第22讲平面向量的概念及运算课件课件

－A→D)·A→C＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
解析：四边形 ABCD 满足A→B＋C→D＝0 知其为平行四边形，(A→B
－A→D)·A→C＝0 即D→B·A→C＝0，该平行四边形的对角线互相垂直，从
而知四边形 ABCD 一定是菱形．
答案：C
点评：向量是高中数学解题的一种工具，有着十分广泛的应 用．向量和平面几何结合，是高考常见的一种题型，需要考生 多多关注．
对平面内的任一向量
a
而言，由于||aa||＝1，∴
a 即是一个单位 |a|
向量，由 a 的任意性，可知命题②是错误的；
共线向量即平行向量，包括方向相同的或方向相反的非零向
量及零向量，故命题③也是错误的；
由于相等向量即是长度相等且方向相同的向量，∴命题④正
确．答案：A
4．(2009·名校模拟)若平面四边形 ABCD 满足A→B＋C→D＝0，(A→B
当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
5．两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得b＝λa.
6．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋ λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这个平面内所有向量 的一组基底．
分析高考试题，对本章突出考查以下内容：一方面突出考查向 量的基本运算，向量平行、垂直的充要条件，但难度均不大， 大多以填空题、选择题形式出现，但随着数学改革的不断推进， 向量逐渐与其他知识点综合考查，增强了向量的工具性；另一 方面是三角形中正弦定理、余弦定理与三角恒等变形的综合应 用．
第二十二讲 平面向量的概念及运算
3．向量的加法和减法 (1)加法 ①法则：三角形法则，平行四边形法则，加法定义即平行四 边形法则，以 a，b 为邻边作平行四边形 ABCD(取同一个起点)， 即A→B＝a，A→D＝b，则A→C即为 a，b 的和． ②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a.
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1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向
量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又叫共线
向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定0与任一向 量平行．
答案：A
3．给出下列命题：
①零向量是唯一没有方向的向量；
②平面内的单位向量有且仅有一个；
③a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a 与c是方向相同的 向量；
④相等的向量必是共线向量．
其中正确命题的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向， 又规定零向量与任一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向 不确定的向量，故命题①是错误的；
考点陪练
1.(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，
若C→B＝a，C→A＝b，|a|＝1，|b|＝2，则C→D＝( )
A.13a＋23b
B.23a＋13b
C.35a＋45b
D.45a＋35b
解析：如图，CD 平分∠ACB，由角平分线定理得ADDB＝ABCC＝||ab|| ＝2，所以A→D＝2D→B＝23A→B，所以C→D＝C→A＋A→D＝C→A＋23A→B＝C→A＋ 23(C→B－C→A)＝23C→B＋13C→A＝23a＋13b.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的表示方法 (1)字母表示法，如：a，A→B等． (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量． (3)代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量O→A的起点 O 在 坐标原点，终点坐标为(x，y)，则(x，y)称为O→A的坐标，记为O→A＝ (x，y)．
第五章 平面向量

2012高考调研
考纲要求
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概 念．
2．掌握向量的加法和减法．
3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌 握平面向量的坐标运算．
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数 量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的 条件．
答案：B
2．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，
满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C＝( )
A．2O→A－O→B
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B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A＋23O→B
解析：2A→C＋C→B＝0，
∴2(O→C－O→A)＋(O→B－O→C)＝0，∴O→C＝2O→A－O→B.
6．掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐 标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
考情分析
近几年高考数学试卷中平面向量的题型多以选择题为主，重点 考查向量的概念，向量的几何表示，向量的加法和减法，实数 与向量的积，两个向量共线的充要条件，向量的坐标运算以及 平面向量的数量积及其几何意义，平面两点间的距离公式，线 段的定比分点坐标公式和向量的平移公式．在解答题中向量作 为一种工具在解析几何、三角函数、数列及立体几何中均有运 用．
③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示
(2)减法 ①法则：三角形法则． ②几何意义：如下图所示
4．实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与
方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；