耦合模理论的推导公式

耦合模理论
耦合模理论（Coupled-Mode Theory， CMT ）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一
般规律的理论。

CMT可用于非接触电能传输（Contactless Power Transfer， CPT）系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。

为了用CMT来估算线圈间的能量传输效率，首
先用电路原理（Circuit Theory， CT）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套
相同的公式。

随后分析 3 个线圈、最后将此方法推广到在同一平面的
1 单负载的电路分析
1.1 电路分析4 个线圈、一直到n-1 个线圈都可以变换为同一套公式， n 个负载线圈的效率求解。

在图 1 中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，U 是逆变后的交流电源，R 为原副边的内阻， R L是负载，耦合系数K M /L1L2，其中M为L1和L2的互感。

系统最佳的工作频率就是谐振点，由集总参数的能量守恒原理可以得到
U R j L1
1I j M I(1)
1
C12
0R R j L12I j M I
1(2)
L2
C 2
I(R L j MU2,P I2
(3)
22L
令X i R j L11，
C i
P I2R2M2R
2L L(4) CT
UI 1UI 1(( R L X2)X12M2)(R L X 2)
在谐振状态下，0 L11
0 L 2
1
,,X1 R,X2 R，从而得到0 L10 L2
CT
2M2R L
(5)
2M2)(R L R)
((R L R)R
1.2 CMT 分析
CPT 系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。

主线圈的幅值在正弦时为
一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈 a (t), a(t) 的原始储能可分
12
别表示为22
12
a (t), a (t) 。

由CMT可得
a1(t)(j1) a1(t)jK 12a2 (t)F S(t)（ 6）
a2(t)(j
21
)a2 (t)jK 12 a1(t)（ 7）
在上述公式中，1, 2 ,L 分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，K 12为两个线圈的耦合率， F S (t) 为励磁损耗（忽略不计）。

CMT中，a1(t)A1e
j t ,a2(t)A2e j t
P12222
都是正弦信号；
1
A1 ,P2 22A2和P L2L A2分别为原线圈、副线圈和负载的功率。

由能量守恒定律可得
P L22
CMT
L A2(8)
222
P1P2P L 2 1A12L A2
22A2
由方程（ 6）和（ 7）可得A
1jK 12
2L
， Q L L 2, Q1L1, Q2L2。

将两A21jK 12R L R R
者之间关系,1,2以及 K K
代入式（ 8），解得
L12 2Q L2Q12Q 22
CMT
L K 12
22K 2L
1 L2R L
2 )((2)1K 122((R L R)R
2K 2L
1L2)(R L R)
(
L L（ 9）2M 2R
L
(( R L R) R2M 2)(R L R)
与式（ 5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。

2两个负载电路的传输效率分析
2.1 电路分析
对于图 2 电路， M 2
和 M 3
为 L 1 分别与 L 2
和 L 的互感， R
为线圈 3 所带的负载， K
2
3
L 3
和 K 3 分别为两个负载线圈的耦合系数
.同理可得
U R j
L
1
1 I 1
j M 2 I 2
j M 3
I 3
（ 10）
C 1
0 R
R L 2
j L 2
1
I 2
j M 2I 1
(11)
C 2
0 R
R L 3
j L 3
1
I 3
j M 3I 1
(12)
C 3
在谐振状态下的传输效率为
P I 2
2R L 2
I 3
2R L 3
2
M 2
2 R L 2 (R R L 3
)2 2M 32
2
CT
R L 3(R R L 2
) (13)
UI 1
UI 1
G1(R R L 2)(R R L 3
)
式中： G 1 ( R R L 2
)(R R L 3
)
2
M 2
2 ( R R L 3
)
2
M 3
2(R R L 2
) .
2.2
CMT 分析
3 个线圈的 CMT 分析和两个线圈的 CMT 分析方法类似，如下所示：
a 1(t) ( j 1
1
)a 1(t)
jK 12 a 2(t) jK 13 a 3 (t) F S (t)
（ 14）
a 2 (t) ( j 2
2+
L
2
)a 2(t) jK 12 a 1 (t)
(15)
a 3(t)
( j
3
3
+ L 3) a 3(t) jK 13 a 1 (t)
(16)
同理可得 A 1
3
L 3
, Q 1
L 1 , Q 2
L 2 ,Q L 2
L 2 ,Q 3
L 3 , Q L 3
L 3 . 同时有关
A
jK
13
R
R
R
R
R
3
L 2 L 3
系 式
, L 3
, 1
,
, 3
, K 12 K 2 K 3
L 2
2Q L 2
2Q 1 2
2Q 2
2Q 3
,K
13
. 从 而
2Q L 3
2
2
解得
P L 2 P L 3
2 2 L 3A 32
CMT
2 L 2A 2
P 1 P 2 P 3 P L 2 P L 3
2
2
2
2
2
2 1A 1
2 2A 2
2 3A 3
2 L 2A 2
2 L 3A 3
2
M 2
2 R L 2
(R R L 3
)2
2
M 3
2 R L 3
(R R L 2
)2
(17)
G 2
(R R L 2
)(R R L 3
)
式中：
G
R(R
L 2
)( R L 3
) 2
M 2
(R L 3
)
2
M 2
( R
L 2
) .解出的结果与式 （ 13）
2
2
3
R R R
R 相同 .用 CT 方法和 CMT 方法能够得到相同的效率公式 .
3
3 个负载电路的传输效率分析
对于图 3 中 3 个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和
CMT 求传输效率是相同的
.
P
I 2 R
I 2 R
I
2
R
2
L 2
3
L 3
4
L 4
CT
UI 1
(18)
UI 1
CMT
P L 2 P L 3 P L 4
(19)
P 1 P 2 P 3
P 4 P L 2 P L 3 P L 4
令
(R(R
L 2 )( R L 3 L 4 ) 2
M 2
2
(R
L 3
)( R
L 4 ) 2
M 3 2
( R
L 2 )( R
L 4 )
R R )(R R
R
R
R
R 2 M 4
2 (R
R )( R R ))(R R )( R R )( R
R
)
L 2 L 3 L 2 L 3
L 4
1
2
M 2
2 R L 2
(R R L 3
)2(R R L 4
)2
2
M 3
2 R L 3
(R R L 2)2 (R R L 4
)2
,
2 M 2 R ( R R 2 (R R ) 2
3
L 3 L 2 L 3
求得传输效率公式为
1
CMT
（ 20）
4 n-1 个负载电路的传输效率分析
用集总参数分析图 4 拓扑结构，图 4 有 n-1 个负载线圈，有 n 个方程，分别为
U
R
j
L 1
1
I 1 j M 2I 2
... j
M n I n
（ 21）
C 1
R R
j
L
i
1
I
i
j MI
1 (i
2 , ...n , ) (22)
L i
C i i
解上述 n 个方程，并将 I 1, I 2,..., I n 代入
2
n 2
M 2 R
n (R R )
2
I
R L 2
I
R L 3
...+I n
R L n
i
2
i
j
2, j i
2
2
L i
L j
（ 23）
CT
UI 1
2
n 2 (R
n
2 (R
2
n 2 M i
2
n
2, j i (R R
L j
)
式中：
2
j
R L j
) R j R L
j )
i
j
用 CMT 方法分析图 4 的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得
a 1(t) ( j 1
1
)a 1 (t)jK 12a 2(t) ... jK 1n a n (t) F S (t)
（24） a 2 (t)
( j
i
i
+L i ) a i (t)
jK 1i a 1(t)
(i
2 , ...n
, )
（ 25）
将以上各变量代换，得到
n
n
2
CMT
n
i 2 P L i
n
i 2 2
L
i A i
2
（ 26）
n
2
n
i 1 P i
i 2 P L i
i 1 2 i
A i i 2 2
L
i A i
1
i L i
L i
L i
,
, K 1i K i
代入式（ 26），忽
将条件 A
jK
, Q L i
,Q i
, L i 2Q i
2Q
A
2
1i
R
R
L i
i
2
L i
略两个负载之间的耦合现象及原线圈的励磁后，用集总参数和 CMT 能得到同样的结果 .。