导体系统的电容

a a

l r b ln l ln 0 2π 2 r0 2π1 a
l
2π 1 ln b 1 r0 ln r0 1 a
单位长度电容为： C U U
Q
2
【例3】：平行板电容器的长宽分别为a和b，极间距离为d.电容 器的一半厚度用介电常数为 的介质填充。如图。 （1）板上外加电压U 0，求板上的自由电荷面密度、极化电荷面 密度。 （2）若已知极板上的自由电荷总量Q,求此时极板间电压和极 化电荷面密度。 （3）求电容器的电容量。 z
q j 1, q k 0( k j )
当i=j时，pii称为自电位系数；i≠j时，pij称为互电位 系数，它满足：
pij p ji pij 0
2、电容系数 由（1）、（2）式可改为用 表示电荷量q，如下：
q1 111 122 q2 211 222
pij 称为电位系数，物理意义表示当导
体j带1库仑正电荷，而其他导体不带 电时，导体j对导体i产生的电位
q1 111 12 2 ....... 1n n q2 211 22 2 ....... 2 n n : : qn n11 n 2 2 ....... nn n
下
所以下极板极化电荷面密度为 sp
所以上极板极化电荷面密度为 sp
上
（ 0）Q ab
（ 0）Q ab
（3）电容器的电容为
C
2 0 ab Q U 0 ( 0 )d
【思考】：同轴线的内导体半径为a,外导体半径为b，其间填充 r 相对介电常数为 a 的介质。当外导体接地，内导体的电位为U 0 时，求：
1 1 1 q q
● ba
b
c
因此可将1 、2 与 q 之间的关系表示如下：
1 p11q1 p12 q2 2 p21q1 p22 q2
（1）
（2）
对于由N个导体构成的导体系统，系统中各导体的电 位表示为：
1 p11q1 p12 q2 ...... p1n qn 2 p21q1 p22 q2 ...... p2 n qn
s l
当
a r r0 时，
当 r0 r b 时，
D l E1 e 1 2π1r r D l E2 e 2 2π 2 r r
0
2πrlD l l l D er 2πr
1

2
a来自百度文库
r0
b
r0
内外导体间电压为： b d r r 1 d r b d r U E E E2
Cij 称为部分电容
qi Cii i 0 Cij i j
N j 1 j i
其比值：
Cii qii i 0
Cij
qij
qii
与导体i的电 位成正比
qij
与导体i、j的 电位差成正比
i j

qij U
+++++++++++++
电容器的电容：
q C U
d -------------
E d d E0 U 0 2 2
解得
E
2 0U 0 ( 0 )d 2U 0 ( 0 )d
E0
由边界条件 D1n D2n s
故下极板自由电荷面密度为 s D1n E 2 0U 0 故上极板自由电荷面密度为 s 0 E0 2 0U 0
： ： n pn1q1 pn 2 q2 ...... pnn qn
i ij pij q j
j 1 j 1
n
n
pij称为电位系数
pij物理意义： 电位系数pij表示当导体j带1库仑正电荷，而其他导体不 带电时，导体j对导体i产生的电位，即
pij
ij
qj
r
（1）介质中的 E 和 D （2）介质中极化电荷分布 （3）同轴线单位长度的电容。
a O b

内容小结
1 p11q1 p12 q2 ...... p1n qn 2 p21q1 p22 q2 ...... p2 n qn
： ： n pn1q1 pn 2 q2 ...... pnn qn
D(r ) E (r )

Q e 2 r 4π 0 a
因此导体内外间的电压为
U
b a
b E dr
a
Q Q(b a) er dr 4π 0 a 2 4π 0 a 2

a O b
故电容器的电容为
Q 4π 0 a C U ba
ij称为电容系数，表示导体j电位为1V，
而其他导体均接地时，导体i上的感应电 荷量。
q1 C111 C12 (1 2 ) ....... C1n (1 n ) q2 C21 (2 1 ) C222 ....... C2 n (2 n ) : : qn Cn1 (n 1 ) Cn 2 (n 2 ) ....... Cnn (n n )
( 0 )d
( 0 )d 电介质中的极化强度为P D 0 E ( 0 ) E ez 2 0U 0 ( 0 ) ( 0 )d
故介质下表面的极化电荷面密度为 sp
下
2 U ( 0 ) P n P (ez ) 0 0 ( 0 )d
图1 含金属球的平行板电容器
图2 三导体系统的等效电路
【例1】：在导体半径为a和b的球形电容器内充满电介质，电介 a 质的介电常数与离中心的距离r有关，并按规律变化 (r ) r ，求 该电容器的电容。
2 0 2
【解】：设内、外导体的带电量分布为Q、-Q。由高斯定理得：
Q D(r ) e 2 r 4πr
qi qij ij j
j 1 j 1 n n
ij称为电容系数
βij物理意义： 它表示当导体j电位为1v，其余导体均接地时，导体i 上的感应电荷量。即：
ij
qij
j
j 1, k 0( k j )
当i=j时， β ii 称为电容系数；i≠j时， β ij称为感应系 数，它满足：

d 2
0
d 2


U0
【解】（1）设介质中的电场为 E e E，空气中的电场为E 在介质分界面上由于 s 0 故边界条件 D1n D2n
z

0 ez E0
0 E0 E
ij ji ij 0(i j ) ii 0
3、部分电容 为表示系统中各导体之间的电容关系，将（3）、（4） 式改写为：
q1 11 12 1 12 1 2 q2 21 2 1 21 22 2
令
Cii ij ,
j 1
n
Cij ij (i j )
自部分电容
互部分电容
C12 C21
1
代入后得
q1 C111 C12 1 2 q2 C21 2 1 C222
Cij C ji Cij 0
C
2
Cij满足：
C11
C22
1.电容是反映电容器本身性质的物理量。（大小仅与导体的 形状、相对位置、其间的电介质有关。与所带电荷量无关。） 2.电容是描述电容器容纳电荷或储存电能的物理量。
如图1所示,若在一平行板电容器中 置入一金属球，请问：平行板间的电 容如何变化？ C13C23 C C12 C13 C23 式中 C12 C13和 C23 称为导体系统的 、 部分电容，其等效电路如图2所示。
故介质上表面的极化电荷面密度为 sp P n P ez 2 0U 0 ( 0 )

上
( 0 )d
（2）由于
s
2 0U 0 Q Q S ab ( 0 )d
可得极板间电压为 U 0
( 0 )dQ 2 0 ab
（3） （4）
对于由N个导体构成的导体系统，各导体的电荷量q表 示为：
q1 111 122 ....... 1n n q2 211 22 2 ....... 2 n n : : qn n11 n 2 2 ....... nn n
2
【例2】 一同轴线内导体的半径为a,外导体半径为b，内外导体间 r0 填充两种绝缘材料，a r r0 的介电常数为 ， r b的介电常数为 2 如图所示，求单位长度的电容。（教材2-12）
1
【解】：设内外导体单位长度带电分别为 l 和 l 。由高斯定理得： D dS q l
两导体构成电容器时，电容C为
1 p11 p22 2 p12
用导体间的电位差表示时，各导体的电荷量q表示为：
q1 C111 C12 (1 2 ) ....... C1n (1 n ) q2 C21 (2 1 ) C222 ....... C2 n (2 n ) : : qn Cn1 (n 1 ) Cn 2 (n 2 ) ....... Cnn (n n )
第二章 静电场
2.7导体系统的电容
主要内容


电位系数 电容系数 部分电容
学习目的

掌握两导体系统之间电容的求解 了解电位系数、电容系数的物理意义
一、两导体间的电容
1、电位系数 例：设内导体球带电量为q1，外导体球壳 带电量为q2，可求得：
1 1 2 内球上电位 a b c 4π 0 4π 0c q1 q2 外球壳上电位 2 4π 0 c