高速精密角接触球轴承刚度计算

求赫兹经典解， 需要求解 # 、 !、 " 和接触物体 几何尺寸之间关系的超越方程或通过图表计算。 ［’］ 这给编程带来了一定的困难。布鲁和哈姆罗克 借助最小二乘法用线性回归得到了 # 、 !、 " 的下 列简化方程： # C # @ $%%&
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已知轴承外加载荷， 用牛顿 I 拉费逊法分别 计算每个球的力平衡方程和位置相容方程组成非 线性方程组及轴承外加载荷的力平衡非线性方程 组， 可以得到轴承内外圈产生的相对位移。在此 基础上， 再次采用牛顿 I 拉费逊法， 计算每个球的 力平衡方程和位置相容方程组， 可以求出球与内 外圈沟道的接触载荷和接触角。计算采用文献 ［#］ 介绍的方法。 已知球与沟道的接触角和接触载荷， 利用 （ ’） 式可以求得每个球与内外圈沟道的接触刚度。 ’() C # @ (!"#
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［’］ 接触变形之间的关系为
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两接触物体接触点在主平面内的曲 率和 两接触物体的接触载荷 椭圆率参数， 为接触椭圆长半轴与 短半轴之比 两接触物体等效弹性模量 万方数据
图 "" 内圈沟道曲率系数与角刚度的关系
以上的分析与计算为主轴单元的动力学分析 提供了基础。分析与计算方法也适用于其他滚动 轴承应用场合。 参
" $ <13,，=3>/ "!!# / 5/ 9/ 哈姆罗克， ?/ 道森 / 滚动轴承润滑 / 机械工业出版 社， "!@@ /
考
文
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对 （ #） 式求导数， 可以得到赫兹接触刚度 ’ # & [ ( ’" ) ( ! !#$ ) ]
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赫兹接触刚度
由赫兹接触理论， 两接触物体的接触载荷和
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轴承刚度Fra Baidu bibliotek算
［#］ 多人对刚度特性的计算过于简化 ， 一般都是把
轴承简化成等效弹簧， 忽略了刚度随载荷的非线 性变化、 角刚度以及刚度随旋转速度变化等。即 使考虑到上述因素， 刚度计算误差也较大。本文 在计算两种预紧方式即定位预紧和定压预紧、 球 与内外圈沟道接触载荷和接触角的基础上， 计算 了每个球与内外圈沟道接触点的接触刚度， 根据 轴承内部变形的几何关系， 提出了一种新的轴承 径向刚度、 轴向刚度和角刚度的计算方法， 并通过 实例计算分析了轴承旋转速度、 预紧载荷和内外 圈沟道曲率系数对刚度的影响。所提出的机床主 轴轴承刚度计算方法也适用于其他滚动轴承应用 场合。
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外圈沟半径 !" ()) 接触角!& （ ( -） 球数 % 钢弹性模量 ’ ・ (/ )) 0 , 钢泊松比" 钢密度#
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角刚度随旋转速度的变化
由图 % 可知， 轴承的径向、 轴向和角向刚度 分别为 +, 、 +- 、 + "
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度增加， 径向接触刚度增加， 但接触角的减小使轴 向刚度迅速减小。球与内圈沟道接触刚度几乎没 有变化， 对轴承刚度而言， 球与内外圈沟道接触刚 度是串联的， 因此， 随着旋转速度的提高， 主轴轴 承径向刚度略有增加， 而轴向刚度、 角刚度迅速降 低。 由图 ! 、 图 " 和图 # 可知， 预紧载荷增加， 主轴
计算。计算所需的 4-00) 高速精密角接触球轴承 的参数和钢球材料参数列于表 (。 主轴轴承径向、 轴向和角刚度随预紧载荷及 旋转速度的变化规律计算结果见图 2 3 图 .。内 外圈沟道曲率系数对主轴轴承径向、 轴向和角刚 度的影响见图 / 3 图 (1。
图% 球与内外圈沟道接触刚度相对位置
图 1 和图 ) 可以看出， 定压预紧状态 由图 2、 下， 随着旋转速度提高， 主轴轴承径向刚度略有增 加， 而轴向刚度、 角刚度迅速降低。旋转速度提 高， 球的离心力迅速增加， 球与外圈沟道的接触角 变小， 接触载荷增加， 使球与外圈沟道法向接触刚
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轴承型号 轴承内径 # ()) 轴承外径 $ ()) 轴承宽度 & ()) 球直径 $( ()) 中心圆直径 $) ()) 内圈沟半径 ! * ()) *! ’+’ $, ."
刚度。 随着内外圈沟曲率 由图 4 5 图 $. 可以看出， 系数的增加， 主轴轴承径向刚度、 轴向刚度和角刚
%"&&’ 轴承参数和球材料参数
图(
球与内外圈接触刚度
由图 ( 可知， 球与内外圈沟道接触刚度的径 向分量和轴向分量为 +,!# ! +!# "#$ !!# +-!# ! +!# $*+%!!# +,"# ! +"# "#$%!"# +-"# ! +"# $*+%!"#
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1
实例计算和结果分析
以 4-00) 高速精密角接触球轴承为例进行了
2
计算步骤
主轴轴承刚度的计算步骤为： （(） 假设主轴轴承内外套圈相对位移为 #, 、
式中
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#- 和"。 对所有球求解由力平衡和几何位置相容 （%）
方程组成的非线性方程组， 得到所有球与内外圈 沟道接触的载荷和接触角。 （2） 得到所有球与内外圈接触的载荷和接触 角后， 求解外加载荷力平衡的非线性方程组得到 主轴轴承内外圈相对位移#, 、 #- 和"。 得到主轴轴承内外圈新的相对位置 #, 、 （1） （%） （2） ， 直到第 ! 步的主轴轴 3 #- 、 " 后重复步骤 承内外圈相对位移#, 、 #- 、 " 值和第 ! ’ ( 步的主轴 轴承内外圈相对位移#, 、 #- 、 " 小于给定的公差。 （)） 得到主轴轴承内外套圈的相对位移 #, 、 （ %） ， 得到平衡状态下所有球与 #- 、 " 后重复步骤 内外圈接触的载荷和接触角。 （,） 由 （2） （1） 、 式计算球与内外圈接触的法向 接触刚度。 由 （) ） 、 （ ,） 、 （ -） 和 （ .） 式计算球与内外圈 （-） 接触的径向接触刚度和轴向接触刚度。 （.） 由 （/） 、 （(0） 和 （ ((） 式计算主轴轴承的径 向刚度、 轴向刚度和角向刚度。
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下标， 分别代表内外圈和第 # 个球 &（ !） ’ &( ! &’ "#$ % &(
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图 "& 图! 内圈沟道曲率系数对径向刚度的影响
外圈沟道曲率系数与轴向刚度的关系
图 "’ 图 "# 轴向刚度随内圈沟曲率系数变化
角刚度随外圈沟道曲率系数的变化
略有增加， 而轴向刚度和角刚度迅速降低。 （&） 预紧载荷增加， 主轴轴承径向刚度、 轴向 刚度和角刚度随之增加。 （’） 内外圈沟道曲率系数增加， 主轴轴承径向 刚度、 轴向刚度和角刚度随之减小， 但影响很小。 （%） 最佳沟道曲率系数选择可以忽略对主轴 轴承刚度的影响， 主要从降低轴承的打滑和提高 旋转速度方面来考虑。
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"+# 定压预紧
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预紧方式
图!
径向刚度与预紧载荷的关系
图" 图* 旋转速度对径向刚度的影响
轴向刚度随预紧载荷的变化
图# 图. 旋转速度与轴向刚度的关系
预紧载荷对角刚度的影响
度随之减小， 这是由于沟道曲率系数的提高， 增大 轴承径向刚度、 轴向刚度和角刚度随之增加。这 是由于预载荷增加， 不仅提高了球与内外圈沟道 的接触角， 而且提高了球与内外圈沟道的接触载 荷， 从而提高主轴轴承的径向刚度、 轴向刚度和角 万方数据 了赫兹接触变形量。但沟道曲率系数的变化对主 轴轴承径向刚度、 轴向刚度和角刚度的影响很小， 因此， 选择最佳沟道曲率系数时可以忽略对主轴 轴承刚度的影响， 主要从降低轴承的打滑和提高
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外圈沟道曲率系数对径向刚度的影响
第一作者： 杜迎辉
工程师
（编辑： 吕成银）
旋转速度方面来考虑。
（收稿日期： $### A #! A $B）
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结论
通过上述分析和计算， 可以得到下列结论：
（"） 本文提出的主轴轴承刚度计算方法是正 确的。 （$） 随着旋转速度的提高， 主轴轴承径向刚度
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钢球数量
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高速精密角接触球轴承刚度计算
洛阳轴承研究所 （河南洛阳 洛 浙 阳 江 工 学 大 院 （河南洛阳 学 （浙江杭州 昆山恩斯克有限公司 （江苏昆山 !"#$%&） 杜迎辉 !"#$%&） 邱 明 ’#(%%(） 蒋兴奇 %#$$’"） 马家驹
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