对称性破缺

更加有力的数学工具——
群
群是描述对称性 的数学工具。因此也可以用 来判断、描述对称性的破缺。
在此我们举一个 简单的例子：即用平面图形 的对称群来描述平面图形的 对称性。
伽罗华（1811-1832）
平面几何图形的对称群
图形 对称变换 的种数
8
对称性下降 对称变换的 种数减少
2+2
对称群的 元素减少
2
截面的轴对称性越好，所提供的 不对称弯曲的可能性也就越多。
对称性破缺的概念
一个原来具有较高的对称性体 系，突然之间对称性明显下降，就产生了 所谓的（自发）对称性破缺，以下所述的 对称性破缺，若非特别说明，均指这种情 况。
餐桌上的对称性破
现代物理学中的 对称性破缺
对称性破缺在现代物理学中的影响是极其 深远的。也是物理学至今未能彻底解决的难题 之一。 在这一领域，很多物理学家同时也是杰出 的数学家。他们所建立的数学模型将对称性破 缺简洁地表达出来。 这里，我们将尽可能简单地来表述这一深 刻的思想。
H>H0
H
H0
v
x
一开始， 小车从很高的地方从 静止开始下落，它很 容易就翻过了山头， 继续前行，直到到达 对面的对称点，它便 停了下来，然后又往 回走，一直往复循环 着。
H<H0
H H0
v
然后，我们让小 车从很低的位置静止 滑下。结果它还未翻 过山头便停止了。只 能永远在第一个山谷 里运动。
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对称性破缺之美
2009年8月12日，教育部发布《通用规 范汉字表》并征求社会意见，引起舆论普遍关注。这 次改动将一些原本不对称的结构改为对称结构（如右 图）。 九成以上的网友不 改前 改后 赞成修改。改动不仅带 来很多麻烦，而且改后 的汉字看上去也没有原 来的漂亮。 专家们改的不是汉 字，是寂寞……
陈省身(1911-2004)
We are on the way
谢 谢 大 家
庞加莱 （1854—1912）
问题：为什么要用相图呢？
v
思路: 以退为进 整体综合
x
相图的对称性破缺
采用相图这一数学工具就可以很好地刻画系统的对 称性，我们很容易就看出在哪发生了对称性的破缺。 应当指出，这种运动的对称观点的内涵远比静止的 对称观点大得多。因为我们发现了静止观点中发现不到 的东西 。 。西东的
原因:带参函数参数对函数图像的影响.
思路:避繁就简 ,分类讨论.
自然
数学模型得到的结果跟事实惊 人地吻合！蚁群的觅食策略正 是“对称性破缺”思想的体现 。
集中优势兵力多少决定了彩民在投注 时的策略。
对称性破缺思想的运用 ——彩票
彩票购买者心理: 在尽量保证自己不赔的情况下寻求最大的 中奖可能性. 彩票购买的规则：（类似于3D）
x
？
H=H0
H
H0
v
x
当小车爬到坡顶出刚 好停止。接下来向左或向 右运动的可能性是相同的。 反映在函数图上，它 可能继续绕原来的O形轨 道运行，也可能开辟一条 新的 形轨道。 现在问， 对称性改变 了吗？
相图
C 0
前面看到的v与x关系的 图像称为相图。它的作法是 19世纪末法国伟大的数学家 庞加莱发明的。最初应用在 微分方程的定性理论上，后 来在物理上得到广泛应用。
北京故宫
中轴对称
苏州园林
正中求变
细胞分裂与组织分化
系统更加复杂，对称性减少
注意，在对称性减少的过程 中，并没有人为因素的干扰， 因此它是自发的。
不对称的起源
李政道的模型：
为什么不对称随处可 见，而对称却如此稀缺？ 事实上，李政道最杰 出的成就在于他对不对称 的研究。
杆的 截面
杆可能的 弯曲方向 的数量 结论
结论
生物学中的对称性破缺
X1
X2
蚂蚁总数N较少时
X1≈ X2
X1
X2
蚂蚁数量N较多时
X1＞X2
数学建模分析
设蚂蚁总数为N，开发食物1的蚂蚁数为X1，开 发食物2的蚂蚁数为X2。通过建模得到数值图像：
X1, X2
60 40 20 0
X1 X1 X2
190 210 230
X2
250 N
为什么会发生破缺?
创造破缺美
据说人类之所以把 东西做得不对称，为的 是使上帝不至于嫉妒人 类的完美。 而我宁愿把这种看法倒过来， 上帝把世界造得只是接近对称，这 样我们就不至于嫉妒上帝的完美了。 ——理查德·费曼
沙尔特教堂
破缺之路…
回顾对称性破缺的发 展,我们看到,它和数学的发展是 紧密联系的.数学大师,校友陈省 身先生在阐述数学和物理学之间 的关系时曾认为,数学和物理学 就像两条交织的曲线,时而相交 融合,时而分离远去.现在,我们 似乎就站在这个即将分离的交叉 点上.
对称性破缺
——数学与科学的融合
物理学院08级 安鑫 2009
1974年5月30日
中南海
毛泽东会见李政道
为什么对称是重要的？
对称是一种数学思想，但它只是一种数 学抽象，作为描述现实世界的重要工具， 数学不应该仅仅停留在描述事物的对称 性这种特殊而理想情况上。 事实上，有时候相对不那么对称（或者 干脆不对称）同样也是很重要的。 研究准对称、不对称现象已经成为热门.