因素水平正交试验

量表示；
b. 用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差不 大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说明条件的变 化影响是很大的，不可忽视；
c. 选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；
(1)变差的数量表示：
假设用正交表安排N个因素的正交试验，试验总次数为n，
试验结果（试验指标）分别为x1, x2, …, xn，假定每个因素取 m个水平，每个水平做p次试验，则n=mp。
9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因因素素A。第3
因素 重复1 重复2 重复3
和
水平3次重
复测定值
A1
y1
y2
y3 y1+y2+y3 K1
A2
y4
y5
y6 y4+y5+y6 K2
A3
y7
y8
y9 y7+y8+y9 K3
例1：(单因素的方差分析) 人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分比 的影响是有疑问的。现确定棉花百分比的5个水平: 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每个水平中测5个抗拉强度的值， 列于下表。问：抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响(α ＝0.01)?
试验设计始于20世纪20年代，其发展过程大致可分为三个阶段： ①早期的方差分析法: 20世纪20年代由英国生物统计学 家、数 学家费歇(R.A.Fisher)提出的，开始主要应用于农业、生物学、 遗传学方面，取得了丰硕成果。二战期间，英、美采用这种方 法在工业生产中取得显著效果； ②传统的正交试验设计法：以日本的田口玄一为代表； ③信噪比试验设计与三阶段设计：1957年，田口玄一提出信噪 比设计法和产品的三阶段设计法。他把信噪比设计和正交表设 计、方差分析相结合，开辟了更为重要、更为广泛的应用领域。
列号
试验号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
常见的正交表: 2水平的有 L4(23), L8(27), L12(211), L16(215)等； 3水平的有 L9(34), L27(313)等； 4水平的有 L15(45); 5水平的有 L25(56);
通过实验 进行优化设计
统计技术在生产/制 造过程中的应用是对 过程中输入的变量 （人、机、法、料、 环）进行有目的的优 化，使输出结果更加 理想，实验设计是其 中较为有效的工具。
通过实验控制其不良 的影响程度
进行实验设计的意义: 应用数理统计学的基本知识，讨论如何合理地安排
试验、取得数据，然后进行综合科学分析，从而尽快 获得最优组合方案。在工程学领域是改进制造过程性 能的非常重要的手段。在开发新工序中亦有着广泛的 应用。 在工序开发的早期应用实验设计方法能得出以下成果： ①提高产量； ②减少变异性，与额定值或目标值更为一致； ③减少开发时间； ④减少总成本；
可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定 的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设 计方法也应有所不同。
在实际生产中，影响试验的因素往往是多方面的，我们要考 察各因素对试验影响的情况。在多因素、多水平试验中，如果对 每个因素的每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做的试验次 数就会很多。考虑经济性，应当在不影响试验效果的前提下，尽 可能地减少试验次数。正交设计就是解决这个问题的有效方法。
查出Fα( f因素, f误差)的值， 由样本计算出S因素和S误差， 从而算出F值。从 而有如下判断： 若F > Fα (f因素, f误差)，则说明试验条件的变化对试验结果有显著影响； 若F < Fα(f因素, f误差)，则说明试验条件的变化对试验结果无显著影响；
由于进行F检验时，要用误差偏差平方和及其自由度，因此，为进 行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空列时，应进行 重复试验，以估计试验误差。
L9(34)正交表
第2列 1 2
第3列 1 2
第4列 1 2
因素A第1 试验结果y水i 平3次
重复测定 y1 值 y2
3
1
3
3
3
y3
4
2
1
2
3
y4
5
2
2
3
1
y5
因素A第2
SA 678＝ ＝ 1 3（ 1 3 （ y K 1 1 2y K 2 2332y 2 ） 3 2 K （ 32） y -T 9 4 2312y 5y） 6 2 （ 131 y 7y 8223y） 9 2 （ y 1yyyy678 2 9.. .y水复） 9 2 （ 平测3定次值修 重 正
正交试验设计是利用正交表来选择最佳的或满意的试验 条件，即通过安排若干个条件进行试验，并利用正交表的 特点进行数据分析的一种常用的试验设计的方法。
正交设计的主要工具是正交表。
三、 正交表及其用法
正交表记为 Ln（mk），m 是各因素的水平，k （列数）是因 素的个数，n 是安排试验的次数（行数）。
例子： 考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的温 度，同一温度做了三次试验，测得结果如下：
要分析温度的变化对得率的影响 总平均得率=89.6%
从平均得率来看，温度对得率的影响? 1) 同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于
试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一 类误差统称为试验误差； 2) 两 种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如 65oC 与 70oC相比较，第一次65oC比70oC 好，而后二次70oC比 65oC 好。 产生这种矛盾的现法常用的术语: 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结 果特征的量（如产量、纯度等） 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指 标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、 碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等 级。如前面例子中的温度有3个水平。温度用T表示，下标1 、2、3表示因素的不同水平，分别记为T1、T2、T3。
这n个参差不齐的数据, 它们之间的差异称为变差。
如何给变差一个数量表示呢?
1) 一个最直观的想法是用这n个数中最大值与最小值之差，
即极差来表达；
2) 离差平方和：
n
S (xi x)2 i1
S是每个数据离平均值有多远的一个测度，它越大表示数据 间的差异越大。
计算S时，累计误差较大。为此总的离差平方和常用以下公式:
1、直观分析法 通过对实验指标的直接观察和因素各水平极差分析得到最佳方案。 仍以上面问题为例。
（1）直接看好条件 从表中实验结果看，第9号实验结果温度值最高，但第9号实验未 必是最优方案，还应通过进一步分析寻找更好的方案。
（2）计算各水平极差
各水平对应 的实验指标和
各水平对应 的指标均值
11.6
极差越大，说明这个因素的水平改变时对试验指标的影响越 大。极差最大的那一列，就是那个因素的水平改变时对试验 指标的影响最大，那个因素就是我们要考虑的主要因素.
什么时候进行试验设计？
＊要为产品选择最合理的方案； ＊要对生产过程选择最合理的工艺参数时； ＊要寻找最佳生产条件时； ＊要研制开发新产品时； ＊要提高老产品产量和质量时； ………
常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计 法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、 序贯试验设计法等。
由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出 疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影响呢?
1) 由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差； 例中的全部15个数据，参差不齐，它们的差异叫做总变差(或
总离差)。产生总变差的原因一是试验误差，一是条件变差。 2) 方差分析解决这类问题的思想是： a. 由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的数
通过分析可以得出：各因素对试验指标(铁水温度)的影响 按大小次序应当是C (底焦高度) A (焦比) B (风压)；最好的方 案应当是C2A3B2。与此结果比较接近的是第9号试验。
为了最终确定上面找出的试验方案是不是最好的，可以按这 个方案再试验一次，并同第9号试验相比，以确认最佳的方案。
2、方差分析法
◇正交试验设计方差分析的步骤 (1) 计算离差的平方和
a 、计算总离差的平方和ST b、各因素离差的平方和S因素 c、 试验误差的离差平方和S误差=ST- S因素 (2) 计算自由度 (3) 计算平均离差平方和(均方)
(4) 求F比 (5) 对因素进行显著性检验
处理号 1 2
第1列（A） 1 1
我们按选定的9个试验进行试验，并将每次试验测得的铁水温 度记录下来：
为了便于分析计算，我们把这些温度值和正交表列在一起组成 一个新表。另外，由于铁水温度数值较大，我们把每一个铁水 温度的值都减去1350，得到9个较小的数，这样使计算简单。
分析表
四、正交实验结果分析
正交实验结果分析主要有两种方法：直观分析法、方差分析法
由于正交表的性质，用它来安排试验时，各因素的各种水 平是搭配均衡的。
因素2
试验点
因素1
因素3
正方体的27个交叉点代表全面试验的27个试验点，在任一 方向将正方体均分的三个平面中，每一平面含有9个交叉点， 其中都恰好有3个点是正交表安排的试验点，且两两不共线， 可见所确定的9个试验点在三维空间的分布是均匀分散的。它 保证了因素1的每个水平与因素2、因素3的各个水平在试验中 各搭配一次，对于这三个因素来说，正交试验次数仅是全面试 验次数的三分之一，但却有很强的代表性，能够比较全面地反 映选优区内的基本情况。
p
xij)2
j1
K
A i
—第 i 个水平 p 次试验结果的和。
其它因素的离差平方和计算与此类似。
(2)自由度：
在实际计算中，我们发现在同样的波动程度下，数据多的平方和要 大于数据少的平方和，因此仅用平方和来反映波动的大小还是不够的。 我们要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。
一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上可知
例1： 某炼铁厂为提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案 经初步分析，主要有3个因素影响铁水温度，它们是焦比、风 压和底焦高度， 每个因素都考虑3个水平，具体情况见表。
问对这3个因素的3个水平如何安排，才能获得最高的铁水 温度？
解：如果每个因素的每个水平都互相搭配着进行全面试 验，必须做试验33=27次。现在我们使用L9(34)正交表 来安排试验。
如某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因 素各按三个水平进行试验。
水平
1 2 3
因素 符号
温度℃
T
T1 (80 ) T2(100) T3(120)
压力Pa
p
p1(5.0) p2(6.0) p3(7.0)
加碱量kg
m
m 1(2.0) m2(2.5) m3(3.0)
全面搭配法方案
一、实验设计的发展过程
这不是一个最好的办法，而应把项数加以修正，这个修正的数就叫做自
由度。
总自由度： dfT＝n-1
因素自由度： df＝ j m1（m为因素水平个数）
(3)均方的概念：
平均平方和(简称均方)等于离差平方和除以相应的自由度f，用MS
表示。
MS S
f
用MS反映波动的大小是更为合理的。
(4) F检验法： 统计量 F = MS因素/MS误差 ~ F (f因素, f误差) ，对于给出的显著性水平 值，
正交表的两条重要性质：
（1）每列中不同数字出现的次数是相等的，如 L9（34），每列 中不同的数字是1，2，3。它们各出现三次。
（2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每 种数对出现的次数是相等的，如如 L9（34），有序数对共有9个： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）， （3，1），（3，2），（3，3），它们各出现一次。
所有试验次数的平均值为：
S Tim 1jp 1(xijx)2im 1jp 1xi2jm 1(im p 1jp 1xi) j2
因素的离差平方和:
以因素A为例,设它在正交表中的某列，用 第j次试验结果，则:
x
表示A在第i个水平的
ij
因素A的离差平方和：
SA1 pim 1(KiA)2m 1(pim 1
在多因素、多水平试验中，如果对每个因素的每个水平 都互相搭配进行全面试验，需要做的试验次数很多，如：
L9（34）4因素3水平正交试验，共做9次试验，而全面试验要 做 34=81 次，减少了72次。
L25（56） 6因素5水平正交试验，共做25次试验，而全面试验 要做 56=15625 次，减少了15600次。