带电粒子在磁场中运动的多解问题

解得 R1 =8.0/n ( cm ) (n = 2, 3, 4…) ⑥
x b
a
6.4 104 E V/m 2 n ( n 2 ,3 ,4 )
Ⅱ
⑦
题目
（2）若粒子能进入磁场区Ⅱ且最后能通过坐标原点 O ，则粒子的运动轨迹如图中所示， A1 和 A2 分别为粒子 在磁场区Ⅰ和Ⅱ中做圆周运动的圆心
mv1 1 r l qB 4
qBl v1 4m
a
b
v
c
l
d
l
若刚好从b 点射出，如图：
R2 l 2 ( R l 2 )2
5 mv2 R l 4 qB
5qBl v2 4m
要想使粒子不打在极板上， v < v1 或 v > v2 R- l/2 a v
R
b l
5qBl qBl 即v 0 或v 0 4m 4m
4. 运动的重复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时， 运动往往具有重复性，因而形成多解。 例6. 如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E， 方向竖直向下。在 x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强 度为B，方向垂直纸面向里。在x轴上有一点 P，离原 点的距离为 a 。现有一带电量 +q 的粒子，质量为 m ， 从静止开始释放，要使粒子能经过 y P点，其初始坐标应满足什么条件？ P x （重力作用忽略不计） O
分析：要使粒子能经过 P 点，其初始位置必须在匀强 电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下： （1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下沿y 轴从原点 O 进入磁场做半径为 R 的匀速圆周运动。由 于粒子可能偏转一个、二个……半圆到达P点，
故
a 2nR( n 1， 2„ )
1 qEy1 mv 2 2 2 v Bqv m R
l
分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀 速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。
要想使粒子能射出磁场区，半径r必须小于d/4（粒子 将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数 值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。
当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大, 则其圆心为图中O1点, 半径 r1=d/4。 因此粒子从左边射出必须满足r≤r1。 l r1 rBq mv0 由于 r ， 所以 v0 ， O1 m qB v0 Bdq 乙 v0 即 4m
B. 可能大于I2/2m
C. 可能为0
D. 可能处在0和I2/2m之间
解：若qv0B＝mg
则f=0
qv0B mg qv0B mg
滑环以v0作匀速运动，Wf=0
若qv0B<mg则f=μ(mg- qv0B)
滑环作减速运动，一直减速到0， Wf=1/2mv02 - 0 ＝I2/2m
f
若qv0B>mg则f=μ(qv0B-mg) 滑环作减速运动， 当减速到v1时，若qv1B＝mg f1=0则以v1作匀速运动 qv1B qv B 2 2 2 0 Wf=1/2mv0 - 1/2mv1 < I /2m f 所以选项A C D正确。 mg mg
在ΔA1CD中，有
cosθ=DC/A1C =d/R1 ⑧ y P (x,y) 在ΔA1 A2F中，有 A2 FA1 x 2 R1 sin ⑨ E θ O A1 D x A1 A2 R2 R1 F d Ⅰ 解得,cosθ=0.6 R1 =5.0cm ⑩ θ a b C E=2.5 ×104 V/ m Ⅱ
种情况。
例3. 如图甲所示，A、B为一对平行板，板长为l， 两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应 强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m， 带电量为+q的带电粒子以初速v0，从A、B两板的中间， 沿垂直于磁感线的方向射入磁场。 A 求v0在什么范围内，粒子能从磁场 m v0 d +q 内射出？ B 甲
2所示，
由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为
x2 b r ( r a )
2
2
y P v0
2mv0a 2 a 解得 x2 b eB
⑦ 0
图2 Q
x
题目
例3 一带正电的滑环，带电量为q，质量为m，套 在粗糙的足够长的绝缘杆上，杆呈水平状态固定不动， 整个装置处在磁感应强度为B，方向如图示的匀强磁 场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量I，使其沿杆 运动起来。若环与杆之间的动摩擦因数为μ，则滑环 在运动过程中克服摩擦力做的功 （ A C） D A. 可能为I2/2m
c
l
d
例2 如图所示，现有一质量为 m 、电量为 e 的电子从 y 轴 上的 P（ 0 ， a ）点以初速度 v0 平行于 x 轴射出，为了 使电子能够经过 x 轴上的 Q （ b ， 0 ）点，可在 y 轴右 侧加一垂直于xOy平面向里、宽度为L的匀强磁场， 磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行,
题目
2. 磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大 小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不 确定而形成多解。
例2. 一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀 速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作 用在负电荷的电场力恰好是磁场力的 3 倍，则负电荷 做圆周运动的角速度可能是（ ）
2 2
a x 2nR( n 1， 2„ )
y
P x
题目
例4 如图示,在真空室内取坐标系Oxy,在x轴上方存在匀强电 场,场强方向沿负y方向, x轴下方存在两个方向都垂直 于纸面向外的匀强磁场区Ⅰ和Ⅱ, 平行于x轴的虚线ab 是它们的分界线,虚线上方(包括虚线处)的磁场区Ⅰ的 磁感应强度B1＝0.20T, 虚线下方的磁场区Ⅱ的磁感应 强度B2＝0.10T,虚线与x轴相距d=4.0cm.在第一象限内 有一点P,其位置坐标x=16.0cm、y=10.0cm.一带正电的 粒子处于P点从静止释放,粒子的电荷量与质量之比 y P (x,y) q/m=5.0×107 C/kg . 为使粒子能通过坐标原点O, 匀强电场的场强E必须满足 O E x 什么条件? 不计粒子的重力 d Ⅰ 作用． a b Ⅱ
v 4 Bq 此种情况下,负电荷运动的角速度为 R m
v2 4 Bqv m R
4 BqR 得 v m
f
当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，
v 2 Bq 此种情况下,负电荷运动的角速度为 R m
v2 2 Bqv m R
得
2 BqR v m
F
应选A、C。
3. 临界状态不惟一形成多解 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒 子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多
源自文库
① O
y P x
设释放处距O的距离为y1，则有 ② ③
由①、②、③式有
B 2qa2 y1 2 ( n 1， 2„ ) 8n mE
（2）若粒子在电场中的起点坐标为（x、y2）， 依题意，有 当x>a ，粒子不可能经过P点；
当x=a ，不论取值如何，粒子均能经过P点；
当x<a ，则 同理可得: O B q( a x ) y2 ( n 1， 2„ ) 2 8n mE
1. 带电粒子电性不确定形成多解
受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带 负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运 动轨迹不同，导致形成双解。
例1. 如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的 匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m，电量大小为 q 的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度 v0与x轴夹角θ= 600 ，试分析计算： y （1）带电粒子从何处离开磁场？穿越 磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？ O
上、下足够宽（图中未画出）.已知，
L ＜ b 。试求磁场的左边界距坐标 y 原点的可能距离． v0 P （结果可用反三角函数表示）
mv0 2mv0 a eB eB
0
Q
x
解： 设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r, 则 2 v0 ① eBv0 m
mv0 解得 r ② eB ⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示， L eBL 由几何关系有 sin ③ r mv0 则磁场左边界距坐标原点的距离为
磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的 大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方 向不确定而形成多解。
3. 临界状态不惟一
带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于
粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能 有多种情况。
4. 运动的重复性
带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动 时，运动往往具有重复性，因而形成多解。
4qB A. m 3qB B. m 2qB C. m qB D. m
分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面” ，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。 在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电 荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时, F f 根据牛顿第二定律可知
带电粒子沿半径为R的圆周 运动一周所用的时间为
2R 2m T v0 Bq
θ1
O2 θ2 A x R O R θ1 R vA O1
解： （1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场， 运动方向发生的偏转角θ1=1200 。A点与O点相距： 3mv0 x 3R Bq 若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动 方向发生的偏转角θ2=600 ，B点与O点相距： mv0 y R Bq （2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为 1 2 m t1 T 360 3 Bq 若粒子带正电，它从O到B所用的时间为 2 m t2 T 360 3 Bq
d/2
当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆 心为图中O2点，半径为r2。由几何关系可得
d 2 2 r （r2 ） l ， 2
2 2
d l r2 4 d
2
因此粒子从右边射出必须满足的条件是r≥r2 2 2 O2 ( d 4l )qB v0 即
4dm
Bdq 所以当 v 0 4m 2 2 ( d 4l )qB 或 v0 时， 4dm
解: 粒子从P点开始运动,进入磁场区Ⅰ时的速度为v， 由动能定理得 qEy=1/2mv2
的轨道半径，有
v2 qvB1 m R1 v2 qvB2 m R2 ② ③
①
用R1、R2分别表示粒子在磁场区Ⅰ和区Ⅱ中运动
（ 1 ）若粒子没能进入磁场区Ⅱ而最后能通过坐标原 点O，则粒子每次进入磁场区Ⅰ中运动都是转动半周 后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原 点O，粒子的一种运动轨迹如图所示，有 n ∙ 2R1 =x R1 ≤d ④ ⑤ O d y E Ⅰ P (x,y)
v0
600
x
分析： 若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周 运动, 圆心为O1, 粒子向x轴偏转, 并从A点离开磁场。 若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆 心为O2 ，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场
mv0 不论粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为 R Bq
如右图示, 有 O1O O2O R O1 A O2 B y vB R B v 0
r
x1 b L [ a r ( 1 cos )] cot ④
mv0 x1 b L [ a ( 1 cos )] cot eB eBL （其中 arcsin ） ⑤ 0 mv0
P
y v0 θ θ 图1 Q
x
②当r < L时，磁场区域及电子运动轨迹如图
带电粒子在磁场中 运 动 的 多 解 问 题
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题 一般有多解。形成多解的原因有： 1. 带电粒子电性不确定 受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带 负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运 动轨迹不同，导致形成双解。 2. 磁场方向不确定
粒子可以从磁场内射出。
r2-d/2
l
r2
d/2
v0 乙
题目
例1. 长为l 的水平极板间有如图所示的匀强磁场， 磁感强度为B，板间距离也为l 。现有一质量为 m 、带 电量为 +q 的粒子从左边板间中点处沿垂直于磁场的方
向以速度 v0射入磁场，不计重力。要想使粒子不打在
极板上，则粒子进入磁场时的速度 v0 应为多少？ 解： 若刚好从a 点射出，如图：