耦合模理论的推导公式

耦合模理论

耦合模理论（Coupled-Mode Theory， CMT ）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一

般规律的理论。CMT可用于非接触电能传输（Contactless Power Transfer， CPT）系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT来估算线圈间的能量传输效率，首

先用电路原理（Circuit Theory， CT）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套

相同的公式。随后分析 3 个线圈、最后将此方法推广到在同一平面的

1 单负载的电路分析

1.1 电路分析4 个线圈、一直到n-1 个线圈都可以变换为同一套公式， n 个负载线圈的效率求解。

在图 1 中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，U 是逆变后的交流电源，R 为原副边的内阻， R L是负载，耦合系数K M /L1L2，其中M为L1和L2的互感。系统最佳的工作频率就是谐振点，由集总参数的能量守恒原理可以得到

U R j L1

1I j M I(1)

1

C12

0R R j L12I j M I

1(2)

L2

C 2

I(R L j MU2,P I2

(3)

22L

令X i R j L11，

C i

P I2R2M2R

2L L(4) CT

UI 1UI 1(( R L X2)X12M2)(R L X 2)

在谐振状态下，0 L11

0 L 2

1

,,X1 R,X2 R，从而得到0 L10 L2

CT

2M2R L

(5)

2M2)(R L R)

((R L R)R

1.2 CMT 分析

CPT 系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为

一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈 a (t), a(t) 的原始储能可分

12

别表示为22

12

a (t), a (t) 。由CMT可得

a1(t)(j1) a1(t)jK 12a2 (t)F S(t)（ 6）

a2(t)(j

21

)a2 (t)jK 12 a1(t)（ 7）

在上述公式中，1, 2 ,L 分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，K 12为两个线圈的耦合率， F S (t) 为励磁损耗（忽略不计）。CMT中，a1(t)A1e

j t ,a2(t)A2e j t

P12222

都是正弦信号；

1

A1 ,P2 22A2和P L2L A2分别为原线圈、副线圈和负载的功率。由能量守恒定律可得

P L22

CMT

L A2(8)

222

P1P2P L 2 1A12L A2

22A2

由方程（ 6）和（ 7）可得A

1jK 12

2L

， Q L L 2, Q1L1, Q2L2。将两A21jK 12R L R R

者之间关系,1,2以及 K K

代入式（ 8），解得

L12 2Q L2Q12Q 22

CMT

L K 12

22K 2L

1 L2R L

2 )((2)1K 122((R L R)R

2K 2L

1L2)(R L R)

(

L L（ 9）2M 2R

L

(( R L R) R2M 2)(R L R)

与式（ 5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。2两个负载电路的传输效率分析

2.1 电路分析

对于图 2 电路， M 2

和 M 3

为 L 1 分别与 L 2

和 L 的互感， R

为线圈 3 所带的负载， K

2

3

L 3

和 K 3 分别为两个负载线圈的耦合系数

.同理可得

U R j

L

1

1 I 1

j M 2 I 2

j M 3

I 3

（ 10）

C 1

0 R

R L 2

j L 2

1

I 2

j M 2I 1

(11)

C 2

0 R

R L 3

j L 3

1

I 3

j M 3I 1

(12)

C 3

在谐振状态下的传输效率为

P I 2

2R L 2

I 3

2R L 3

2

M 2

2 R L 2 (R R L 3

)2 2M 32

2

CT

R L 3(R R L 2

) (13)

UI 1

UI 1

G1(R R L 2)(R R L 3

)

式中： G 1 ( R R L 2

)(R R L 3

)

2

M 2

2 ( R R L 3

)

2

M 3

2(R R L 2

) .

2.2

CMT 分析

3 个线圈的 CMT 分析和两个线圈的 CMT 分析方法类似，如下所示：

a 1(t) ( j 1

1

)a 1(t)

jK 12 a 2(t) jK 13 a 3 (t) F S (t)

（ 14）

a 2 (t) ( j 2

2+

L

2

)a 2(t) jK 12 a 1 (t)

(15)

a 3(t)

( j

3

3

+ L 3) a 3(t) jK 13 a 1 (t)

(16)

同理可得 A 1

3

L 3

, Q 1

L 1 , Q 2

L 2 ,Q L 2

L 2 ,Q 3

L 3 , Q L 3

L 3 . 同时有关

A

jK

13

R

R

R

R

R

3

L 2 L 3