离散数学关系完整ppt课件

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例2.1 设A={1,2,3}, B={a,b}，求A×B。
由笛卡儿积的定义可知有A×=×A= 。 又由有序对的性质可知，一般没有 A×B≠B×A。A×B也是一个集合，所以可 以和另一集合C作笛卡儿积(A×B)×C，类 似地有A×(B×C)。但是，一般没有 (A×B)×C=A×(B×C)，且A×B中的元素既 不是A 中的元素，也不是B中的元素。
(1) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)， (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
(2) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)， (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)。
(3) A×(B -C) = (A×B)- (A×C)，
(B -C)×A = (B×A) - (C×A)。
(x,y)∈(A×B)-(A×C)，有(x,y)∈A×B且(x,y) A×C， 由(x,y)∈A×B 得x∈A且y∈B，由x∈A和(x,y) A×C 得y C，所以x∈A且y∈B且y C。由y∈B且y C得 y∈B-C，所以(x,y)∈A×(B-C)。因此(A×B)-(A×C) ⊆ A×(B-C)。
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定义2.6笛卡尔积A1×A2×… × An的任意一个子 集R称为A1，A2，…，An上的一个n元关系。当 A1=A2= … =An=A时，称R为A上的n元关系。
第二章
关系
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在现实生活中, 集合与集合之间还存在着某种 联系，如同学关系、朋友关系等。这些关
系正是各门学科所要研究的主要内容。离
散数学从集合出发，主要研究集合之间的 关系。本章内容主要研究二元关系。
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本章主要内容：
关系的基本概念 关系的表示方法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
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证明 (1) 对(x, y)∈A×(B∪C)，有x∈A 且 y∈B∪C，因此x∈A 且(y∈B 或y∈C)，当y ∈B 时，由x∈A 和y∈B 得(x, y)∈A×B，当 y∈C 时，由x∈A 和y∈C 得(x, y)∈A×C，所 以(x, y)∈(A×B)∪(A×C)，即A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A×C)。
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2.1关系的基本概念
为了讨论关系，首先引入有序对和笛卡儿积两个概念。 由两个元素a, b组成的集合{a, b}中，a和b是没有 次序的。有时需要考虑有次序的两个元素，所以需 要由两个元素组成新的东西，并且两个元素是有次 序的。
定义2.1两个元素a, b 有次序地放在一起，称为一个有 序对或序偶，记为(a, b)。在有序对(a, b)中，a 称为 第一元素，b称为第二元素。且(a1, b1) = (a2, b2)当 且仅当a1 = a2 且b1 = b2。
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定义2.2 设A, B 是两个集合，集合{(x, y) | x∈A 且y∈B}称为A 和B 的笛卡儿积，也 称卡氏积，记为A×B。用属于关系来表示 就是：(x, y)∈A×B 当且仅当x∈A 且y∈B 和(x, y)∉A×B 当且仅当x∉A或y ∉B。其中 A 称为第一集合，B 称为第二集合。
因为A ⊆ A，B ⊆ B∪C 和C ⊆ B∪C 得A×B ⊆ A×(B∪C)和A×C ⊆ A×(B∪C)，因此 (A×B)∪(A×C) ⊆ A×(B∪C)。
因此A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)成立。
同理可证(B∪C)×A = (B×A)∪(C×A)。
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(2) 对(x,y)∈(A×B)∩(A×C)，有(x,y)∈A×B且 (x,y)∈A×C，所以（x∈A且y∈B）且（x∈A 且y∈C）。由y∈B且y∈C得y∈B∩C，由x∈A 且y∈B∩C 得(x,y)∈A×(B∩C)。因此 (A×B)∩(A×C) A×(B∩C)。
也可简称为关系。对于二元关系R，如果 (x,y)∈R，可记作xRy；如果(x,y)R，则记作 xRy。 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B时则 叫做A上的二元关系。
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例2.2 设集合A={0,1}，B={1,2,3}，那么 R1={(0,2)}，R2=A×B，R3= ， R4={(0,1)}等都是从A到B的二元关系， 而R3和R4同时也是A上的二元关系。
因此A×(B-C)=(A×B)-(A×C)。
同理可证(B-C)×A=(B×A)-(C×A)。
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定义2.3 任给n≥2，n 个元素a1，…, an 有 次序地放在一起，称为一个n 元有序组， 记为(a1，…，an)。为了体现n 元有序组 的次序，规定(a1，…，an)= (b1,，…，bn) 当且仅当任给1≤i≤n，都有ai = bi。n 元 有序组可以组成集合，特别地有n 个集 合的卡氏积。
因为A ⊆ A，B∩C ⊆ B和B∩C ⊆ C，所以有 A×(B∩C) ⊆ A×B和A×(B∩C) ⊆ A×C成立， 因此A×(B∩C) ⊆(A×B)∩(A×C)。
因此A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)。 同理可证(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。
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(3) 对(x,y)∈A×(B-C)，有x∈A且y∈B-C，所以x∈A且 y∈B且yC。由x∈A且y∈B得(x,y)∈A×B，由y C 得(x,y) A×C，所以(x,y)∈(A×B)-(A×C)。因此 A×(B-C) ⊆(A×B)-(A×C)。
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定理2.1 如果B1A1，B2A2，则 B1×B2 A1×A2。
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证明 对(x, y)∈B1×B2，有x∈B1 且y∈B2， 又因为B1 A1 ，B2 A2 ，则x∈A1 且 y∈A2，所以(x, y)∈A1×A2，即B1×B2 A1×A2。
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定理2.2 A, B, C 是任意集合，则：
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定义2.4 任给n≥2，A1，…，An 是n 个集 合，集合{(x1,⋯, xn)| 任给1≤i≤n，都有
xi∈Ai}称为A1，…， An 的卡氏积，记为
A1×…×An。任给1≤i≤n，Ai 称为这个卡 氏积的第i 个集合。
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定义2.5 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空，且它的元素都是有序对； （2）集合是空集。 则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系