高中数学人教A版必修第一册《5.3诱导公式》课件(2)
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tan（π＋α）＝tan α．
新知探究
追问1 应用公式二时，对角α有什么要求？
只要在定义域内的角α都成立．
新知探究
追问2 探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数 学思想是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系．从形的角度研究． 第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度 进行表示，体现了数形结合的思想方法． 第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二．体现 了联系性．
5.3 诱导公式
第一课时
新知探究
问题1 如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位 圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2． （1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 解：（1）β＝2kπ＋（π＋α）（k∈Z）
sin（π＋α）＝－sin α， 公式二 cos（π＋α）＝－cos α，
作业布置
作业： 1．教科书P191练习； 2．教科书习题5.3第1，2，3题．
目标检测
练 计算：
（1）cos（－420°）；
（4）cos(
77π 6
)
；
（2）sin( 7π ) ； 6
（5）tan 315°；
（3）tan（－1 140°）； （6）sin(11π ) ．
4
答案： 1；1； 3 ； 3；1； 2
任意负角的三 用公式三或一 任意正角的
角函数
三角函数
用公式一
0～2π的角的 三角函数
用公式 二或四
锐角的三角函 数
新知探究
例2 化简： cos(180 +α) sin(α+360 ) ． tan(α 180 ) cos(180 α)
解：tan（－α－180°）＝tan［－（180°＋α）］ ＝－tan（180°＋α）＝－tan α，
22
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
再见
71.当你快乐时，你要想，这快乐不是永恒的。当你痛苦时，你要想，这痛苦也不是永恒的。 100.能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 52.过去属于死神，未来属于你自己。 71.当你快乐时，你要想，这快乐不是永恒的。当你痛苦时，你要想，这痛苦也不是永恒的。 60.志向和热爱是伟大行为的双翼。——歌德 18.生活本是痛苦，是思想和哲理使其升。 17.知识不是某种完备无缺、纯净无瑕、僵化不变的东西。它永远在创新，永远在前进。——普良尼施尼柯夫 45.我不喜欢说梦想，但我有野心。 59.只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。——佚名 67.愿相会于中华腾飞世界时。——周恩来 21.青年，应该一丝不挂。他们有青年的天真，有青年的热情，有青年的健康、直爽、朝气和光彩，燃烧着希望，比宰相、比将军更幸福。— —席勒 43.努力向前走一步，离梦想就更近一步。 69.世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走。 74.一日一钱，千日千钱，绳锯木断，水滴石穿。——班固 50.价值产生信心，信心产生热忱，而热忱则征服世界。——华特•H•柯亭姆 25.我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬起来。 27.谁若游戏人生，他就一事无成;谁不主宰自己，永远是一个奴隶。 75.你之所以不努力是因为遭受的侮辱还不够。 45.我不喜欢说梦想，但我有野心。 48.一个有坚强心志的人，财产可以被人掠夺，勇气却不会被人剥夺的。——雨果
新知探究
追问3 角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？
按逆时针方向旋转角π得到的．
新知探究
问题2 借助于平面直角坐标系，类比问题1，你能说出单位圆 上点P1的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解 步骤，尝试求出相应的关系式．
单位圆上点P1的特殊对称点： 第一类，点P1关于x轴、y轴的对称点； 第二类，点P1关于特殊直线的对称点，如y＝x，y＝－x； 第三类，点P1关于x轴的对称点，再关于特殊直线的对称点． 或者是点P1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点．等等．
新知探究
公式三
sin（－α）＝－sin α， cos（－α）＝cos α， tan（－α）＝－tan α．
公式四
sin（π－α）＝sin α，
cos（π－α）＝－cos α，
tan（π－α）＝－tan α．
新知探究
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°；
（2）sin 8π ； 3
（3）sin(16π ) ； 3
cos（－180°＋α）＝cos［－（180°－α）］ ＝cos（180°－α）＝－cos α，
所以，原式＝ cosα sinα ＝－cos α． tan α (cos α)
梳理小结
问题4 诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学 到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质． （2）学到了三组诱导公式．研究方法是数形结合，注重联系．
（2）sin 8π ； 3
（3）sin(16π ) ； 3
（4）tan（－2 040°）．
解：（4）tan( 2 040 )= tan 2 040 = tan(6 360 120 )
=tan 120 =tan(180 60 )= tan 60 3 ．
新知探究
问题3 由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认 识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三 角函数的步骤吗？ 利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
（4）tan（－2 040°）．
解：（1）cos 225
=cos(180
45
)
cos 45
2； 2
（2）sin
8π 3
sin(2π+
2π ) 3
sin
2π 3
3； 2
（3）sin(163π )
sin(6π+
2π 3
)
sin
2π 3
3； 2
新知探究
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°；
新知探究
追问1 应用公式二时，对角α有什么要求？
只要在定义域内的角α都成立．
新知探究
追问2 探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数 学思想是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系．从形的角度研究． 第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度 进行表示，体现了数形结合的思想方法． 第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二．体现 了联系性．
5.3 诱导公式
第一课时
新知探究
问题1 如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位 圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2． （1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 解：（1）β＝2kπ＋（π＋α）（k∈Z）
sin（π＋α）＝－sin α， 公式二 cos（π＋α）＝－cos α，
作业布置
作业： 1．教科书P191练习； 2．教科书习题5.3第1，2，3题．
目标检测
练 计算：
（1）cos（－420°）；
（4）cos(
77π 6
)
；
（2）sin( 7π ) ； 6
（5）tan 315°；
（3）tan（－1 140°）； （6）sin(11π ) ．
4
答案： 1；1； 3 ； 3；1； 2
任意负角的三 用公式三或一 任意正角的
角函数
三角函数
用公式一
0～2π的角的 三角函数
用公式 二或四
锐角的三角函 数
新知探究
例2 化简： cos(180 +α) sin(α+360 ) ． tan(α 180 ) cos(180 α)
解：tan（－α－180°）＝tan［－（180°＋α）］ ＝－tan（180°＋α）＝－tan α，
22
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
再见
71.当你快乐时，你要想，这快乐不是永恒的。当你痛苦时，你要想，这痛苦也不是永恒的。 100.能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 52.过去属于死神，未来属于你自己。 71.当你快乐时，你要想，这快乐不是永恒的。当你痛苦时，你要想，这痛苦也不是永恒的。 60.志向和热爱是伟大行为的双翼。——歌德 18.生活本是痛苦，是思想和哲理使其升。 17.知识不是某种完备无缺、纯净无瑕、僵化不变的东西。它永远在创新，永远在前进。——普良尼施尼柯夫 45.我不喜欢说梦想，但我有野心。 59.只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。——佚名 67.愿相会于中华腾飞世界时。——周恩来 21.青年，应该一丝不挂。他们有青年的天真，有青年的热情，有青年的健康、直爽、朝气和光彩，燃烧着希望，比宰相、比将军更幸福。— —席勒 43.努力向前走一步，离梦想就更近一步。 69.世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走。 74.一日一钱，千日千钱，绳锯木断，水滴石穿。——班固 50.价值产生信心，信心产生热忱，而热忱则征服世界。——华特•H•柯亭姆 25.我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬起来。 27.谁若游戏人生，他就一事无成;谁不主宰自己，永远是一个奴隶。 75.你之所以不努力是因为遭受的侮辱还不够。 45.我不喜欢说梦想，但我有野心。 48.一个有坚强心志的人，财产可以被人掠夺，勇气却不会被人剥夺的。——雨果
新知探究
追问3 角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？
按逆时针方向旋转角π得到的．
新知探究
问题2 借助于平面直角坐标系，类比问题1，你能说出单位圆 上点P1的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解 步骤，尝试求出相应的关系式．
单位圆上点P1的特殊对称点： 第一类，点P1关于x轴、y轴的对称点； 第二类，点P1关于特殊直线的对称点，如y＝x，y＝－x； 第三类，点P1关于x轴的对称点，再关于特殊直线的对称点． 或者是点P1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点．等等．
新知探究
公式三
sin（－α）＝－sin α， cos（－α）＝cos α， tan（－α）＝－tan α．
公式四
sin（π－α）＝sin α，
cos（π－α）＝－cos α，
tan（π－α）＝－tan α．
新知探究
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°；
（2）sin 8π ； 3
（3）sin(16π ) ； 3
cos（－180°＋α）＝cos［－（180°－α）］ ＝cos（180°－α）＝－cos α，
所以，原式＝ cosα sinα ＝－cos α． tan α (cos α)
梳理小结
问题4 诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学 到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质． （2）学到了三组诱导公式．研究方法是数形结合，注重联系．
（2）sin 8π ； 3
（3）sin(16π ) ； 3
（4）tan（－2 040°）．
解：（4）tan( 2 040 )= tan 2 040 = tan(6 360 120 )
=tan 120 =tan(180 60 )= tan 60 3 ．
新知探究
问题3 由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认 识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三 角函数的步骤吗？ 利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
（4）tan（－2 040°）．
解：（1）cos 225
=cos(180
45
)
cos 45
2； 2
（2）sin
8π 3
sin(2π+
2π ) 3
sin
2π 3
3； 2
（3）sin(163π )
sin(6π+
2π 3
)
sin
2π 3
3； 2
新知探究
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°；