渐开线齿轮

4.2 渐开线齿轮
一、渐开线的形成及其特性
1、渐开线齿廓的形成
直线BK沿半径为r b的圆作纯滚动时，直线
上任一点K 的轨迹称为该圆的渐开线。

该圆称为
渐开线的基圆。

r b--- 基圆半径；
BK --- 渐开线发生线；
--- 渐开线上K点的展角。

A为渐开线的起始点，K为渐开线上任一点，
其向径用r k表示。

渐开线齿轮的齿廓曲线是渐开线。

2、渐开线的特性
1）发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。

由于发生线BK在基圆上作纯滚动，故
2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。

发生线BK沿基圆作纯滚动，它与基圆的切点B即为其速度瞬心，所以发生线BK
即为渐开线在K点的法线。

又由于发生线恒切于基圆，故渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。

3）渐开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直。

发生线BK与基圆的切点B是渐开线在点K的曲率中心，而线段KB是相应的曲率半径，故渐
开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直；渐开线初始点A处的
曲率半
径为零。

4）基圆内无渐开线。

5）渐开线的形状取决于基圆的大小。

基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆愈大，渐开线愈平直。

当基圆半径为无穷大时，其渐开线将成为一条直线。

二、渐开线齿廓的啮合特点
一对齿轮传动，是依靠主动轮的齿廓依次推动从动轮的齿廓来实现的。

因此，要能实现预定的传动比，一个齿轮最关键的部位是轮齿的齿廓曲线。

图示为一对分别属于齿轮1和齿轮2的两条齿廓曲线G1、G2在点K 啮合接触的情况。

齿廓曲线
G1绕O1点转动,G2绕O2 转动。

过K点所作的两齿廓的公法线nn与连心线O1O2 相交于点C。

和齿廓曲线G2在该点有相同的速度：
由三心定理知，点C是两齿廓的相对速度瞬心,齿廓曲线G1
由此可得
我们称点C为两齿廓的啮合节点，简称节点。

齿廓啮合基本定律：
两齿廓在任一位置啮合接触时，过接触点所作的两齿廓的公法线必通过节点C，它们的传动比等于连心线O1O2被节点C所分成的两条线段的反比。

如果要求两齿廓作定传动比传动，即要求为常数，则由式（5.1）可知，其齿廓曲线需满足的条件是：节点C为连心线上的一个定点。

当两齿轮作定传动比传动时，节点C在齿轮1运动平面上的轨迹是以O1为圆心、以O1C（）为半径的圆；节点C在齿轮2运动平面上的运动轨迹是以O2为圆心、以O2C ()为半径的圆。

由于啮合传动的两齿廓在节点C有相同的速度，所以两个圆在传动过程中作无滑动的纯滚动，我们把这两个圆称为节圆。

即一对齿轮啮合传动的传动比，等于两齿轮节圆半径的反比。

如果要求两齿廓作变传动比传动，则节点C不是一个定点，而是按相应的规律在连心线上移动。

因而，节点C在轮1和轮2上的轨迹就不是圆，而是非圆曲线。

这样的齿轮就是非圆齿轮。

凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓叫共轭齿廓。

共轭齿廓的曲线叫共轭曲线。

在给定工作要求的传动比的情况下，只要给出一条齿廓曲线，就可以根据齿廓啮合基本定律求出与其共轭的另一条齿廓曲线。

因此，理论上满足一定传动比规律的共轭曲线有很多。

但在生产实践中，选择齿廓曲线时，还必须综合考虑设计、制造、安装、使用等方面的因素。

目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线、变态摆线、圆弧曲线、抛物线等。

其中以渐开线作为齿廓曲线的齿轮（称为渐开线齿轮）应用最为广泛。

三、渐开线标准直齿圆柱齿轮
㈠、外齿轮
1、齿轮各部分的名称
图中所示为外齿轮的一部分，齿轮上每个凸起部分称为齿，齿轮的齿数用z 表示。

分度圆：人为选定的设计齿轮的基准圆。

半径用
r、直径用d 表示。

齿顶圆：过所有轮齿顶端的圆。

半径用r a、直径用d a表示。

齿顶高：分度圆与齿顶圆之间的径向距离。

用h a 表
示。

齿根圆：过所有齿槽底部的圆。

半径用r f、直径
用d f 表示。

齿根高：分度圆与齿根圆之间的径向距离。

用h f 表
示。

全齿高：齿顶圆与齿根圆之间的径向距离。

用h 表
示。

基圆：产生渐开线的圆。

半径用r b、直径用d b
表示。

齿厚：每个轮齿上的圆周弧长。

在半径为r k的圆上度量的弧长称为该半径上的齿厚，用s k表示；在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿厚，用s表示。

齿槽宽：两个轮齿间齿槽上的圆周弧长。

在半径为r k 的圆周上度量的弧长称为该半径上的齿槽宽，用
e k表示。

在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿槽宽，用e 表示。

齿距：相邻两个轮齿同侧齿廊之间的圆周弧长。

在半径为r k的圆周上度量的弧长称为该半径的齿距，用p k表示；显然。

在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿距，用p表示，。

在基圆上度量的弧长称为基圆齿距，用p b 表示，。

法向齿距：相邻两个轮齿同侧齿廊之间在法线方向上的距离。

用p n表示。

由渐开线性质可知：
2、基本参数
1）齿数Z
2）分度圆模数：分度圆周长，因而分度圆直径d为:
从这个式子可见，由于是无理数，所以不论p取任何有理数，都会使计算出的分度圆和以它为基准
的其它圆的直径为无理数，这会给齿轮的设计、制造和测量带来诸多不便，为此，人为地将的比值取为有理数，用m表示，我们将m称为分度圆模数，简称为模数，单位是mm。

3）分度圆压力角
分度圆确定后，就要确定用作齿廓曲线的渐开线的形状。

渐开线的形状是由基圆决定的，由可知，已知分度
圆半径后,只要选定一个分度圆压力角，就可以求出基圆半
径:
4）齿顶高系数：齿顶高h a用齿顶高系数h a*与模数的乘积表示：
5）顶隙系数：齿根高h f用齿顶高系数h a*与顶隙系数c*之和乘以模数表示：
在这五个参数中，模数m、压力角、h a*、c*都已标准化，设计齿轮时，一般按国家标准选取。

1）模数m的标准值
标准模数（GB1357-87)
第一系列0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1
1.25 1.5 2
2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
第二系列0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 (30) 36 45
说明：
1.本表适用于渐开线圆柱齿轮。

对斜齿轮是指法面模数。

2.选用模数时，应优先选用第一系列，其次是第二系列，括号内的模数尽可能不用。

2）压力角标准值:
我国规定标准值一般为20°。

某些行业也采用14.5°，15°，22.5°，25°。

从理论上讲，压力角越小对传动越有利，如果压力角太小，会造成齿根变瘦，轮齿的承载能力小；如果压力角太大，齿根变厚、齿顶变尖，传动费力。

因而，我国标准规定分度圆压力角的取值为20°，在强度和传动效果方面都能够兼顾。

为减少标准刀具的数量，降低加工成本。

一个齿轮不同圆上的齿距不相同，因而模数也不相同；不同圆上压力角也不相同，只有分度圆上的模数和压力角为标准值。

通常所说的齿轮的模数和压力角，是特指分度圆上的模数和压力角。

3）齿顶高系数与顶隙系数的标准值
正常齿制
当m≥1mm时,h a*＝1, c*＝0.25
当m<1mm时,h a*＝1, c*＝0.35
短齿制h a*＝0.8, c*＝0.3
分度圆——－齿轮中具有标准模数和标准压力角的圆；
标准齿轮—－除m、、h a*、c* 四个基本参数为标准值外，还有两个特征：
1、分度圆齿厚与槽宽相等，即
2、具有标准齿顶高和齿根高，即,
不具备上述特征的齿轮是非标准齿轮。

3、渐开线标准直齿轮几何尺寸计算公式
4、任意圆上的齿厚
一个齿轮不同圆上的齿厚是不一样的，下面推导任意圆齿厚的公式，由图可知：
据上式可得齿顶圆齿厚:
式中为齿顶圆压力角
节圆齿厚:，其中为节圆半径,为节圆压力角基圆齿厚:
㈡、内齿轮
内齿轮与外齿轮的不同点：
1）齿顶圆小于分度圆,齿根圆大于分度圆。

2）齿廓是内凹的,其齿厚和槽宽分别对应于
外齿轮的槽宽和齿厚。

3）齿顶圆必须大于基圆，以使内齿轮齿顶的齿廓曲线全部为渐开线。

㈢、齿条
当外齿轮的齿数增加到无穷多时,齿轮上的基圆和其它圆都变成了互相平行的直线，同侧渐开线齿廓变成了互相平行的斜直线齿廓，于是，齿轮变为齿条。

标准齿条具有以下特点：
1）齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为20°。

2）齿廓在不同高度上的齿距均相等，即。

3）齿廓不同高度线上的齿厚和槽宽各不相同，其中只有一条高度线上的齿厚等于槽宽，即：
这条线称为齿条中线（它相当于标准齿轮的分度圆）。