创新思维之发散思维

类
换
I
x3
dx
x3xx dx
1x2
1x2
元 积
x(x2 1)xdxx 1x2dx
1 x2
1xx2分法dx
1 1x2(x22)C 3
.
16
一题多解：计算
x3 dx
1 x2
解法３：
I
x3 dx
1 x2
x 2 d1 x 2(x 2 1 1 )d1 x 2
(x 2 1 )d1 x 2d1 x 2
概括：把抽象出来的本质属性综合起来。
.
2
上次课内容回顾
第一节 创新思维概述
二、创新思维的特点
1.求异性：就是在别人司空见惯、习以为常、不认为有问题的地方 看出问题，表现出常中见奇、标新立异的能力。
2.灵活性：灵活性是指思维灵活多变，思路及时转换、变通的能力 3.反常规性：追求新、奇、特，也是创造性思维的一大特点。 4.突发性: 就是在时间上，以一种突发的形式，迸发出创造性的思
想火花，新的观念在极短的时间里，脱颖而出。 5.新颖性: 任意一项创造性思维的结果，都会很自然地给人一种耳
目一新的感觉，展示一种新的概念、新的范畴、新的形象、新的 结构。
.
3
上次课内容回顾
第一节 创新思维概述
三、突破思维障碍
思考同类或相似问题的惯性轨道，来自于心理定势。过去的思维 影响当前的思维，形成了固定的思维模式。 思维定势（习惯性思维）的类型： 1.直线型思维:是指一种单维的、定向的、视野局限，思路狭窄，缺乏 辩证性的思维方式，但同时也被认为是以最简洁的思维历程和最短 的思维距离直达事物内蕴的最深层次的一种思维方式。 2.权威型思维:指人们对权威人士言行的一种不自觉的认同和盲从。 3.书本型思维:对书本知识的过分相信而不能突破和创新的思维方式。 4.从众型思维:不加思索的盲从众人的认知与行为。 5.自我中心型思维:人想问题、做事情完全从自已利益与好恶出发，主
观武断地不顾他人的存在和感觉。
6.其他类型思维（自卑型、麻木型、偏执型）
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4
第二节 创新思维形式及方法
一、发散思维 二、收敛思维 三、想象思维、直觉思维、灵感思维 四、逻辑思维与辩证思维
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5
第二节 创新思维-发散思维
（一）定义 从一个问题（信息）出发，突破原有的知识圈，
充分发挥想象力，经不同途径,以不同的视角去探索， 重组眼前的和记忆中的信息,产生 新信息, 使问题得到圆满解决的思维方法。
多解”、“一题多变
”。例如：他对‘代
数基本定理’，先后
给出了4种不同的证
明；他对数论中的‘
二次互反律’，先后
给出了8种不同的证
明。
.
代数学基本定理：任何 复系数一元n次多项 式 方程在复数域上至 少有一根(n≥1)，由此 推出，n次复系数多项 式方程在复数域内有且 只有n个根（重根按重 数计算）.代数基本定 理在代数乃至整个数学 中起着基础作用。 据 说，关于代数学基本定 理的证明，现有200多 种证法。
1 x2
第
解法１：I x3 d x1 x2 d(x2) 1x2 2 1x2
一 类
12
x2 11d(1x2) 1x2
换 元
1 2 1x2d(1x2)1 2d(1 1 xx2 2)
积 分
1(wenku.baidu.comx2)23
1
(1x2)2
1
1x2(x22)C
法
3
.3
15
一题多解：计算 x 3 dx
1 x2
第 一
解法２：
第一章 创新思维
对于创新来说，方法就是新的世界，最
重要的不是知识，而是思路。 ——郎加明
郎加明，著名创新专家，中国研究创新思维第一人，于1974年10 月开始研究“思维与发现、发明”问题。 “金三极创新思维”理论体系创立者， 中国创新培训10大领军人物。
.
1
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第一节 创新思维概述
一、思维的基本知识
12
二次互反律是经典数论中最出色的定理之一 。二次互反律涉及到平方剩余的概念。 设a,b是两 个非零整数，我们定义雅克比符号(a/b)：如果存在 整数x, 使得b整除（x^2-a），那么就记(a/b)=1; 否 则就记（a/b）=-1。 在b是素数时这个符号也叫做 勒让德符号。
法高 斯 证 明 方
第一个证明是用归纳法；
第二个证明是用二次型理论；
第三个和第五个证明是用高斯引理；
第四个证明是用高斯和；
第六个和第七个证明是用分圆理论；
第八个证明是用高次幂剩余理论。
.
13
有人曾问高斯：“你为什么能对数学作 出那样多的发现？”高斯答道：“假如别 人和我一样深刻和持久地思考数学真理， 他也会作出同样的发现。”
1 1x2(x22)C
3
.
第 一 类 换 元 积 分 法
17
一题多解：计算
x3 dx
1 x2
解法４：令 t 1 x2
I x2xd xt21tdt(t21)dt
1x2
t
1 t3 t C 3
1 1x2(x22)C 3
.
第 一 类 换 元 积 分 法
18
一题多解：计算
x 3 dx 1 x2
●
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6
创意无处不在。。。。。。
.
7
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8
.
9
.
10
发散思维——数学
用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式 地思考问题。
高斯被誉为：“能从九 霄云外的高度按某种观 点掌握星空和深奥数学 的天才”和“数学王 子”。
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11
高斯非常重视培养
自己的发散思维，并
且善于运用发散思维
。他非常重视“一题
解法５：令 xtant
I ta3tnse2tcdt si3n tdt
setc
co4ts
第 二
c2 o t s 1 d (ct)o s1 11 C 类
c4 o t s
co t 3 sc3 o t s
换
1x21(1x2)2 3C
元
3
积
1 1x2(x22)C
3
（一）概念：借助于语言、表象或动作对客观事物概括的、间接的反映 。具有概括性、间接性的特征。
（二）思维的过程 1、分析与综合 分析：把事物或现象分解为组成部分。 综合：把事物或现象的组成部分联合成整体 2、比较：确定事物或现象之间异同点。 3、抽象与概括
抽象：把同类事物或现象的本质属性抽取出来，舍弃其非本质 属性。
高斯还说：“绝对不能以为获得一个证 明以后，研究便告结束，或把另外的证明 当作多余的奢侈品。”
“有时候一开始你没有得到最简和最美
妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才
能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸
引我去继续研究的主动力，并且最能使我
们有所发现。”高斯这些言行，很值得我
们学习和深思。
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14
一题多解：计算 x 3 dx