管理运筹学 第三章 整数线性规划

注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
第六步：比较和剪枝。 出现下列三种情况之一者，均应剪枝： （1）该枝无可行解； （2）该枝已得到整数最优解； （3）该枝得到非整数最优解，且目标函数值z＜ z 。 如果z＞ z，且不符合整数条件，返回第四步继续分枝，直到 z =z= z ，此时得到整数规划问题的最优解。
分枝定界法可以用于解纯整数规划问题，也可以用于求混合 整数规划问题，求混合整数规划问题时，只需对整数要求的变量 进行分枝就可以求得最优解。
MaxZ= 2x1+3x2
195x1+273x2≤1365 4x1+ 40x2≤140 x1 ≤4 x1≥ 3 x2 ≤2 x1,x2≥ 0 解得z4=14,x1=4,x2=2
MaxZ= 2x1+3x2
195x1+273x2≤1365 4x1+ 40x2≤140 x1 ≤4 x1≥ 3 x2≥ 3 x1,x2≥ 0 无可行解
整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可 行解（反之不一定），但其最优解的目标函数值不会 优于后者最优解的目标函数值。
第二节 整数线性规划的求解

分枝定界法 0—1线性规划的求解——枚举法
1.分枝定界法
分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既 能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。大多 数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
第四步： 在B的最优解中选一个最远离整数要求的变量，不 妨设此变量为xj = bj ，以[bj]表示小于bj的最大整数，构造以下 两个约束条件，并加入问题B，得到B的两个分枝B1和B2。 xj ≤[bj]和xj ≥ [bj]+1 第五步：求解B1和B2 。修改A问题的最优目标函数值z*的 上下界， z 和z。取B1和B2 的最优目标函数值的最大值为新的上 界 z 的值。用观察法取B1和B2 问题中的各一个整数可行解并选 择其中一个较大的目标函数值作为新的下界z的值。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
例1 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。
s.t.
得z1=14.66,x1=2.44,x2=3.26，显然这不是整数 规划的可行解。
(2)确定整数规划的最优目标函数值z*初始上界 z 和下界z。 由性质1，可知 z =14.66， 由观察法得下界z=13（当x1=2，x2=3时）。
用观察法求出该整数规划的一个可行解，并求得其 目标函数值，作为该整数规划的最优目标函数值的下界 z， 因为该整数规划的约束方程的变量系数大于等于零，且约 束不等式都为小于等于号，显然相应线性规划 1的最优解 用去尾法处理后所得的解一定是整数规划的可行解，即 x1=2，x2=3是该整数规划的可行解，故将其目标函数值13 作为整数规划的最优目标函数值的下界。
(3)将一个线性规划问题分为两枝，并求解。 在线性规划1的最优解的非整数变量中挑选一个，如x1 ，若x1 取整数值，可由x1≤2或x1≥3中取值。将线性规划1分解为两支，如 下： 线性规划2： MaxZ= 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x2≤1365 4x1+ 40x2≤140 x1 ≤4 x1 ≤2 x1,x2≥ 0 解得z2=13.90,x1=2,x2=3.30 线性规划3： MaxZ= 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x2≤1365 4x1+ 40x2≤140 x1 ≤4 x1≥ 3 x1,x2≥ 0 解得z3=14.58,x1=3,x2=2.86
例1 用分枝定界法求解整数规划
s.t.
Max z = 2x1 +3 x2 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤ 4 x1 ， x2 ≥ 0 x1，x2 为整数
解:(1)先求出以下线性规划的解，即求解线性规划1： Max z = 2x1 +3 x2 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤ 4 x1 ， x2 ≥ 0
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 1 2
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解(最优解):如用舍入 取整法可得到 4 个点即(1， 3),(2， 3),(1 ，4),(2 ， 4) 。显然，它们都 不可能是整数规划的最优解。 按整数规划约束条件，其可行解 肯定在线性规划问题的可行域内且 为整数点。故整数规划问题的可行 解集是一个有限集，如右图所示。 其中(2,2),(3,1)点的目标函数值最 大，即为Z=4。
3
x1
例2. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的 体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。
货物 甲 乙 托运限制
每件体积 （立方英尺） 195 273 1365
每件重量 （百千克） 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。
(4)修改整数规划的最优目标函数的上下界。 经分析，将上界 z =14.66修改为 z =14.58，z=13。 从（ 3 ）可知，当 x1≤2 时，整数规划的最优目标函数值不会 超过13.90，而当x1≥3时，整数规划的最优目标函数值不会超过 14.58，所以，不论 x1取什么值（即撤销对x1的额外限制），该 整数规划的最优目标函数值不会超过 14.58 ，故将上界修改为 14.58，取线性规划2、3的最优目标函数值的最大值。 在线性规划2中可知存在整数规划可行解 x1=2，x2=3，其目 标函数值为13，在线性规划3中可知存在整数规划可行解x1=3， x2=2，其目标函数值为 12，同样撤销对 x1的额外限制，我们知 道该整数规划存在可行解x1=2，x2=3，其目标函数值为13，即 z=13，取线性规划2、3中整数可行解的目标函数值的最大值。
例2 用分枝定界法求解下例
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 x , x 0, 且均取整数 1 2
z=13, z =14.66
X1≥3 线性规划3 Z3=14.58 X1=3 X2=2.86 z=13, z =14.58
X2≤2 线性规划4 Z4=14.00 X1=4 X2=2
X2≥3 线性规划5 无可行解
z=14, z =14
分枝定界法求解目标函数值最大的整数规划的步骤 我们将求解的整数规划问题称为 A，将与其相对应的线性 规划问题称为B： 第一步：求解问题B，可得以下情况之一： 1.B没有可行解，则A也没有可行解，求解过程停止。 2.B 有最优解，且符合问题 A 的整数条件，则 B 的最优解 即为A的最优解，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合 A的整数条件，记其目标函数值 为z1。 第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即 为z1，z =z1，再用观察法找到A的一个整数可行解，求其目标 函数值作为z*的下界，记为z 。 第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解 即为其目标函数值等于 z 的 A 的那个整数可行解；否则进行第 四步。
第三章 整数线性规划
在前面讨论的线性规划问题中，最优解可能是整数，也可能 不是整数，但对于某些实际问题，要求答案必须是整数。例如， 所求的解是安排上班的人数，裁剪钢筋根数，生产设备的台数等。 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对线性规 划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以 解决。
2x1+3x2 =14.66 2x1+3x2 =14
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1： 任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目 标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值； 任何求最小目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目 标函数值大于或等于相应的线性规划的最小目标函数值。
主要内容

整数线性规划模型
整数线性规划的求解
指派问题
第一节 整数线性规划模型
整数规划（简称：IP） 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规 划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划 问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性 规划，则称该整数规划为整数线性规划（ILP）。
解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型 Max z = 2x1 +3 x2 s.t. 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤ 4 x1 ， x2 ≥ 0 x1，x2 为整数
去掉最后一个约束，利用图解法
x2 3 2 1 x1 1 2 3 4 2x1+3x2 =6
性质2：
当整数规划的最优目标函数值z*的上界 数值取此下界的对应线性规划的整数可行解。
z
等于其下界z时，
该过程与求解结果
线性规划1 Z1=14.66 X1=2.44 X2=3.26 X1≤2 线性规划2 Z2=13.90 X1=2 X2=3.30
整数线性规划数学模型的一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
整数线性规划问题的种类
纯整数线性规划 ：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规 划。 混合整数线性规划 ：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。