《空间向量与平行关系》

第三章 空间向量与立体几何
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED，A1FD1的 法向量， x1＝0， m·D→＝0， A 由 ⇒ 1 →＝0 m·D E x1＋y1＋2z1＝0， 令y1＝1，则z1＝－2， y 1 z 2 即m＝(0,1，－2)． x2＝0， n·D1A1＝0， → ⇒1 又由 → 2y2－z2＝0. n·D1F＝0 令z2＝1，则y2＝2，即n＝(0,2,1)．
第三章 空间向量与立体几何
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 共线 或 平行 的向量，一 条直线的方向向量有 无数 个． 2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的 向量 ． 法
第三章 空间向量与立体几何
3．空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b ＝ ＝ 平行 ＝(a ，b ，c )，则l∥m⇔ a＝λb .
∵M、N分别为AE、CD1的中点，
3 1 → ＝－3a，0，1a， ∴M4a，a，0，N0，a，2a，∴MN 2 4
→ 即n＝(0,1,0)，显然n⊥平面ADD1A1，且MN·n＝0， → ∴MN⊥n.又MN⊄平面ADD1A1， ∴MN∥平面ADD1A1.
第三章 空间向量与立体几何
1.(1)设 a、b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量，判断 l1、 l2 的位置关系． ①a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)． ②a＝(3,0，－1)，b＝(0,5,0)． (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量，判断 α、β 的位置关系．
1 ①u＝(1，－1,2)，v ＝3，2，－2.
第三章 空间向量与立体几何
→ 1.如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 试判断向量AA1， → → → → → → → BB1，CC1，DD1，A1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)， ∴u·a＝－12－4＋16＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α.9 分 ②∵u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)， 1 ∴u＝ a， 4 ∴u∥a，∴l⊥α.10 分 ③∵u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)， ∴u 与 a 不共线也不垂直，∴l 与 α 斜交.12 分
第三章 空间向量与立体几何
解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的 位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系． [规范作答] (1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分 ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)， ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分 ③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， ∴a与b不共线与不垂直． ∴l1与l2相交或异面.4分
1 ①u＝(－1,1，－2)，v ＝3，2，－2
②u＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0) ③u＝(4,2，－3)，v ＝(1,4，－2)
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列 条件判断α与l的位置关系： ①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4) ②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0) ③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)
第三章 空间向量与立体几何
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， → → 则 n1⊥DA，n1⊥AE，
x ＝0 n·DA＝2x1＝0 → 1 即 ， ，得 z1＝－2y1 → ＝2y1＋z1＝0 n1·AE
令 z1＝2，则 y1＝－1， 所以 n1＝(0，－1,2)． → 因为FC1·n1＝－2＋2＝0， → 所以FC1⊥n1. → 又因为FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
第三章 空间向量与立体几何
(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据 下列条件判断l1，l2的位置关系： ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) ③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)
第三章 空间向量与立体几何
(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件 判断α，β的位置关系：
[策略点睛]
第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] ∵A(1,2,3)、B(2,0，－1)、C(3，－2,0)． → → ∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)． 设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)． → → 依题意，应有 n·AB＝0，n·AC＝0，
x－2y－4z＝0， 即 2x－4y－3z＝0，
解析： 如图所示， 建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长 为 1， 1 则
1 1 1，1， ，F0， ，0 ，D0，0，0， E 2 2
D1(0,0,1)，A1(1,0,1)， → → ∴DA＝D1A1＝(1,0,0)，
→ → ＝1，1，1，D1F＝0，1，－1. DE 2 2
3．2 立体几何中的向量方法
第三章 空间向量与立体几何
第1课时 空间向量与平行关系
第三章 空间向量与立体几何
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明 平行问题． 2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.
第三章 空间向量与立体几何
1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点) 2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关 系．(重点、难点)
2 2 2
＝ 线面 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法 ＝ 平行 向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ a·u＝0 a u＝.
＝ 面面 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2， ＝ u∥v⇔u－λv ∥ ⇔ －. 平行 b ，c )，则α∥β⇔
2 2
第三章 空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何
1 (2)①∵u＝(－1,1，－2)，v ＝3，2，－2，
∴u·v ＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v ，∴α⊥β.5 分 ②∵u＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)， 3 ∴u＝－2v ，∴u∥v ，∴α∥β.6 分 ③∵u＝(4,2，－3)，v ＝(1,4，－2)， ∴u 与 v 不共线也不垂直， ∴α、β 相交但不垂直.8 分
第三章 空间向量与立体几何
(3)①∵u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)， ∴u·a＝－3＋4－1＝0， ∴u⊥a， ∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)， 1 ∴u＝－3a， ∴u∥a，∴l⊥α.
第三章 空间向量与立体几何
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－ 2,0)，试求平面α的一个法向量．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝ ＝ k .∴k＝4. －2 －4
答案： C
第三章 空间向量与立体几何
3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方 向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ x ＝y ＝8， ∴x＝－14，y＝6.
第三章 空间向量与立体几何
②∵a＝(3,0,1)，b＝(0,5,0)， ∴a·b＝0， ∴a⊥b， ∴l1⊥l2.
第三章 空间向量与立体几何
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1 (2)①∵u＝(1，－1,2)，v ＝3，2，－2，
∴u·v ＝3－2－1＝0， ∴u⊥v ， ∴α⊥β. ②∵u＝(0,2,0)，v ＝(0，－1,0)， 3 ∴u＝－5v ， ∴u∥v ， ∴α∥β.
第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] 证明：如图所示，建立空间直角坐标系 D－xyz， 则有 D(0,0,0)、 A(2,0,0)， C(0,2,0)， 1(0,2,2)， C E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)， → 所以FC1＝(0,2,1)， → → DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．
第三章 空间向量与立体几何
[题后感悟]
利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线
与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向 量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几 点： (1)能熟练的判断两向量的共线与垂直； (2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置 关系之间的内在联系； (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
解得 z＝0 且 x＝2y，令 y＝1，则 x＝2. ∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2,1,0)．
第三章 空间向量与立体几何
[题后感悟] 求平面法向量的方法与步骤
第三章 空间向量与立体几何
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点， 分别求平面AED与平面A1FD的法向量．
答案： －14
6
第三章 空间向量与立体几何
4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、 AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a. 求证：MN∥平面ADD1A1. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
第三章 空间向量与立体几何
1 则A(a,0，0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E2a，2a，0.
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0， 则( ) A．l∥α C．l⊥α B．l⊂α D．l⊂α或l∥α
解析： 因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D. 答案： D
第三章 空间向量与立体几何
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2， －4，k)，若α∥β，则k＝( A．2 C．4 ) B．－4 D．－2
②u＝(0,2,0)，v ＝(0，－1,0)．
第三章 空间向量与立体几何
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l 与α的位置关系． ①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．
解析： (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)， 1 ∴a＝－2b， ∴a∥b， ∴l1∥l2.
第三章 空间向量与立体几何
→ (2)∵C1B1＝(2,0,0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． → 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
x ＝0 n2·FC1＝2y2＋z2＝0 → 2 ，得 ， 得 z2＝－2y2 → 1＝2x2＝0 n2·C1B
第三章 空间向量与立体几何
已知正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为2，E、F分 别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
第三章 空间向量与立体几何
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点． 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量， 再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．