对速度u 水平向后抛去。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少。 解：一、由铅垂方向的动量定理，求出落地时间。

()g

αsin υ

t t p P αsin υg p P 0

=

∴+=+

二、再由水平方向的动量守恒，求人由于抛出物体而增加的水平速度。

()p

P pu υ0υp P pu +=

'∴='+-

所以人由于抛出物体而增加的水平距离为

g

αsin υ

p

P pu s Δ0

+=

12-3胶带运输机沿水平方向运送原煤，其运煤量恒为20 kg / s ，胶带速度为1.5 m

/ s ，求在匀速传送时胶带作用于煤的总水平推力。

2

υ1

υ2

∆υ

解：煤运上胶带后的水平动量变化为

0υQdt dK -=

所以传送时胶带作用于煤的总水平推力

N 30υQ dt

dK F ===

12-4椭圆摆由一滑块A 与小球B 所构成。滑块的质量为m 1，可沿光滑水平面滑

动；小球的m 2，用长为l 的杆AB 与滑块相连。在运动的初瞬时，杆与铅垂线的偏角为φo ，且无初速地释放。不计杆的质量，求滑块A 的位移，用偏角φ表示。

解：在运动的初瞬时，椭圆摆的质心坐标为

()

2

10

211c m m φ

sin l x m x m x +++=

当杆摆至φ角时，椭圆摆的质心坐标为

()()

2

1212c m m φ

sin l x Δx m x Δx m x +++++=

因为椭圆摆最初是静止的，且x 轴向无外力，由质心运动定理可得，

常量==2c 1c x x

所以滑块A 的位移

()φsin φ

sin m m l m x Δ0

2

12-+=

12-5长为2l 的均质杆AB ，其一端B 搁置在光滑水平面上，并与水平面成α角。

求当杆下落到水平面上时A 点的轨迹方程。

,y ）

解：杆在x 方向无外力作用，且初始静止，由质心运动定理可得，

常量==αcos l x c

所以A 点的轨迹方程为

()()2

222

2

2c l

4

y αcos l x l

2y x x

=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

12-6 重为P 的电机放在光滑的水平地基上，长为2l 、重为p 的均质杆的一端与

电机的轴垂直地固结，另一端则焊上一重物Q 。如电机转动的角速度为ω，求：（1）电机的水平运动；（2）如电机外壳用螺栓固定在基础上，则作用于螺栓的最大水平力为多少？

解：（1）电机在x 方向无外力作用，且初始静止，由质心运动定理可得，

x c = 常量

初始时， x c = 0 在瞬时t ，Q

p P t

ωsin Ql 2t ωsin pl x c +++=

' 为保持质心的x 坐标不变，电机向左位移量为

t ωsin l Q

p P Q 2p x x x c c +++=

-'=

（2）当杆转到水平位置时，杆和球的加速度在水平方向的投影最大，则作用

于螺栓的水平力亦最大，

2

2

2

max

cx max x ω

l g

Q 2p l

2ωg

Q l ωg

p ma

N +=

+

=

=∑

12-7 重为P ，长为2l 的均质杆OA 绕定轴O 转动，设在图示瞬时的角速度为

ω，角加速度为ε，求此时轴O 对杆的约束反力。

解：在图示瞬时质心的加速度为

l εa l ωa τ2

n ==

由质心运动定理，可求轴O 对杆的约束反力为

()

()

()

()

φ

cos εl φsin ω

l g

P P φ

cos a φsin a

g

P P a g P P Y φ

sin εl φcos ω

l g

P φ

sin a φcos a g

P a g P X 2

τn

y O 2

τn x O -+

=-+

=+

=--=--

=

=

∑∑

12-8火箭铅垂向上发射，在地面的初速为零，其质量按规律m = m o e -at 变化，α

为常数，燃气喷出的相对速度υr 可视为不变。不计阻力，求火箭在燃烧阶段的运动规律。又设在t o 时燃料烧完，求该火箭上升的最大高度。 解：一、求火箭在燃烧阶段的运动规律

以地面为原点，取x 轴铅垂向上，用变质量质点的运动微分定理，有

()()

2

t

g αυx t

g αυt αυgt dt

dx υ

m

dm υ

gdt υd m

dm

υ

gdt υd dt

dm

υ

mg dt

υd m 2

r r r x

m

m r

t

x

υ

r

x

r

x

-=-=+-==

--=--=--=⎰

⎰⎰