二阶变系数线性微分方程的一些解法

第九节 二阶变系数线性微分方程

的一些解法

常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法

§9.1 降阶法

在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。

考虑二阶线性齐次方程

22dx y d ＋p(x) dx

dy ＋q(x)y ＝0 (9.1)

设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2)

其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有

dx dy ＝y 1dx du ＋u dx

dy 1

求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx

dy 1

＋u 2

12dx y d

代入(9.1)式得

y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x)

dx dy 1

＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3)

这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中

212dx y d ＋p(x) dx dy 1

＋q(x)y 1≡0

故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx

du ＝0

再作变量替换，令dx

dy

＝z 得

y 1dx dz ＋(2dx

dy 1

＋p(x)y 1)z ＝0

分离变量 z

1

dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx

两边积分，得其通解

z ＝21

2y C e

－∫p(x)dx

其中C 2为任意常数

积分得u ＝C 2∫21

y 1e －∫p(x)dx

dx ＋C 1代回原变量得(9.1)

的通解

y ＝y 1［C １＋C 2∫21

y 1e －∫p(x)dx

dx ］

此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville )

公式。

综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换

y ＝y 1∫zdx

可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。

对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方

程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。

例1. 已知y １＝x x

sin 是方程22dx y d ＋x 2dx

dy ＋y ＝0的

一个解，试求方程的通解

解 作变换 y ＝y 1∫zdx

则有 dx dy ＝y 1z ＋dx

dy 1

∫zdx

22dx y d ＝y 1dx dz ＋2dx

dy 1

z ＋212dx y d ∫zdx 代入原方程，并注意到y 1是原方程的解，有

y 1dx dz ＋(2dx dy 1＋dx

dy 1

)z ＝0

即 dx

dz

＝－２ctanx ·z

积分得 z ＝x

sin C 21

于是 y ＝y 1∫zdx ＝x

x

sin ［∫x sin C 21dx ＋C 2］

＝x x sin (－C 1ctanx ＋C 2)

＝x

1

(C 2sinx －C 1cosx) 这就是原方程的通解。

§9.2 常数变易法

在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程

22dx y d ＋p(x) dx

dy

＋p(x)y ＝f(x) (9.4)

其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程

22dx y d ＋p(x) dx

dy

＋q(x)y ＝0

的通解 y ＝C 1y １＋C ２y 2已经求得。

那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程

的通解。

设非齐次方程(9.4)具有形式 ~

y ＝u 1y 1＋u ２y 2 (9.5)

的特解，其中u 1＝u 1(x)，u 2＝u(x)是两个待定函数，对~

y 求导数得

~

'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2＋y 1u ′１＋y 2u ′2

由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u 1，u 2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y １u ′１＋y 2u ′2＝0

这样

~

'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2

"y ~

＝u ′1y ″1＋u ′2y ″2＋u 1y ′1＋u 2y ′2

代入方程(9.3)，并注意到y 1，y 2是齐次方程的解，整理得

u ′１y ′1＋u ′２y ′２＝f(x)

与补充条件联列得方程组⎩⎨⎧=++=+)x (f 'u 'y 'y 'u 'y 0'u y 'u y 222112211

因为y 1，y 2线性无关，即

12y y ≠常数，所以(1

2

y y )′＝2

11221y 'y y 'y y -≠0

设w(x)＝y 1y ′2－y 2y ′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。

解得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=-=-=--=)x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u )x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u 11221122122121