戴维南定理例题

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第四章电路定理
重点：
1、叠加定理
2、戴维南定理和诺顿定理
难点：
1、熟练地运用叠加定理、戴维南定理和诺顿定理分析计算电路。

2、掌握特勒根定理和互易定理，理解这两个定理在路分析中的意义。

4-1 叠加定理
网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。

其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

几个概念
1．线性电路——Linear circuit
由线性元件和独立源组成的电路称为线性电路。

2．激励与响应——excitation and response
在电路中，独立源为电路的输入，对电路起着“激励”的作用，而其他元件的电压与电流只是激励引起的“响应”。

激励e响应r
系统
3．齐次性和可加性——homogeneity property and additivity property
“齐次性”又称“比例性”，即激励增大K倍，响应也增大K倍；“可加性”意为激
励的和产生的响应等于激励分别产生的响应的和。

“线性”的含义即包含了齐次性和可加性。

齐次性：
可加性：
叠加定理
1．定理内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流（电压）之叠加。

此处的“线性电阻电路”，可以包含线性电阻、独立源和线性受控源等元件。

2．定理的应用方法
将电路中的各个独立源分别单独列出，此时其他的电源置零——独立电压源用短路线代替，独立电流源用开路代替——分别求取出各独立源单独作用时产生的电流或电压。

计算时，电路中的电阻、受控源元件及其联接结构不变。

关于定理的说明
1．只适用于线性电路
2．进行叠加时，除去独立源外的所有元件，包含独立源的内阻都不能改变。

3．叠加时应该注意参考方向与叠加时的符号 4．功率的计算不能使用叠加定理
例题
1． 已知：电路如图所示
– 6V +
4
– 6V +
求：X U 及两个独立源和受控源分别产生的功率。

解：根据叠加定理，电路中电压源和电流源分别作用时的电路如图（b ）、（c ）
所示。

图（b ）中，根据节点法或直接根据克希霍夫定律和欧姆定律可得电路方程为：
X X U U '2
1
5')4121(-=⨯+ 解得：V U X 4'=。

图（c ）中，同样也可根据节点法或直接根据克希霍夫定律和欧姆定律可得电路
方程为：
X X X U U U ''2
1
4''62''++=-
解得：V U X 2.1'-=。

根据叠加定理，V U U U X X X 8.2'''=+= 对于独立电压源：V U S 6=，V U I X 6.32
8
.2525=-=-=
因此，独立电压源的功率)(6.216.36W I U P S U S =⨯==
对于独立电流源：V I S 5=，V U U X 8.2==
因此，独立电流源的功率)(148.25W UI P S I S =⨯==
对于受控源：)(4.12
8
.22A U I X ===受，)(8.88.266V U U X =+=+=受
因此，受控源的功率)(32.124.18.8W I U P -=⨯-=-=受受受
从这个例题可以看出，使用叠加定理时，当几个独立源单独作用时的电路的分析应该灵活地使用我们所学过的电路分析方法。

2． 已知：如图所示的电路中，网络N 由线性电阻组成，当A 1=s i ，V 2=s u 时，
A 5=i ；当A 2-=s i ，V 4=s u 时，V 24=u 。

3Ω
求：当A 2=s i ，V 6=s u 时，=u
解：所求的电压u 可以看作是激励s i 和s u 产生的响应，利用线性电路的线性性质，响应u 与激励s i 和s u 之间为一次线性函数关系：
s s u k i k u 21+=
根据已知条件，列写联立方程组，
⎩
⎨
⎧⨯+-⨯=⨯+⨯=Ω⨯-V 4A)2(V 24V
2A 13A 52121k k k k 可以解出5.131-=k ，75.02-=k ，由此当A 2=s i ，V 6=s u 时，
)V (5.31675.025.1321-=⨯-⨯-=+=s s u k i k u
4-2 替代定理
定理内容
给定任意一个线性电阻电路，其中第k 条支路的电压k u 和电流k i 已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于k u 的独立电压源，或者一个具有电流等于k i 的独立电流源来代替，替代后的电路中的全部电压和电流均将保持原值（即电路在改变前后，各支路电压和电流均是唯一的）。

关于定理的说明
1．定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量； 2．定理可以应用于非线性电路；
3．定理的证明略去，但可以根据“等效”的概念去理解。

例题
1．已知：如图所示
求：当=1i
(a)
U
(b)
解：图（a ）中：
17
7
3434//21015.0+-=++-
=U U I
图（b ）中：
12
3221-=-+=
U U U I 由于对于外电路而言是等效的，因此，被划开的支路的VCR 应相同：
12
3177343-==+-
U I U V U 9
8=∴
这样，就可以在图（a ）中计算待求量。

A I 9
1
4244//2101)981(1=+⨯+⨯+=
4-3 戴维南定理和诺顿定理
戴维南定理
一、定理内容
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻串联的组合来等效置换，此电压源的电压等于一端口的开路电压，而电阻等于一端口的全部独立源置零后的输入电阻。

R
u
(a) (b)
+
u
oc
R eq
-
1’
(c) (d)
二、定理的证明
替代定理i
S
(t)
(a) (b)
叠
加
定
R + u _
oc N0)()()(0t i R u t u u t u eq oc N oc ⋅+=+=
三、定理的使用
1．将所求支路划出，余下部分成为一个一端口网络； 2．求出一端口网络的端口开路电压；
3．将一端口网络中的独立源置零，求取其入端等效电阻；
4．用实际电压源模型代替原一端口网络，对该简单电路进行计算，求出待求量。

诺顿定理
一、定理内容
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻并联的组合来等效置换，此电流源的电流等于一端口的短路电流，而电阻等于一端口的全部独立源置零后的输入电阻。

i
(a) (b)
sc eq (c) (d)
二、定理的证明 略。

三、定理的使用
与戴维南定理的用法相同。

只是在第2点时变为求取一端口网络的短路电流。

最大功率传递定理
一、定理内容
应用T-N 定理可以推出：由线性单口网络传递给可变负载的功率为最大的条件是：负载应该与戴维南（诺顿）等效电阻相等。

设L R 为变量，在任意瞬间，其获得的功率为：
L L
o oc
L R R R U R i p 22)(
+==
这样，原电路问题变为：以L R 为函数，p 为变量，求取在变量L R 为何值时，其功率p 为最值。

因为
0)()()()(2)(3
42=+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+=L o L o oc L o L L o L o oc L R R R R U R R R R R R R U dR dp
时， o L R R =
而 08322
2<-==o
oc
R R L
R U dR p
d o
L
因此，o L R R =即为使功率为最大值时的条件。

二、说明
1． 该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。

如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。

2． 线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。

（即由等效电阻
o R 算得的功率并不等于网络内部消耗的功率）
关于这两个定理的说明
1． 十分重要，常常用以简化一个复杂电路中不需要进行研究的有源部分，即将一个复杂电路中不需要进行研究的有源二端网络用戴维南或诺顿等效来代替，以利于其余部分的分析计算。

2． 如果外部电路为非线性电路，定理仍然适用。

3． 并非任何线性含源一端口网络都有戴维南或诺顿等效电路。

如果一个单口网络只能等效为一个理想电压源，那么它就不具有诺顿等效电路；相同的，如果一个单口网
络只能等效为一个理想电流源，那么它就不具有戴维南等效电路。

具体的说明可以参看有关参考文献或资料。

（问题：何时会出现这种情况，可否举出相应的例子）4．当电路中存在受控源时使用这两个定理要十分小心。

外电路不能含有控制量在一端口网络N S之中的受控源，但是控制量可以为端口电压或电流。

因为在等效过程中，受控量所在的支路已经被消除，在计算外电路的电流电压时就无法考虑这一受控源的作用了。

例题
一、戴维南定理
1．已知：电路如图所示
U S
U S
_
(b)
(c)
求：负载上的电流I。

解：实际上这是我们在电子测量中常常遇到的“电桥”电路。

可以分析出，如果用前面的“支路法”、“回路法”或“节点法”计算负载电阻上流过的电流，都比较麻
烦。

而且这类问题只关系某一条支路的响应，用前面的方法必然引入多余的电量。

1．将负载电阻划出 电路如图（b ）所示
2．求一端口网络的开路电压（这一部分可能会遇到复杂电路，就可以用网孔法或节点法来解决）
)
)((43213
24134
3121R R R R R R R R U R R R U R R R U U U U U s
s
s cb
ac ab oc ++-=+-+=
+==
3．将一端口网络内的独立电源置零，求其入端等效电阻 置零后，一端口网络的电路如图（c ）所示，。

因此
)
)(()
()(////4321214343214321R R R R R R R R R R R R R R R R R eq +++++=
+=
4．对于负载电阻而言，原电路等效为
R U -
S L
L oc U R R R R R R R R R R R R R R R R R R R U I ))(()()(4321214343213
2410++++++-=+=
二、 诺顿定理
1． 已知：电路如图所示
2k
求：I 。

解：1．将待求支路从原电路中划开，如图（a ）
2．求o R
将电路中的电源置零——电压源用短路线代替，电流源用开路代替，如图（b ）所示：
(b)
Ω=+=k R o 33//125.
2
3．求sc I
应用叠加定理。

求取短路电流的电路如图（c ）所示。

将它等效为图（d ）+图（e ）：
在图（d ）中，
mA I sc 125
.211
1//25.2312'=+⨯+=
在图（e ）中，所求支路为短路线，所以
mA I sc 2''-=
所以：mA I I I sc sc sc 112'''-=+-=+=。

4．原电路等效为：
可以计算得出：
mA I 6.02
33
1-=+⨯
-= 5．电路如图，用戴维南定理求I 及U
+ 11I
U _
20V U
解： （1）将所求支路划出
（2）求U oc
因为
X X I I =+-5
110
11，所以A I x 2=。

而V I U X cd 20105=+=
（3）求R eq
使用节点法：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=
++10
5510111)111
5111(1
1X X I u I u ，解得V u 221=
A I sc 21122
==
，Ω==
=∴10220sc
cd eq I U R （4）戴维南等效
对于非线性电阻而言，其外电路的戴维南等效如图。

这样联立非线性元件的伏安关系及外电路提供给非线性电阻的伏安关系，有以下方程
A I 110
1020
=+=
而V U 10=。

4-4 特勒根定理
特勒根定理（Tellegen’s theorem）是在克希霍夫定律的基础上发展起来的网络定理。

它与网络元件的特性无关，对非线性参数以及时变参数的网络都适用。

特勒根功率定理
一、内容
在一个具有n 个节点、b 条支路的网络N 中，假设各个支路的电压与支路电流分别为
)(21b u u u ，，， 和)(21b i i i ，，， ，它们取关联参考方向，则对任意时间t ，有
∑==b
k k
k i
u 1
二、定理的证明
本教材中给出了一个实际的例子进行说明，有助于大家理解。

证明的依据是克希霍夫定律，以及电路的节点电压与各个支路电压的关系。

具体的严格证明过程同学们可以参见相关参考文献。

三、意义
在任意网络N 中，在任意瞬时t ，各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。

也就是说，该定理实质上是功率守恒的具体体现。

特勒根拟功率定理
一、内容
两个具有n 个节点、b 条支路的网络N ，它们由不同的元件组成，但它们的拓扑结构完全相同。

假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取关联参考方向，分别为
)(21b u u u ，，， 、)(21b i i i ，，， 和)ˆˆˆ(21b u
u u ，，， 、)ˆˆˆ(21b i i i ，，， ，则对任意时间t ，有
∑==b
k k
k i u
1
0ˆ，
∑==b
k k
k i u 1
0ˆ
这个和式中的每一项，都仅仅是一个数学量，没有实际物理意义，定义它为“拟功率”。

三、定理的证明 类似于前面的证明方法。

四、意义
有向图相同的任意两个网络N 和N
ˆ在任意瞬时t ，任意网络的支路电压与另一个网络的支路电流的乘积的代数和恒等于零。

该定理实质上是拟功率守恒的具体体现。

而实际上，该定理并不一定要求式中的量为实际网络中的电压电流，只要它们满足克希霍夫定律。

（该定理可以应用证明正弦交流
网络中的平均功率和无功功率的守恒）
五、例题
1． 已知：电路如图所示，当Ω=22R ，V U 61=时，测得A I 21=，V U 22=
当Ω=42R ，V U 10ˆ1=时，测得A I 3ˆ1
=， 求：=2
ˆU
U 1 R 2
解：设网络N 中含有b 条支路，由特勒根似功率定理：
0ˆˆˆ1
2211=+
+-∑=b
k k
k
I U
I U I U 0ˆ
ˆˆ1
2
211=++-∑=b
k k k
I U
I U I U
由于网络N 中得结构与参数均不会变化，因此
∑∑
===b
k k k
b
k k
k I U
I U 1
1
ˆ
ˆ
这样就有：
22112211ˆˆˆˆI U I U I U I U +-=+-
所以：
V U 4ˆ2
=
4-5 互易定理（RECIPROCITY THEOREM ）
互易定理（Reciprocity theorem ）可以直接由特勒根定理推导出来。

同样，它与网络元件的特性也无关，该定理仅针对线性网络。

定理的形式一
1 i 1 i
2 2 1
ˆi ˆi 2
21ˆi i
= 定理的形式二
1 i 1 i
2 2 1
ˆi ˆi 2
ˆu
12ˆu
u = 定理的形式三
1 i 1 i
2 2
1
ˆi ˆi 2
i 2 ˆ
u
12ˆu
i = 定理的证明思路及有关说明
一、证明思路
略去，希望同学们自学，有兴趣的同学还可以进一步研究。

二、说明
该定理实质上是表征了线性网络的特性。

在下册的《网络函数》和《二端口网络》章节中，我们可以直接看到它的意义。

例题
1．已知：Ω=404R
U 4 2’ +
S 1’ R 4 2’
当在11’端加电压源U S ，且22’端短接时，S U U 2.03=
当在22’端加电压源U S ，且11’端短接时，S U U 1.0ˆ1=，S
U U 5.0ˆ3= 求：R
解：由互易定理可知：'
22'11ˆI I =
所以：
R
U R U U 342
1ˆˆ=+- Ω=+-=
20ˆˆ2
1
4
3U
U R U R
2．已知：
当V U 31=，Ω=202R ，Ω=53R 时，A I 2.11=，V U 32=，A I 2.03=
当V U 3ˆ1=，Ω=202R ，Ω=53
R 时，A I 2ˆ1=，V U 2ˆ3=
求：
=2
ˆI
U
根据特勒根似功率定理：
0ˆˆˆˆ20
4
332211=+
++-∑=k k
k
I U
I U I U I U 0ˆ
ˆˆˆ20
4
3
32211=+++-∑=k k k
I U
I U I U I U
而网络N 中的电路结构与电路参数均不会变化，因此
∑∑===b
k k k
b
k k
k
I U
I U
1
1
ˆ
ˆ
所以：=++-332211ˆˆˆI U I U I U 332211ˆˆˆI U I U I U ++- 得出：A I 2.0ˆ2
= 3． 已知： 电路如图所示
求： =I
2 1
1 4A
2 I 1 1 2
2
1
a 1 + +
2 ab
U ˆ 4V _
1 b 1 _ 2
(a) (b)
根据互易定理的第三种形式：ab
U I ˆ= 而图（b ）可以重画如下：
1 b 1
2 2
2 1 a 1
4V + -
得出：V U ab 2-=，所以A I 2-=
4-6 对偶定理
对偶的规律在电路理论及其他领域中有广泛的应用。

所谓对偶，是指电路方程或伏安关系的数学表达式完全相同的电路或元件。

在电路理论中，对偶的关系可能针对元件，可能针对方程，可能针对变量，可能针对参数，也可能针对拓扑联接方式和图论特性。

比如：
串联与并联：
∑=
Gu i ∑=
Ri u
电感与电容：
dt du i C
C =
dt
di u L L =
对偶网络：A=M 时的网络称为对偶网络。

0AI b = 0MU b =
如：
4 e 2
d f
e 3
a b a b 2 c d f
1 c 4 (a) (b)
图（a ）中的降阶关联矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=100110111000001101321
A f e d c b a
取顺时针方向为网孔的参考方向时，图（b ）中的网孔矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=100110111000001101321ˆ
M f e d c b a
寻求对偶关系的意义在于有关一个网络的关系式或结论得出后，其对偶网络的关系式或结论可以同样得出，当然对于对偶的元件及其他对偶的参数，也可以用这样的方法直接得出。

有关的具体情况不在课堂中讲述，希望同学们自学并进一步研究。