博弈论_完全信息动态博弈

完全且完美信息动态博弈的子博弈
在完全且完美信息的动态博弈里，由于在每一 个阶段需行动的局中人对该阶段以前的行动组 合是完全了解的，所以在它的扩展式表述中， 该节点一定是单信息节点。 也就是说，每个信息集都是单节点信息集，因 此在完全且完美信息的动态博弈里，从任何一 个节点（不包括顶部节点和底部的终节点）出 发，都存在一个子博弈 对于取数游戏，若修改规则，可有更多子博弈
例子：私奔博弈
需看到的是，私奔决策是由卓文君做出的。她 需要做出这样的选择，是因为她已经知道她父 亲卓王孙反对把她嫁给穷书生司马相如。卓王 孙甚至不惜以断绝父女关系作为威胁，让她断 掉念头。 可以用一个完全且完美信息的动态博弈来描述 卓文君与其父亲之间的博弈。 第一步，卓文君在“私奔”与“断绝想法”中选择 第二步，父亲在“默认”与“断绝父女关系”选择
动态博弈的特征
收益函数
因行动组合的个数小于策略组合的个数，而且更为 直观，所以在动态博弈中，出于分析的方便，局中 人的支付函数是从行动组合到实数集的映射 当有n个局中人时，每个行动组合对应一个n维的实 数向量 但如果动态博弈仍然用策略式来表述的话，其支付 函数也仍然是从策略组合到实数集的映射 对于完全信息的动态博弈，支付函数对各方而言， 都是共同知识
例子
① 甲 ② 左 右 左 乙 ② 右
(2, 0)
(2, -1)
(1, 0)
(3, 1)
13
① 左 ② 甲 ① (-1, 2) 前 (0, 4) 后 (1, 0) (0, 0) 前 (4, -1) 后 (3, 3) 乙 甲
右
② 乙 ①
(3, 0, 0)
⑴
(1, 0, 3)
⑹
(2, 3, 1)
⑽
(3, 2, 9)
斯塔克尔贝格模型
Stackelberg双寡头竞争模型 某一个行业上，仅存在两家生产企业，它们之 间以产量进行竞争 与古诺模型不同的是，两家企业不是同时决定 其产量，而是存在一个领导者、一个跟随者 领导者先行动，可选择自己的产量；跟随者在 看到领导者的产量后，再选择自己的产量 我国电视行业的长虹，曾经担当过领导者角色
16
数学表述
首先，企业1选择产量q1≥0 然后，企业2可以观察到q1，并选择产量q2 ≥0 市场需求函数是：p(Q) ＝a－Q。其中，p是市 场价格，Q是总供给量，即Q ＝q1＋q2 两企业的边际生产成本均为常数c＞0，且固定 成本为0 对此完全且完美信息的两阶段博弈，使用逆向 归纳法来求解
劳资博弈
⑿
A
⑶
⑵
C
⑺
A
⑻
⑼
B
⑾
C
⒀
B
⑷ ⑸
(3, 2, 2)
(5, 5, 5)
(4, 2, 4)
(2, 3, 1)
支付向量中，给A、B、C 的支付分别排在第1、第2、 第3的位置
14
海盗分赃
话说有5个海盗A、B、C、D、E ，抢到了100 枚金币，大家决定分赃的方式是：先由海盗A 提出一种分配方案，即(x1, x2, x3, x4, x5) 如果同意海盗A的提议的人数达到半数，那么 该方案获得通过并付诸实施；如果未能达到半 数从而未能通过，则海盗A将被扔下海喂鲨鱼 接下来继续由海盗B提方案，重复上述过程 假设所有海盗都完全理性，且不合谋，并且每 个海盗都想尽可能多的获得金币。A怎样提议?
夺宝战
在桌子上放一定数量的火柴。 甲、乙两个人可轮流从中取走1根或2根。 谁取走最后的1根或2根，便获胜。 胜者得1元，负者输1元。 可用逆向归纳法，找出先行动的人必胜与必输 的规律。此例表明，在完全信息动态博弈中， 即使因博弈阶段较多而无法画出博弈树，逆向 归纳法也仍然是适用的。
15
逆向归纳法
以最简单的两阶段动态博弈为例，来正式地表 述逆向归纳法。 博弈的进行过程是：
2
完全信息
虽然动态博弈也可以转化为静态博弈来分析， 求出其纳什均衡解。作为动态博弈，它自身的 特征可在研究中加以利用和分析 完全信息博弈，是指博弈中每一个人的收益函 数在所有局中人之间是共同知识。如果收益函 数不是共同知识，则是不完全信息博弈 简言之，完全信息博弈与不完全信息博弈的区 别在于，博弈的结果对于所有局中人而言是否 是共同知识。
5
卓文君
私奔
父亲
默认
（1，－1）
断绝对司 马相如的 想法 断绝父女 关系
（－1，1）
（0，－2）
逆向归纳法
对上述博弈问题的分析，是使用逆向归纳法， 也就是从最后一步开始反推。 对于父亲，选择“默认”的支付结果是-1，选择 “断绝父女关系”的支付结果是-2，所以他的最 优选择是“默认” 对于卓文君，给定父亲在第二步的最优选择是 “默认”，她选择“私奔”的支付结果是1，选择 “断绝想法”的支付结果是-1，所以这个博弈的 纳什均衡是（卓文君“私奔”，父亲“默认”）
局中人1从可行集A1中选择一个行动a1 局中人2观察到a1后从可行集A2中选择一个行动a2 两人的收益分别为：u1(a1, a2)、u2(a1, a2)。
逆向归纳法
局中人2的优化问题：max u2(a1, a2)，得出R2 (a1) 反推局中人1的选择：max u1(a1, R2 (a1))。看例子
动态博弈的特征
行动与策略
模仿棋是一个策略，是下围棋的几乎无数个策略中 的一个，但它涵盖了整个棋局过程 静态博弈里只有一个阶段，从而局中人的策略集与 行动集是一致的。但在动态博弈里，策略集与行动 集是不相同的。
行动组合与策略组合
在动态博弈中，每个局中人在每个阶段出一个行 动，构成行动组合。 例：（卓文君“断绝想法”、父亲“断绝父女关系”）
8
动态博弈的特征
行动组合与策略组合
每一个局中人各出一个策略，构成策略组合 既然行动集不同于策略集，那么行动组合自然也不 同于策略组合。 行动组合是策略组合的一种“精炼”的表述。当行动 阶段很多时，这种“精炼”的作用尤其明显。 围棋比赛的棋谱，就是对对弈双方行动组合的记录。 但是围棋行动步数非常之多，从而对完整行动计划 的描述方案（即策略）也几乎近于无穷。用策略组 合来描述一局棋的支付结果，是不可能的
卓文君
私奔
父亲
默认
（1，－1）
断绝对司 马相如的 想法 断绝父女 关系
（－1，1）
（0，－2）
11
①
0 1
②
0 1 0
②
1
①
0 1 0
①
1 0
①
1 2 0
①
1 2
(0,0)
(-1,1)
(-1,1)
(2, -2)
(-1,1) (2, -2) (-3,3)
(2, -2) (-3,3)
(4, -4)
图1.2.1 无“自然”的博弈树
例子：私奔博弈
在汉代，有个青年作家叫司马相如。 《子虚赋》、《上林赋》 他在被汉武帝重用之前，发生过一段与年轻寡 妇卓文君私奔的事情。 司马相如早年跟随梁王，但梁王太短命，宾客 星散。司马相如回到四川时，颇为落魄潦倒， 便去投奔一个好友。在好友所在的县城，有个 巨富叫卓王孙，后者有个才貌双全的年轻女儿 在家守寡，她就是卓文君。
在里昂惕夫（Leontif，1946）模型中，讨论了 一个企业主和一个垄断的工会组织（即作为企 业劳动力唯一的提供者）的相互关系。 工会对工人的工资水平提出要求，但企业主却 可以自主决定就业人数。 工会的效用函数是：U(ω, L) 其中ω为工会向企业提出的工资水平，L为就 业人数。假设U(ω, L)是关于ω、L的增函数。
9
动态博弈的特征
信息
存在完美信息博弈与不完美信息博弈的区分 区分的规则：每一个局中人在行动的时候，对此前 各局中人的行动组合是否完全了解和知道 取数游戏中，不是每一个人在每一步都知道之前的 行动组合，所以是不完美信息博弈
对于动态博弈，通常用扩展式进行表述和分析
在对动态博弈的分析过程中，由于行动组合比策略 组合通常要精炼得多，所以将使用行动、行动组合、 行动组合上的支付函数等概念。
完美信息
完美信息博弈是指在有先后行动的博弈中，博 弈进行到每一步时，要选择行动的局中人知道 这一步之前博弈的进行过程 如果要选择行动的局中人不清楚这一步之前博 弈的进行过程，就是不完美信息博弈 取数游戏就是完全但不完美信息博弈 简言之，完美信息博弈与不完美信息博弈的区 别在于，博弈的过程情况对博弈局中人而言是 否是共同知识。
1
①
0 1
②
0 1 0
②
1
①
0 1 0
①
1 0
①
1 2 0
①
1 2
(0,0)
(-1,1)
(-1) (2, -2) (-3,3)
(2, -2) (-3,3)
(4, -4)
图1.2.1 无“自然”的博弈树
取数博弈的策略式表述
局中人2 取与局中 永远取 取与局中 人1不相 0 人1相同 同 (0,0) (0,1) 局中 人1 (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (-1,1) (-1,1) (2,-2) (-3,3) (0,0) (-1,1) (2,-2) (-3,3) (4,-4) (-1,1) (2,-2) (-1,1) (2,-2) (-3,3) 永远取1 (-1,1) (2,-2) (2,-2) (-3,3) (4,-4)
6
不可信的威胁
从上述例子可以看到，当父亲说“如果你和他 好，就断绝父女关系”时，这一威胁是不可信 的。历史上的故事也正是如此。 卓文君不顾父亲的反对，和司马相如私奔而 去，两人在成都开酒吧为生。文君的父亲终究 不忍心女儿受苦，最后还是接纳了他们的婚姻 有时候，威胁并不可怕，它仅仅是威胁而已 需注意，此例不可效仿。
3
完全且完美信息动态博弈
先了解完全且完美信息动态博弈 概括地说，在完全且完美信息下，动态博弈的 中心问题是解的可信任性。 如果动态博弈按照静态博弈那样做分析，在所 求出的纳什均衡中，有一些是可信任的，而有 一些是不可信任的。 因此，需要对从静态博弈中求出的纳什均衡解 进行“精炼”，去掉不可信任的解，保留下可信 任的纳什均衡。这被称为子博弈完美纳什均衡
10
子博弈的例子
私奔博弈下从“父亲”那个节点开始截断 取数游戏下，从第2个人的任何一个节点开 始，都可取出一个子博弈 子博弈就像是做家族谱，谁是谁的后代，这个 信息必须完全准确、清晰。如果分不清楚谁是 谁的后代，从他开始的家族谱分支就不能单独 拿出来分析。也就是不能构成一个子博弈 第3个条件是希望能把子博弈当作一个独立的 博弈进行分析，并把分析的结果用于原博弈
12
子博弈精炼纳什均衡
定义3.2.3：在完全且完美信息的动态博弈 中，如果局中人的策略组合或行动组合在每一 个子博弈中都构成了纳什均衡，则称该纳什均 衡是子博弈精炼的，并称之为原博弈的子博弈 完美纳什均衡。 在私奔博弈中，（卓文君“私奔”，父亲“默认”） 这一个行动组合，构成子博弈纳什均衡 求解方法：逆向归纳法 看几个例子
子博弈
对完全且完美信息的动态博弈，主要使用子博 弈的方法进行分析 子博弈的定义：书上第81页 定义3.2.2：扩展式博弈中，满足下面三个条 件的博弈，称为该博弈的一个子博弈：
始于单节点信息集的决策节点n（n≠1） 包含博弈树中n之下所有的决策节点和终节点（不 在n之下的除外） 没有对任何信息集形成分割
博弈论_完全信息动态博弈
湖南科技大学商学院 2009-2010学年秋季学期 李宾
动态博弈
在静态博弈中，所有局中人都是同时选择自己 的策略。如果博弈中的局中人在选择自己的行 动时，有先后顺序的差异，就是动态博弈。 第一章绪论中的取数游戏就是动态博弈。
局中人的行动顺序：1→2 →1 行动空间：{0, 1}，{0, 1, 2} r1 → r2 → r3。S = r1 + r2 + r3 若S为偶数，局中人1赢S点，局中人2输S点。 若S为奇数，局中人1输S点，局中人2赢S点。
在不同的阶段，同一个局中人的行动集可能不一样 比如：下围棋中空白点的变化 动态博弈的策略是指局中人在博弈开始前，对自己 各阶段行动的一个完整计划。 比如：围棋有一种下法是模仿棋。天元是棋盘的中 心，且为棋盘上唯一的非对称点，除天元外，棋盘 上的任一位点，总可以找到相应的对称点。 模仿棋的名声鹊起，起源是1929年吴清源与木谷实 的交手。当时吴清源第一步走在天元，然后模仿
动态博弈的特征
阶段和行动顺序
动态博弈中，局中人依照一定的约定规则依次进行 行动。每次行动称为一个阶段。 每个阶段至少有一个局中人要进行行动。 允许在一个阶段里有多人进行行动。
行动与策略
动态博弈中，当轮到局中人行动时，他在自己的行 动集里选择一个行动。 局中人i的行动集一般记为Ai
7
动态博弈的特征
行动与策略
4
例子：私奔博弈
由于司马相如是有名的文人，他的好友又是此 地的县令，所以作为当地的首富，卓王孙广邀 宾朋，宴请司马相如。 在酒席当中，司马相如用梁王赐给他的一把名 琴“绿绮”，弹奏了一曲“凤求凰”。卓文君听 后，当晚就夜奔出走，与司马相如私奔了。 故事就到此为止。问题是，从理性的角度看， 私奔的结果是怎样形成的呢？