matlab吊车系统建模仿真

（3）
在重物运动的切向方向上建立平衡
方程，有

m x cos
mg sin
Fg
0
将 Fg ml 代入上式，得


x cos g sin l 0 （4）
由式（3）、（4）可知系统的微分方程
为
(M

m) x

ml cos

一、引言
随着网络的发展，电子商务迅速发展，进而带动物流产业的发展，产品的快
速安全运输成为物流行业甚至其他各个行业竞争的焦点,实现产品的快速安全调
运就意味着在市场上占得先机，在市场上具有竞争力。吊车系统在码头、仓库等
货物集散地必须快速平稳的调度运输货物，在吊车调运货物的过程中，重物摆角
幅度不能太大，在吊车平稳停车后，重物摆角要尽快到零，到达稳定状态，以便

Y CX
其中 X x, x, , ， u F ， Y x, T
0 1
0
0
0

mg
0
A


0
M 0
M 0
1


0
Ml
(M m)g Ml
0
0

1

B


M 0




1 Ml
也不会使运动变成稳定运动。
若线性化后系统特征方程诸根中，有一些是实部为零的，而其余均具有负实
部，则实际系统运动的稳定与否与被忽略掉的高阶项有关。这种情况下不可能按
照线性化后的方程来判断原系统的运动稳定性。若要研究原系统的运动稳定性必
须分析原始的非线性数学模型。
所建模系统一个典型的 SIMO 定常连续系统，即单输入双输出，输入量为
衡方程，有
T
sin

F1
Fg
cos

Fgn
sin

0
式中： Fgn

ml 2
，
F
g
ml
，

F1

m
x
，代入上式有



T sin ml cos ml 2 sin m x
（2）
图 2.1
将式（2）代入式（1），得



(M m) x ml cos ml 2 sin F f
0 1.0000 -0.2000 -26.1005
系统的状态方程


令 x1 x, x2 x, x3 , x4 ，将式（5）、（6）改写成状态空间
形式：
则有

x1 x2

x2


M
x
mg M

1 M
F

x3 x4

x4

M
x
(M
m)g M
ห้องสมุดไป่ตู้

1 Ml
F
X AX Bu
进行下一步运输。PID 控制在工业领域应用广泛，其优点是便于设计与控制操作，
原理简单，对吊车的位置和重物的摆角进行 PID 控制，能实现重物的快速运输，
使系统尽快稳定。
二、原理及建模
在生产生活中，吊车模型实际上是一个三维模型。但吊车在运行过程中，主
要受力情况分布在二维空间内，在另一个维度方向上受力主要是一些扰动（比如
1

0
0.67
58.8
0

0
B
1

0

3.33

C

1

0
0 0
0 1
0
0

用 matlab 中的 eig（A）命令求出矩阵 A 的特征值为 0 - 0.1106 - 0.0447 + 7.6673i - 0.0447 - 7.6673i
可见存在一个特征值为零，而其余均具有负实部，简化后的系统存在一个振
风）。为了研究方便，将实际的三维模型抽象成二维模型，且在吊车运行过程中
认为绳长不变化，缆绳的质量相对于重物的质量可以忽略不计，如图 2.1 所示。
通过动力学原理对吊车的运动过程进行分析，取吊车的质点为原点，对该系
统建立坐标系，如图2.1所示。M和m分别为吊车、重物的质量，l为缆绳的长度，
x表示吊车水平方向上的位移，θ表示重物的偏角，F为吊车的电机驱动力，f为吊
车在水平轨道上运行时所受的摩擦力。
设绳的张力为T，取x 、θ为广义坐标，对吊车建立运动微分方程有 M x F f T sin （1）
根据达朗伯原理，对重物 m 进行受
力分析：它受重力 mg，绳张力 T , 法向
惯性力 Fgn ，切向惯性力 Fg , 水平惯性力
F1 作用。如图 2.2 所示，在水平方向上建立平
荡环节，这是与实际相符的。因为在模型简化过程中忽略了空气阻力和高阶项。
实际由于空气阻力的存在，由能量守恒定律知，系统总会达到新的稳定状态。
系统的可控性矩阵为 Tc B AB A2 B A3B
在 matlab 中输入 Tc=[B A*B A^2*B A^3*B]可计算出系统的可控性矩
阵： Tc =
驱动力 F ，输出量为 x , , A，B，C 矩阵均为常数。基于实际样机比例缩小系 统参数值，取 M = 1kg，m = 0.8kg，µ =0.2，l = 0.3m，g 取 9.8m / s2 ，将参数值
代入系统状态矩阵中，得
0 1 0 0
A


0 0
0.2 0
7.85 0
0

ml 2
sin

F

f



x cos g sin l 0
图 2.2
通常吊车在安全操作条件下， 在 =0 附近只有很小的变化，不会发生较大

摆动，则可以假定 2
=0，sin

，cos
1，近似认为摩擦力
f
与小车速度
x

成线性关系，摩擦系数为 ，则 f x 。故系统微分方程可简化为
(M


m) x

ml


x

F




x g l 0

将式（6）代入（5）消去 得
（5） （6）
Mx x m g F

将式（5）代入式（6）消去 x 得
Ml (M m)gl F lx
（7）
三、系统设计与分析

C

1

0
0 0
0 1
0
0

李亚普诺夫第一定理：若线性化后系统特征方程的所有根均为负实数或实部
为负的复数，则原系统的运动不但是稳定的而且是渐进稳定的。线性化过程中被
忽略的高于一阶的项也不会使运动变成不稳定。
李亚普诺夫第二定理：若线性化后系统特征方程的诸根中，只要有一个为正
实数或实部为正的实数，则原系统的运动就是不稳定的。被忽略的高于一阶的项