自动控制系统的数学模型
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第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
3 理想微分环节 微分环节的特点是输出量是输入量的微分，输出量能预示输入
量的变化趋势。理想微分环节的微分方程为 式中，τ为微分时间常数。 积分环节的逆过程就是理想微分。
4 惯性环节 惯性环节含有一个储能元件，因而对输入量不能立即响应，但
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
2 积分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
3 理想微分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
4 惯性环节
第三章 控制系统的微分方程
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
1 串联变换规则
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
2 并联变换规则
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.2 控制系统微分方程的求解
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.2 控制系统微分方程的求解
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.1 传递函数的定义
传递函数比微分方程简单明了、运算方便，是自动控制系统的复数域模型。
结构图特点：
简单直观
运算方便
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
动态结构图一般由信号、引出点、综合点和功能框等部分组成。它们 的图形如图3-7所示。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
建立系统动态结构图的一般步骤如下： (1)列写系统各元件的微分方程。 (2)对各元件的微分方程进行拉氏变换子调节器的传递函数，采用阻抗法较方便。
3 利用动态结构图求取传递函数
对复杂的系统，先求出元件的传递函数，在利用动态结构图 和框图运算法则求出系统的传递函数。
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.3 传递函数的性质
1
对于一个确定的系统，其传递函数是唯一的。
2
传递函数代表系统的固有特性，是用象函数来描述的，为 系统的复数域模型。
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
本章小结
第三章 控制系统的微分方程
本章小结
第三章 控制系统的微分方程
本章小结
第三章 控制系统的微分方程
谢 谢 大 家！
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
5 比例微分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
6 振荡环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
3.3.1 动态结构图的组成与建立
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的规则是：变换前后的输入量和输出量都保持不变。 主要等效变换规则如下：
1 串联变换规则
2 并联变换规则
3 反馈连接变换规则
4 引出点和比较点的移动规则
5 等效单位反馈
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
2 综合点的移动 综合点移动主要分以下三种情况：
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
5 等效单位反馈 若系统为反馈系统。可通过等效变换将其转换为单位反馈系统，如图3-21所示。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
！注意：G0(s)为闭环系统的开环传递函数， 这里是指断开主反馈通路（开环）而得到 的传递函数，而不是开环系统的传递函数。
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
2 系统的闭环传递函数
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
入量和输出量。 (3)按照系统中各量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，
输入量置于左端，输出量置于右端，便得到系统的动态图。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
例：试绘出图3-1所示电路的动态结构图。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
系统的输入量包括给定信号和干扰信号。对于线性系统，可分别 求出给定信号和干扰信号单独作用下系统的传递函数。当两信号同时 作用于系统时，可以应用叠加定理，求出系统的输出量。
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
1 闭环系统的开环传递函数 闭环系统的开环传递函数为
3.3.3 用公式法求传递函数
利用梅逊公式可直接写出系统的传递函数。 梅逊公式的一般表现形式为：
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
任何一个复杂的系统都可以看成是由一些典型环节组合而成的。 常见的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、微分环节等。 1 比例环节
比例环节的特点是输出量与输入量成正比，无失真与延时， 其微分方程为：
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
2 积分环节 积分环节的特点是输出量为输入量的积分，当输入量消失后，输
出量具有记忆功能，其微分方程为： 式中，T为积分时间常数。
凡是输出量 对输入量有 存储和积累 特点的元件 一般都含有 积分环节。
第1三章自动自控动制控的制基系本统概的念数学模型
系统框图
3.1 控制系统的微分方程
3.2 传递函数 3.3 控制系统的动态结构图 3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应 3.5 控制系统的传递函数
3 自动控制系统的数学模型
系统的数学模型指描述系统或元件的输入量、输出量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数 和结构图。
3.1.1 控制系统微分方程的建立
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.2 控制系统微分方程的求解
在系统微分方程建立后，下一步就是求解微分方程，再据此绘制动态 过程曲线，最后根据曲线的各种变化对系统的性能进行分析和评价。
当系统微分方程是一、二阶微分方程时，我们能很快求解，若系统是 高阶微分方程，直接求解较困难，此时可利用拉普拉斯变换求解。
3
G(s)起从输入到输出的传递作用，故称为传递函数。
4
通过传递函数可以研究系统的动态特性。
5
传递函数的分子多项式的阶次总是低于分母多项式的阶次。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
控制系统的动态结构图（简称结构图）是将系统元件用 方框表示，在方框中标明元件的传递函数，按信号传递方向 把各框依次连接起来的一种图形。
描述系统输入量和输出量之间关系的最直接的数学方法是列写系 统的是微分方程。
当系统输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确 切描述系统的运动过程，即为系统的时域数学模型。
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.1 控制系统微分方程的建立
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
3 闭环控制系统的偏差传递函数
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
第三章 控制系统的微分方程
6 振荡环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
7 延迟环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
7 延迟环节
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
自动控制系统的典型框图，如图3-39所示。
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.1 传递函数的定义
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.1 传递函数的定义
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.2 传递函数的求取
1 直接计算法 在零初始条件下，对系统的微分方程进行拉氏变换，即可按 传递函数的定义求出系统的传递函数。
输出量不发生振荡现象。其微分方程为 式中，T为惯性环节的时间常数。
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
5 比例微分环节 比例微分环节又称为一阶微分环节，其微分方程为
式中，τ为微分时间常数。 6 振荡环节
振荡环节包含两个储能元件，能量在两个环节之间相互转换， 因而输出会出现振荡现象，其微分方程为
3 反馈连接变换规则
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
4 引出点和比较点的移动规则 移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输入量和输出量保持不变。
1 引出点的移动 引出点移动主要分以下三种情况：
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
直流电动机的数学模型就是一个振荡环节。
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
7 积分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
1 比例环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
3 理想微分环节 微分环节的特点是输出量是输入量的微分，输出量能预示输入
量的变化趋势。理想微分环节的微分方程为 式中，τ为微分时间常数。 积分环节的逆过程就是理想微分。
4 惯性环节 惯性环节含有一个储能元件，因而对输入量不能立即响应，但
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
2 积分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
3 理想微分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
4 惯性环节
第三章 控制系统的微分方程
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
1 串联变换规则
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
2 并联变换规则
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.2 控制系统微分方程的求解
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.2 控制系统微分方程的求解
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.1 传递函数的定义
传递函数比微分方程简单明了、运算方便，是自动控制系统的复数域模型。
结构图特点：
简单直观
运算方便
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
动态结构图一般由信号、引出点、综合点和功能框等部分组成。它们 的图形如图3-7所示。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
建立系统动态结构图的一般步骤如下： (1)列写系统各元件的微分方程。 (2)对各元件的微分方程进行拉氏变换子调节器的传递函数，采用阻抗法较方便。
3 利用动态结构图求取传递函数
对复杂的系统，先求出元件的传递函数，在利用动态结构图 和框图运算法则求出系统的传递函数。
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.3 传递函数的性质
1
对于一个确定的系统，其传递函数是唯一的。
2
传递函数代表系统的固有特性，是用象函数来描述的，为 系统的复数域模型。
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
本章小结
第三章 控制系统的微分方程
本章小结
第三章 控制系统的微分方程
本章小结
第三章 控制系统的微分方程
谢 谢 大 家！
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
5 比例微分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
6 振荡环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
3.3.1 动态结构图的组成与建立
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的规则是：变换前后的输入量和输出量都保持不变。 主要等效变换规则如下：
1 串联变换规则
2 并联变换规则
3 反馈连接变换规则
4 引出点和比较点的移动规则
5 等效单位反馈
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
2 综合点的移动 综合点移动主要分以下三种情况：
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
5 等效单位反馈 若系统为反馈系统。可通过等效变换将其转换为单位反馈系统，如图3-21所示。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
！注意：G0(s)为闭环系统的开环传递函数， 这里是指断开主反馈通路（开环）而得到 的传递函数，而不是开环系统的传递函数。
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
2 系统的闭环传递函数
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
入量和输出量。 (3)按照系统中各量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，
输入量置于左端，输出量置于右端，便得到系统的动态图。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
例：试绘出图3-1所示电路的动态结构图。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
系统的输入量包括给定信号和干扰信号。对于线性系统，可分别 求出给定信号和干扰信号单独作用下系统的传递函数。当两信号同时 作用于系统时，可以应用叠加定理，求出系统的输出量。
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
1 闭环系统的开环传递函数 闭环系统的开环传递函数为
3.3.3 用公式法求传递函数
利用梅逊公式可直接写出系统的传递函数。 梅逊公式的一般表现形式为：
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
任何一个复杂的系统都可以看成是由一些典型环节组合而成的。 常见的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、微分环节等。 1 比例环节
比例环节的特点是输出量与输入量成正比，无失真与延时， 其微分方程为：
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
2 积分环节 积分环节的特点是输出量为输入量的积分，当输入量消失后，输
出量具有记忆功能，其微分方程为： 式中，T为积分时间常数。
凡是输出量 对输入量有 存储和积累 特点的元件 一般都含有 积分环节。
第1三章自动自控动制控的制基系本统概的念数学模型
系统框图
3.1 控制系统的微分方程
3.2 传递函数 3.3 控制系统的动态结构图 3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应 3.5 控制系统的传递函数
3 自动控制系统的数学模型
系统的数学模型指描述系统或元件的输入量、输出量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数 和结构图。
3.1.1 控制系统微分方程的建立
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.2 控制系统微分方程的求解
在系统微分方程建立后，下一步就是求解微分方程，再据此绘制动态 过程曲线，最后根据曲线的各种变化对系统的性能进行分析和评价。
当系统微分方程是一、二阶微分方程时，我们能很快求解，若系统是 高阶微分方程，直接求解较困难，此时可利用拉普拉斯变换求解。
3
G(s)起从输入到输出的传递作用，故称为传递函数。
4
通过传递函数可以研究系统的动态特性。
5
传递函数的分子多项式的阶次总是低于分母多项式的阶次。
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.1 动态结构图的组成与建立
控制系统的动态结构图（简称结构图）是将系统元件用 方框表示，在方框中标明元件的传递函数，按信号传递方向 把各框依次连接起来的一种图形。
描述系统输入量和输出量之间关系的最直接的数学方法是列写系 统的是微分方程。
当系统输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确 切描述系统的运动过程，即为系统的时域数学模型。
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
3.1.1 控制系统微分方程的建立
第三章 控制系统的微分方程
3.1 控制系统的微分方程
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
3 闭环控制系统的偏差传递函数
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
下面是系统的几种传递函数表示法。
第三章 控制系统的微分方程
6 振荡环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
7 延迟环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
7 延迟环节
第三章 控制系统的微分方程
3.5
控制系统的传递函数
自动控制系统的典型框图，如图3-39所示。
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.1 传递函数的定义
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.1 传递函数的定义
第三章 控制系统的微分方程
3.2
传递函数
3.2.2 传递函数的求取
1 直接计算法 在零初始条件下，对系统的微分方程进行拉氏变换，即可按 传递函数的定义求出系统的传递函数。
输出量不发生振荡现象。其微分方程为 式中，T为惯性环节的时间常数。
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
5 比例微分环节 比例微分环节又称为一阶微分环节，其微分方程为
式中，τ为微分时间常数。 6 振荡环节
振荡环节包含两个储能元件，能量在两个环节之间相互转换， 因而输出会出现振荡现象，其微分方程为
3 反馈连接变换规则
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
3.3.2 动态结构图的等效变换及化简
4 引出点和比较点的移动规则 移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输入量和输出量保持不变。
1 引出点的移动 引出点移动主要分以下三种情况：
第三章 控制系统的微分方程
3.3 控制系统的动态结构图
直流电动机的数学模型就是一个振荡环节。
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.1 典型环节的数学模型
7 积分环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应
3.4.2 典型环节的传递函数及阶跃响应
1 比例环节
第三章 控制系统的微分方程
3.4 典型环节的数学模型及阶跃响应