勾股数ppt课件
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数。
• 我们再来看几组直角三角形的边：
5
• 6 8 10; 8 15 17; 10 24 26;
12 35 37; …………….
观察这些数，可发现如下规律：
第一个数都是偶数，取其一半平方，然后再取与这
个平方数相邻的两个自然数，就得到一组勾股数，
用公式表示为：
设m为大于2的偶数，则m, m2 4 , m2 4 一定是勾
E
• 可知，△BDE是直角三角形， 两直角边BD,DE分别是 6cm,8cm,所以，由勾股数 6,8,10算的斜边BE=10cm,Rt △BDE斜边上的高即为梯形的
• 高，高为 68 =4.8cm
10
10
• 例三 在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm， BC=2.8cm,则斜边AB的长为___cm.
• ⑺2291,2700,3541 ⑻799,960,1249 ⑼481,600,769
• ⑽4961,6480,8161 ⑾45，60,75 ⑿1679,2400,2929， ⒀161,240,289 ⒁1771,2700,3229 ⒂56,90,106
• 三千年前的古人，就能取得如此辉煌的成就，确实令人 惊讶。
• 勾股数有无数组，最早研究并发现大批勾股数的是古巴 比伦人。经研究发现，距今大约3000年前，古巴比伦人 留下了一份数学手稿中记下了下面15组勾股数：
• ⑴119,120,169 ⑵3367,3456,4825 ⑶4601,4800,6649
• ⑷12709,13500,18541⑸65，72，97 ⑹319,360,481
1
定义
• 如果正整数a ,b ,c能满足a2+b2=c2,则它们叫 做勾股数，按我们古代人的叫法，如果勾 股数的关系为a<b<c,则a叫勾数，b叫股数， c叫弦数。
2
• 我国古代数学家和天文著作《周髀算经》中记载的“勾 三 股四 弦五”就是最简单的一组勾股数，即3,4,5，它 是人们认识发现最早的一组勾股数。
• 这个公式包括了所有的勾股数，同学们可以用这 个公式寻找一下，看是不是能得到上面出现的全 部勾股数。
7
• 勾股数还有一些有趣的性质，下面写出几条，在 此不做证明，有兴趣的同学可选取一些勾股数验 证。
• 性质1 如果a,b,c是一组勾股数，则ma,mb,mc一 定也是勾股数。
• 例如 把3,4,5扩大得到6,8,10; 9,12,15; 12,16,20等等，但是扩大1.5倍得到的4.5,6,7.5不 是勾股数。
4
• 第一个数都是奇数，然后再把这个数的平方数分成
两个连续的自然数，就得到了一组勾股数，用公式
可表示为：
• 设m为大于1的奇数，则m, m2 1 , m2 1 一定是勾
股数
22
• 证明如下：
• m2+( m2 1 )= 4m2 m4 2m2 1 = m4 2m2 1
2
4
4
• =( m2 1 )2 • 这样就2能写出许多勾股数，但这还只是一部分勾股
• 解析 2.1cm=3×0.7cm A
•
2.8cm=4×0.7cm
• 则斜边的长为5×0.7cm
C
B
11
• 例四 如图，有一块直角三角形纸片ABC，两直
角边AB=6cm，BC=8cm,现将该三角形纸片沿直
线AD折叠，使B点落在斜边AC上，则CD等于
（）
A
• 解析：由图可得，AC=
E
• 10cm,AE=6cm,所以CE=
股数。证明如下：
Fra Baidu bibliotek
4
4
m2+( m2 4 )= 16m2 m4 8m2 16 = m4 8m2 16
4
4
4
=( m2 4 )2 这样也4只能写出一部分勾股数。
6
• 能不能写出一个公式，得到全部勾股数呢？数学 家经过研究，在前边两个公式的基础上得到了如 下公式：
• 对正整数m,n,m＞n,则2mn,m2-n2, m2+n2一定是 勾股数。
• 性质2 勾数和股数不能相等
• 性质3 勾数、股数、弦数三个数中，至少有一个 是偶数，且勾数和股数不可能同为奇数。
• 性质4 勾股数a,b,c三数的积abc一定能被60整除8 。
• 例题解析
• 1 如图 已知BC=4cm AB=3cm AF=12cm,则正方 形CDEF的面积为___
• 解析：由勾股数组3,4,5
F
E
• 和5,12,13很容易算出
• 正方形的边长为13cm
• 所以，它的面积 • 是169cm
A
C
D
B
9
• 例二 如图，在梯形ABCD中， A
D
AD∥BC,对角线AC⊥BD，且
AC=8cm，BD=6cm，则此梯形
的高是多少？
• 解析：作DE∥AC交
• BC的延长线于E，由
B
• 条件及梯形的性质
C
• 经过仔细观察上面的15组数，我们可以发现股数全部是
6的倍数，这是不是可以说，古巴比伦人可能找到了勾
股数的某种规律？
3
• 古今中外的数学家都在寻找计算勾股数的方法， 怎样能求出更多的勾股数呢？我们先来观察机组 简单的直角三角形的边：
•3 4 5 • 5 12 13 • 7 24 25 • 9 40 41 • 11 60 61 • …………….. • 你发现了有哪些规律？
• 4cm,DE=xcm=BD,则有
B
• x2+42 =(8-x) 2解得x=3cm
D
C
• 所以CD=5cm.
12
13
14
• 我们再来看几组直角三角形的边：
5
• 6 8 10; 8 15 17; 10 24 26;
12 35 37; …………….
观察这些数，可发现如下规律：
第一个数都是偶数，取其一半平方，然后再取与这
个平方数相邻的两个自然数，就得到一组勾股数，
用公式表示为：
设m为大于2的偶数，则m, m2 4 , m2 4 一定是勾
E
• 可知，△BDE是直角三角形， 两直角边BD,DE分别是 6cm,8cm,所以，由勾股数 6,8,10算的斜边BE=10cm,Rt △BDE斜边上的高即为梯形的
• 高，高为 68 =4.8cm
10
10
• 例三 在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm， BC=2.8cm,则斜边AB的长为___cm.
• ⑺2291,2700,3541 ⑻799,960,1249 ⑼481,600,769
• ⑽4961,6480,8161 ⑾45，60,75 ⑿1679,2400,2929， ⒀161,240,289 ⒁1771,2700,3229 ⒂56,90,106
• 三千年前的古人，就能取得如此辉煌的成就，确实令人 惊讶。
• 勾股数有无数组，最早研究并发现大批勾股数的是古巴 比伦人。经研究发现，距今大约3000年前，古巴比伦人 留下了一份数学手稿中记下了下面15组勾股数：
• ⑴119,120,169 ⑵3367,3456,4825 ⑶4601,4800,6649
• ⑷12709,13500,18541⑸65，72，97 ⑹319,360,481
1
定义
• 如果正整数a ,b ,c能满足a2+b2=c2,则它们叫 做勾股数，按我们古代人的叫法，如果勾 股数的关系为a<b<c,则a叫勾数，b叫股数， c叫弦数。
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• 我国古代数学家和天文著作《周髀算经》中记载的“勾 三 股四 弦五”就是最简单的一组勾股数，即3,4,5，它 是人们认识发现最早的一组勾股数。
• 这个公式包括了所有的勾股数，同学们可以用这 个公式寻找一下，看是不是能得到上面出现的全 部勾股数。
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• 勾股数还有一些有趣的性质，下面写出几条，在 此不做证明，有兴趣的同学可选取一些勾股数验 证。
• 性质1 如果a,b,c是一组勾股数，则ma,mb,mc一 定也是勾股数。
• 例如 把3,4,5扩大得到6,8,10; 9,12,15; 12,16,20等等，但是扩大1.5倍得到的4.5,6,7.5不 是勾股数。
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• 第一个数都是奇数，然后再把这个数的平方数分成
两个连续的自然数，就得到了一组勾股数，用公式
可表示为：
• 设m为大于1的奇数，则m, m2 1 , m2 1 一定是勾
股数
22
• 证明如下：
• m2+( m2 1 )= 4m2 m4 2m2 1 = m4 2m2 1
2
4
4
• =( m2 1 )2 • 这样就2能写出许多勾股数，但这还只是一部分勾股
• 解析 2.1cm=3×0.7cm A
•
2.8cm=4×0.7cm
• 则斜边的长为5×0.7cm
C
B
11
• 例四 如图，有一块直角三角形纸片ABC，两直
角边AB=6cm，BC=8cm,现将该三角形纸片沿直
线AD折叠，使B点落在斜边AC上，则CD等于
（）
A
• 解析：由图可得，AC=
E
• 10cm,AE=6cm,所以CE=
股数。证明如下：
Fra Baidu bibliotek
4
4
m2+( m2 4 )= 16m2 m4 8m2 16 = m4 8m2 16
4
4
4
=( m2 4 )2 这样也4只能写出一部分勾股数。
6
• 能不能写出一个公式，得到全部勾股数呢？数学 家经过研究，在前边两个公式的基础上得到了如 下公式：
• 对正整数m,n,m＞n,则2mn,m2-n2, m2+n2一定是 勾股数。
• 性质2 勾数和股数不能相等
• 性质3 勾数、股数、弦数三个数中，至少有一个 是偶数，且勾数和股数不可能同为奇数。
• 性质4 勾股数a,b,c三数的积abc一定能被60整除8 。
• 例题解析
• 1 如图 已知BC=4cm AB=3cm AF=12cm,则正方 形CDEF的面积为___
• 解析：由勾股数组3,4,5
F
E
• 和5,12,13很容易算出
• 正方形的边长为13cm
• 所以，它的面积 • 是169cm
A
C
D
B
9
• 例二 如图，在梯形ABCD中， A
D
AD∥BC,对角线AC⊥BD，且
AC=8cm，BD=6cm，则此梯形
的高是多少？
• 解析：作DE∥AC交
• BC的延长线于E，由
B
• 条件及梯形的性质
C
• 经过仔细观察上面的15组数，我们可以发现股数全部是
6的倍数，这是不是可以说，古巴比伦人可能找到了勾
股数的某种规律？
3
• 古今中外的数学家都在寻找计算勾股数的方法， 怎样能求出更多的勾股数呢？我们先来观察机组 简单的直角三角形的边：
•3 4 5 • 5 12 13 • 7 24 25 • 9 40 41 • 11 60 61 • …………….. • 你发现了有哪些规律？
• 4cm,DE=xcm=BD,则有
B
• x2+42 =(8-x) 2解得x=3cm
D
C
• 所以CD=5cm.
12
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