机器人动力学--牛顿-欧拉方程

4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
一、 惯量矩阵（张量）
如图所示，设刚体的质
量为m ，以质心为原点的
随体坐标系 Cxyz下的惯量
矩阵 IC由六个量组成，表
示为： Ixx
Ic I xy
Ixy I yy
Ixz

I
yz

式中：
I xz I yz I zz
Y
y y’
质心的角速度和角加速 度。
以上两式合称为 牛顿—欧拉方程。
Y
y y’
P
m
r
p c
C
z’ z O
x x’ X
Z
• 图4.1
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
三、加速度计算 1、线加速度
如图所示，设坐标系i与i-1杆固联，其原点
加速度为ai-1,角速度为ωi-1;Oi+1随杆件i相对i坐
标系旋转，相对转速为i 。P为i杆上任意一点。
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
Pi点的相对速度和加速度为：
vie i Pi.
aie

di
dt
Pi
i (i Pi )
Pi点的绝对加速度为：
a pi ai-1 2i-1 vie i-1 Pi aie i-1 (i-1 Pi )
I yz Izy mi yi zi yi zi dm Izx Ixz mi zi xi zi xi dm
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
惯量矩阵中的元素 I xx、I yy和I zz 称为惯量 矩(Mass moments of inertia)，而具有 混合指标的元素称为惯量积(Mass products of inertia)。
如图所示，设已知i杆件的速度为ωi和 vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 i 1 。
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3.4.3、机器人的杆件的速度
则：在{i+1}坐标系中表示的i+1杆件杆的
角速度为：
在{i+1}中表示的i+1杆的角速度
i1 i1
i1 i
3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自
由度，列数等于机器人的关节数。
同理，我们可以求相对基座坐标系的
雅克比矩阵。
0v3 30R3v3 l1lc11s111l2lc21s122((1122))

0

所以：
0
J
(
)

l1s1 l2s12

1 2
3v3

R23
ll11cs2211

l2
0 (1
2 )

l1c21 l1sl22(11
2 )
0 0
0

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牛顿方程可得作用在刚
体质心C处的力为：
Y
y y’
P
m
r
p c
C
z’ z O
x x’ X
Z
图4.1
F mc&&
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
根据三维空间欧拉方 程，作用在刚体上的力 矩为：
M = IC ε + ω ×ICω
式中，M 为作用力对刚 体质心的矩，和 为绕
0
Iy
0

0 0 Iz
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
平行轴定理（Parallel-axis theorem）:
已知相对于某一原点位于物体质心坐标 系{C}的惯量张量，坐标系{A}平行于坐标系 {C}，则相对于{A}坐标系的惯量张量为：
例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关 节速度为函数的手尖处的速度。
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3.4.3、机器人的杆件的速度
解：1、建立坐标系，如图： 2、求位姿矩阵：
c1 s1 0 0
M
01

s1 0
c1 0
0 0 1 0

0
0 0 1
c2 s2 0 l1
0
1杆在{1}中表示的速度
0
22


0

1 2
c2 2v2 s2
s2 c2
0 0
0 l1

ll11cs2211
0 0 1 0 0
0
33 22


0

0

则：
3
v


3v3
33


l1c
l1s 21 21 l2 (1

2 )

1 2

l1s2 l1c2 l2
1
0 l2 1

12

3J
θ
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Rii
i1 i 1Zˆi 1
在{i+1}坐标系中表示的i+1坐标系 原点的线速度为：
i1vi1 ii1R(i vi ii i pi1)
其中 i pi1是在{i} 中表示的指向{i+1} 原点的距离。
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3.4.3、机器人的杆件的速度
AI xx CI xx m( yc2 zc2 ),
AI xy CI xy mxc yc
AI yy CI yy m(xc2 zc2 ),
AI yz CI yz myc zc
AI zz CI zz m(xc2 yc2 ),
AI xz CI xz mxc zc
当θ2=0时，上式分母为零，两关节速度
将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。
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第4章 机器人操作动力学
4.1、概述 4.2、机器人的牛顿-欧拉动力学方程 4.3、机器人拉格朗日动力学方程简介
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4.1、概述
雅克比逆矩阵可得：0v (1,0)T
12 0J
1 (
)vvxy


1 l1l2 s 2

l2c12 l1c1 l2c12
l2s12 1 l1s1 l2c120
1
c12 l1s2
,
2


c1 l2s2

c12 l2s2
3.6小节
机器人的杆件的速度
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3.6 机器人的杆件的速度
基本思路：
已知基座速度和各关节的相对速度， 从基座速度开始，一步一步递推出末 端执行器的速度。
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3.4.3、机器人的杆件的速度
机器人杆件的速度包括线速度和角速 度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算 i+1杆件的线速度和角速度。
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4.1、概述
机器人动力学研究方法：
–目标：根据机器人机构的结构特点、运 动学和动力学原理，提出通用、快捷的 建立动力学方程的方法。
–数学工具：矢量方法、张量方法、旋量 方法及矩阵方法等。
–力学原理：动量矩定理、能量守恒定理、 牛顿－欧拉方程、达朗贝尔原理、虚功 原理、拉格朗日方程、哈密尔顿原理、 凯恩方程等。
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
我们知道： 刚体运动 =质心的平动 + 绕质心的转动
其中： 质心平动：用牛顿方程描述。 绕质心的转动：用欧拉方程定义。 它们都涉及到质量及其分布，我
们先复习一下转动惯量的计算。
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4.1、概述
几项假设： 1、构成机器人的各杆件都是刚体，
即不考虑杆件的变形。 2、忽略各种间隙等因数的影响。 3、暂不考虑驱动系统的动力学。
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
机器人动力学的特点： 1、串联机器人由多个杆件经关节轴串联 构成，属于多体动力学的研究范畴。 2、各杆件的速度、加速度是关节位置 及时间的函数，随机器人杆件构形的不同而 改变。 3、机器人动力学的计算复杂，多采用 数值递推的方法计算。
3.4.3、机器人的杆件的速度
如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。
c12 s12 0
0 3
R
10R
21R
32R

s12
c12
0
0
0 1
则：
03 33
0v3 30R3v3 l1lc11s111l2lc21s122((1122))
M 12

s2 0
c2 0
0 0 1 0

0
0 0 1
1 0 0 l2
M 23

0 0
1 0
0 1
0

0
0
0
0
1

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3.4.3、机器人的杆件的速度
得：
0
11


0

1
0 1v1 0
为什么要研究机器人的动力学问题？ 1、为了运动杆件，我们必须加速或减
速它们，机器人的运动是作用于关节上的力 矩与其他力或力矩作用的结果。
2、力或力矩的作用将影响机器人的动 态性能。
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Leabharlann Baidu
4.1、概述
机器人动力学研究内容： –正问题：已知作用在机器人机构上的力和 力矩，求机器人机构各关节的位移、速度、 加速度，即：F=ma。 –反问题：已知机器人机构各关节的位移、 速度和加速度，求作用在各关节上的驱动力 或驱动力矩，即：am=F 。
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
我们先研究质心的
平 动 ， 如 图 4.1 所 示 ，
假设刚体的质量为m ，
质心在C点，质心处的
位置矢量用 c 表示，则
质心处的加速度为 c&&；
设刚体绕质心转动的角
速 度 用 ω表 示 ， 绕 质 心
的角加速度为ε ，根据

l1c1
l2c12
l2s12
l2c12

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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的逆为：
0J
1 (
)

1 l1l2s2

l2c12 l1c1 l2c12
l2s12 l1s1 l2c12
当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由

0

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3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。
解：由例1知：

33 22


0 0
及

3 v3

l1c
l1s 21 21 l2 (1
2 )

1 2
对于给定的物体，惯量积的值与建立 的坐标系的位置及方向有关；如果我们选 择的坐标系合适，可使惯量积的值为零。 这样的坐标系轴称为主轴（Principle axes）,相应的惯量称为主惯量。事实上， 主惯量是惯量矩阵的三个特征值。
I xy I yz I xz 0
Ix 0 0
IC


P
m
r
p c
C
z’
z
O
x x’ X
Z
图3.1
Ix mi ( yi2 zi2 ) ( y2 z2 )dm
Ixy I yx mi xi yi xi yi dm
Iy mi (zi2 xi2 ) (z2 x2 )dm Iz mi (xi2 yi2 ) (x2 y2 )dm
其中：Pc (xc , yc , zc ) 为质心相对于{A}坐标 系的坐标。
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4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
二、牛顿—欧拉方程 我们假设机器人的每个杆件都为刚体，
为了运动杆件，我们必须加速或减速它们， 运动杆件所需要的力或力矩是所需加速度 和杆件质量分布的函数；牛顿方程和用于 转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人 驱动力矩、负载力（力矩）、惯量和加速 度之间的关系。