人教版七(下)第八章《二元一次方程组》教材分析及教学建议

人教版七（下）第八章《二元一次方程组》教材分析及教学建议

一、本章主要内容

本章主要内容包括：

二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例，利用二元一次方程组分析与解决实际问题。其中，以方程组为工具分析问题，解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点。

本章的中心任务是：使学生经历建立二（三）元一次方程组这种数学模型并应用它们解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。由于含有两（三）个以及多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点。

特别要注意的是§8.4《三元一次方程组解法举例》，在《新课程标准（实验稿）》中是没有要求的，但是在《新课程标准（实验修订稿）》中补充了这方面的教学要求，具体表述是“掌握代入消元法和加减消元法，能解简单的二元一次方程组和三元一次方程组”。

二、教学课时安排

本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）

8.1 二元一次方程组1课时

8.2 消元——二元一次方程组的解法3课时

8.3 实际问题与二元一次方程组4课时

*8.4 三元一次方程组解法举例2课时

数学活动及小结2课时

课时安排与《教师教学用书》的安排有所调整，主要是把§8.2的其中一个课时调整到§8.3，目的是在§8.2的教学中重点解决方程组的解法，把实际应用的例题调整到§8.3，以求把难点分散。

三、教材特点和教学建议

（一）注重解法背后的算理，强调消元思想

方程组中含有多个未知数，消元思想是产生具体解法的重要基础（解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略），而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施。本章在有关方程组解法的讨论中，注意了先使学生了解消元的基本思想，然后在其指导下寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸现出来。

在提出消元思想后，教科书对一种具体的消元解法的过程进行了归纳，即对代入法的基本步骤进行概括。代入法通过“把一个方程（必要时先做适当变形）代入另一个方程”实现消元。教学中，应注意引导学生认识到为什么要实施这样的步骤，把具体做法与消元结合起来，使学生明确如此操作的目的性。类似地，教科书在两个简单例子之后，对另一种具体的消元解法——加减法的过程进行了归纳。加减法通过“把两个方程相加减”实现消元，而加减的条件是“两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反”。教科书还以框图形式表示了两种解法的程序，突出了它们是如何实现消元这一关键步骤的。

加减法和代入法的共同点是，它们都是通过消元解方程组，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个未知数；它们的不同点是，消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对一个方程组用哪个消元方法解都可以，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法。为使学生认识这些，可以引导他们用不同方法解同一方程组，然后对不同方法加以比较，逐步积累经验，提高选择能力。

“8. 4 三元一次方程组解法举例”一节可以使学生更好地体会解三元以及多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组最终化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数。并根据三元一次方程组的形式，灵活选择不同的消元方法，但是在教学过程中应根据学生的实际，不宜盲目增大习题的难度。

具体建议：

1、在讲授代入消元法之前进行等式变形的训练。

例：根据下列等式，用含x的代数式表示y（或用含y的代数式表示x）：（1）2

x y

-=-

-=-（3）612

-=（2）21

x y

x y

（4）329

x y

+=（5）11

1 23

x y

-=

2、利用一题多解，培养学生思维。例1：解下列二元一次方程组：

（1）

248

4918

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

；（2）

5()5

23()9

x y

x x y

+=

⎧

⎨

-+=

⎩

；（3）

3(2)2

2(2)3

x y

y x

-=+

⎧

⎨

+=+

⎩

（4）

2()3()3

4()3()10

x y x y

x y x y

+--=

⎧

⎨

++-=

⎩

；（5）

6

23

4()5()2

x y x y

x y x y

+-

⎧

+=

⎪

⎨

⎪+--=

⎩

分析：本例的题目主要有三种解法，一是化简后利用代入法求解；二是化简后利用加减法求解；三是利用整体的思想，整体代入达到简便运算的目的。

例2：解下列二元一次方程组：

（1）

:3:4

310

x y

x y

=

⎧

⎨

-=

⎩

；（2）

2:3

35

x

y

x y

⎧

=

⎪

⎨

⎪-=

⎩

分析：本例的题目可以利用小学学过的比例的性质找出x、y的关系后求解，也可以向学生介绍参数法，设过渡参数k，然后利用含k的代数式表示x、y，代入方程②求解。

注意：例题1、2的教学必须根据学生的实际水平，不能提出过高的要求。（二）注重知识的实际背景，突出建模思想

同七年级上册“第3章一元一次方程”一样，在本章的各个阶段编者选择了一些比较典型的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料。实际问题始终贯穿全章，对二（三）元一次方程组及其相关概念的引入和对二（三）元一次方程组解法的讨论，是在建立和运用方程组这种数学模型的过程之中进行的。

“8．3 实际问题与二元一次方程组”的设计特点是：使学生在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性等能力，感受建立数学模型的作用。这一节共安排了三个实际问题，“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”。使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解