风险管理-风险管理与金融机构第3章

第三章VaR方法
3.1 远期与期货的定价▪一个农民想把他的牛卖掉，若t 时刻牛价格为S
t ，如果他签订一个在
T （T>t ）时刻卖牛的期货合同，在t 时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素
▪若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险利率投资就获得利息。

()r T t t t F
S e -=
例9.2
▪假定一个1年的项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，5000万美元损失和5000万美元收益之间的任意结果具有均等的可能。

▪项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于-4900万美元的可能性为1%。

▪对于1年的展望期，在99%置信度下的VaR为4900万美元。

例9.3&9.4
▪假定一个1年的项目有98%的概率收益为200万美元，1.5%的概率损失为400万美元，0.5%的概率损失为1000万美元。

▪在这一累计分布下，对应于99%累计概率的点为400万美元，因此，对于1年展望期，在99%置信度下的VaR为400万美元。

▪要求99.5%的置信水平下的VaR，这时，介于400万美元和1000万美元之间的任意一点的损失，均有99.5%的把握不会被超过。

对于这一区间的任意数值V，损失超过V的概率均为
0.5%。

VaR在这一情形下不具有唯一性，一个合理的选择是
将VaR设定为这一区间的中间值，这意味着，在99.5%置信度下的VaR为700万美元。

▪99.9%的置信水平下VaR为1000万美元。

例9.3&9.4的累计损失分布
VaR和资本金
▪VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量。

▪对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于在10天展望期的99%VaR的一定倍数（至少3倍）。

▪对于信用风险和操作风险，巴塞尔协议Ⅱ
中，监管人员要求在资本金计算中采用1年展望期及99.9%的置信区间的VaR。

一致性条件的风险度量
▪VaR是最好的风险度量选择吗？
▪好的风险度量应该满足下面的条件：
▪单调性：如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另一个交易组合，那么这里的第1个交易组合的风险度量一定要比另一个大。

▪平移不变性：如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交易组合所对应的风险度量要减少K数量。

▪同质性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含资产的数量增至原数量的λ倍，此时新交易组合的风险应是原风险的λ倍。

▪次可加性：两个交易组合合并成一个新交易组合的风险度量小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和。

Coherent Risk Measure
▪Example 1
▪Example 2
▪Example 3 Worst case risk measure
▪Example 4
()[]
X E X ρ=-()[]
c X VaR X ρ=max ()inf ()X X ωρω∈Ω
=-()[]
c X CVaR X ρ=
▪假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失1000万美元，同时均有0.98的概率损失100万美元。

▪展望期为1年，每个项目97.5%置信水平下的VaR为100万美元。

▪将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.02*0.02=0.0004的概率损失2000万美元，并且有2*0.02*0.98=0.0392的概率损失1100万美元，有0.98*0.98=0.9604的概率损失200万美元。

▪展望期为1年，组合97.5%置信水平下的VaR为1100万美元。

▪单笔贷款所对应VaR的和为200万美元，贷款组合的VaR比单笔贷款VaR的和高900万美元，违反了次可加性。

▪展望期为1年，每笔贷款97.5%置信水平下的VaR为100万美元。

为了计算在97.5%的置信水平下的预期亏损，在2.5%的尾部分布中，有2%的概率损失为1000万美元，有0.5%的概率损失为100万美元。

因此，在2.5%的尾部分布的范围内，有80%的概率损失为1000万美元，有20%的概率损失为100万美元，预期损失为0.8*1000+0.2*100=820万美元。

▪将两个贷款组合到一起，在2.5%的尾部分布中，有0.04%的概率损失为2000万美元，有2.46%的概率损失为1100万美元，在2.5%的尾部分布的范围内，预期损失为
(0.04/2.5)*2000+(2.46/2.5)*1100=1114.4万美元
▪因为820+820=1640>1114.4，因此，预期亏损满足次可加性。

例9.6
▪首先考虑第一笔贷款，违约可能为1.25%，在违约发生的条件下，损失为0到1000万美元的均匀分布，这意味着有1.25%的概率损失大于0，有
0.625%的概率损失大于500万美元，损失超过1000万美元的事件不会发
生。

损失超过200万美元的概率为
1.25%*0.8=1%
▪因此，1年期99%的置信水平下，每一笔贷款的VaR为200万美元。

▪接下来考虑两笔贷款，每笔贷款违约的可能均为1.25%，并且两笔贷款不可能同时违约。

因此，任何两笔贷款之中有一笔贷款违约的概率为
2.5%，在违约发生的条件下，损失超过600万美元的可能性为40%。

因
此，损失大于600万美元的无条件概率为
2.5%*40%=1%
▪一笔贷款违约，另一笔贷款会有盈利20万美元，将这一盈利考虑在内，我们得出一年99%的VaR为580万美元。

▪单独计算单一贷款所产生的VaR相加，得到VaR总和为400万美元，组合的VaR为580万美元，不满足次可加性。

▪单笔贷款对应的VaR为200万美元，将展望期设为1年，在99%把握之下所对应的预期亏损等于在损失大于200万美元的条件之下，损失的期望值。

已知损失服从0到1000万美元的均匀分布，因此，预期亏损为200万美元到1000万美元的均匀分布，即为600万美元。

▪两笔贷款组合的VaR为580万美元，贷款组合的预期亏损等于损失大于580万美元条件下，损失的期望值。

当一笔贷款违约时，另一笔贷款不可能违约，这时，贷款组合的价值介于20万美元的盈利及980万美元的损失之间的均匀分布，损失介于580万美元与980万美元之间的期望值为780万美元。

因此，贷款组合的预期亏损为780万美元。

▪单笔贷款对应的预期亏损之和为600+600=1200万美元，贷款组合的预期亏损为780万美元。

因此，预期亏损满足次可加性。

光谱型风险度量
▪VaR对于第X个分位数设定了100%的权重，而对于其他分位数设定了0权重。

▪预期亏损对于所有高于X%的分位数的所有分位数设定相同的权重。

▪权重光谱型风险度量可以对分布中的其他分位数设定不同的比重。

▪对于满足一致性条件的风险度量，其分位数的权重必须为非递减函数。

越高的分位数，权重越大。

独立性假设
▪对于独立同分布的投资组合，T 天展望期的方差是1天展望期方差的T 倍。

▪如果存在自相关性的影响，其乘数就从T 倍增加到
▪定义为交易组合在第i 天得价值变化，并假定与相关系数为。

假定对于任意i ，
的方差为，则的方差为
1
322)3(2)2(2)1(2-++-+-+-+T T T T T ρρρρ i P ∆i
P ∆1-∆i P ρi P ∆2σ1-∆+∆i i P P 2
222)1(22σρρσσσ+=++
持有期的选择和设定
一般来说，在其他因素不变的情况下，持有期越长，组合面临的风险就越大，从而计算出的VaR值就越大，同时，持有期的选择还对VaR值的可靠性也产生很大影响。

因此，持有期的选择和设定非常重要。

持有期的选择和设定应考虑以下两个因素：•组合收益率分布的确定方式；
•组合的市场流动性和头寸交易频繁程度。

置信水平的选择
▪置信水平的选取通常取决于操作目的。

对于市场风险通常取99%的置信水平，对于信用风险和操作风险通常使用99.9%。

▪一家银行要想保持自己的AA信用评级，在内部管理过程中通常就会采用高达99.97%的置信水平。

因为在一年展望期内AA信用评级公司只有0.03%的破产可能。

2.如果远期的标的资产提供确定的红利。

假设红利是连续支付的，红利率为q 。

由于具有红利率q ，该资产的价格才为S t ，它等价于价格为
()()()()
()q T t r T t r q T t t t t F S e e S e -----==()
q T t t S e -
-的无红利资产。

由无红利的资产的定价公式可得
敏感性分析()()()()
()q T t r T t r q T t t t t F S e e S e
-----==()()()()(,)r q T t r q T t t t t t dF S r dS e S e dr
----=+⋅⋅注意：
（1）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。

（2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。

例3.1
假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金为100万美元的2年×3年远期利率协议的
合同利率为11％，请问
1.理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理
吗？
2.该远期利率协议的价值是多少？
11%310.5%212.0%(32)l l s s f l s rt r t r t t -⨯-⨯===--t s
t l
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l s
k t t Ae --()()
0()()[] =[1]f l s l s s s f l s s s r t t k t t r t k r t t r t f A A e e e A e e -------=-⋅⋅-
()()010.52(0.110.12)(32)[1]
1,000,000[1]
8065.31f l s s s k r t t r t f Ae e e
e ----⨯--=-=⨯-=由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利率），这实际上给了多方（借款方）的优惠，故合约价值为正。

反之，当协议利率高于远期利率的时候，空方获利，这意味着远期合约的价值为负。

远期合约的价值总是从多方的视角来看的！
3.2 期货合约——远期的组合▪三个制度性特征：逐日盯市、保证金要求、期货清算所，逐日盯市将履约期限缩短为1天。

▪若7月1日购买了1份83天的期货合约，当日期货价格为0.61美元，次日为0.615美元。

这等价于
7月1日购买了一份期限为83天的远期合约，其交割价
格为0.61美元
7月2日远期合约以0.615美元被清算，并被一份期限为82天，交割价格为0.615美元的新的远期合约所代替。

▪思考：远期能否看成是期货的组合？
讨论：期货与远期的差异 假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有3日期限，多方损益
50004.17月2日00远期现金流-50047月3日047月1日期货现金流
期货价格（元）
日期
讨论：期货与远期的差异
1.如果利率固定，则期货合约和远期合约等
价。

（CIR定理）
2.如果利率浮动，则期货与远期可能不等
价。

考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如何？
▪显然，多方偏好期货合约，则期货合约价值上升，反之则反。

▪一般来说，远期与期货存在一定的差异： 如果期货和远期的到期时间只有几个月，那
么，在大多数情况下，二者价格的差异常常小
到可以忽略不计。

随着到期时间的延长，二者价格的差异可能变
得比较显著。

▪若标的资产价格与利率正相关，则期货合约价值高于远期，反之则反
利率上升→标的资产价格上升→多头获利实现
（盯市）→再投资收益增加
利率下降→标的资产价格下降→期货多头亏损
→以低成本融资
CIR定理：期货与远期等价
▪CIR定理：如果利率固定（Constant），那么远期价格与期货价格相同。

▪证明的思路：期货是一连串不断更新的远期。

根据无套利定价的原理，可以让远期和期货相互复制。

▪CIR的思路：以期货组合复制远期，由远期推断期货。

远期：到期日结算（中间没有现金流）
期货：每日结算（每日都有现金流）
证明：（by Cox ，Ingersoll ，Ross ） 假设期货合约的有效期为
n 天，用F i 表示第天i 末（0<i<n-1）的期货价格，δ表示每天的无风险利率（常数）。

不计交易费用，考虑下述投资策略
1.第0天末（即合约开始的时候）持有e δ单位的期货多头
2.第1天末把头寸增加到e 2δ
3.第2天末把头寸增加到e 3δ
4.第n-1天末把头寸增加到e n δ
也可以作如下分析：
（1）在第0天末（第1天初）买进eδ单位的期货
（2）在第1天末（第2天初）把头寸增加到
e2δ，结清上一日的eδ单位
（3）在第2天末（第3天初）把头寸增加到
e3δ，结清上一日的e2δ单位…….
（n）在第n－1天末（第n天初）把头寸增加到e nδ单位，结清上一日的e(n-1)δ单位。

边际VaR、增量VaR、成分VaR
尽管VaR可以有效地描述组合的整体风险状况，但对金融交易者来说，可能还远远不够，因为实际中的金融交易者经常要根据市场情况不断地对组合中各资产的头寸进行调整。

这就需要金融交易者进一步了解构成组合的每项资产头寸以及每项资产头寸的调整变化对整个组合风险的影响。

于是，我们将VaR扩展到：边际VaR、增量VaR、成分VaR。

成分VaR的性质
▪资产i 的成分VaR恰好为资产i 对组合VaR 的贡献份额，即在一个大的资产组合中，成分VaR等于增量VaR。

▪投资组合的成分VaR的总和等于投资组合的整体VaR（欧拉定理）。

▪成分VaR常用于将整体VaR分配到子交易组合，甚至到单一交易中。

回顾测试
▪不管采用什么方法来计算VaR，我们必须将VaR同现实进行比较，这一测试成为回顾测试(back testing)。

在这种测试
中，模型结果要同离散数据进行比较。

▪回顾测试是要找出交易组合每天的实际损失有多少次超出VaR的例外情形发生。

实际损失超过VaR的情形被称为例
外。

▪若置信度为99%，如果例外的天数大约占整体天数的1%，则VaR模型较为准确。

▪如果例外的天数占整体天数的比例远大于1%（例如7%），我们有理由认为VaR估计偏低。

如果例外情形发生的频率远低于1%（例如0.3%），则我们有理由认为VaR估计偏高。

▪在统计的假设检验中，一个经常被选定的置信度为5%，如果在所有观察日中，有m天或更多天实际损失超过VaR的概率小于5%，那么我们可以拒绝第一种假设，则例外发生的概率大于p.
▪如果有m天或更多天实际损失超过VaR的概率大于5%，则例外发生的概率为p。

例9-13
▪假定采用600天得数据来检测VaR模型，选用99%的置信度，在600天观察数据中发现了9个例外，而在这里对例外所发生次数的期望值为6，这时应该拒绝VaR模型吗？
▪通过Excel计算，对应于9个或更多例外发生的概率为
0.152，因此如果采用5%的置信度，则不应该拒绝该模
型。

▪如果例外发生的次数为12，计算例外次数为12或更多的概率为0.019，这时应该拒绝该模型。

事实上，当例外次数超过11时我们就应该拒绝模型。