线性代数 第六章 矩阵的特征值和特征向量
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4 1 3
2 1 1 解：A I 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
令 A I 0，得矩阵A的特征值为1 1，2 3 2，
求特征向量就是求(A-λI)x=0 的非零解。
当1 1时,解方程A I x 0.
1 1 1 1 0 1 A I 0 3 0 ~ 0 1 0 ,
4 11 1 0 2 0 4 1 3
当2 3 2时,解方程A 2I x 0.
4 1 1 4 1 1 A 2I 0 0 0 ~ 0 0 0,
4 1 1 0 0 0
1 1 x2 4 , x3 0 0 4
例
1 2 2
特征值和特征向量的应用
❖ 汽车的设计者研究特征值是为了抑制噪音从 而创造一个安静的乘车环境.
❖ 石油公司借助特征值分析可以找到石油储藏 地点.
❖ 特征值也可以用于检查固体的裂缝,当一根梁 被撞击,它的固有频率(特征值)能够被听到, 如果这根梁有回响表明它没有裂缝;如果声音 迟钝,则这根梁有裂缝.
❖ 用收音机收听广播时要改变谐振频率直到它 与正在广播的频率相匹配,因此设计收音机时 要利用特征值.
A I 0
a11 a12 a1n f ( A I a21 a22 a2n
an1
an2 ann
f(λ)=|A- λI|是关于λ的n次多项式，称为A的特征多
项式， |A- λI|=0称为A的特征方程。
代数学基本定理
一个n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）。
A
2 2
1 2
12
解
A I (1 )( 1)( 3),
1 1 ,
1
x1
11
,
2 1 ,
1
x2
1 0
,
3 3
0
x3
1
,
1
练习 求下列矩阵的特征值和特征向量
0 0 1 A 0 1 0
1 0 0
0 1
0 1 0 (1 )( 2 1) 1 0
1 2 1,3 1
1 0
美国1940年建造了塔科马海峡桥，开始这座 桥有小的振动，很多人好奇的在这座移动的桥 上驾驶汽车，大约4个月后振动变大，最后这座 桥坠落水中.这是由于风的频率接近这座桥的固 有频率引起了共振,而这座桥的固有频率是桥的 建模系统的绝对值最小的特征值.这就是特征值 对于工程师分析建筑物的结构时非常重要的原 因.一个工程师总是试图使他的桥梁或他的火箭 的自然频率远离风的频率或液体燃料的频率； 而在另一种极端情况，一个证券经纪人则努力 去接近市场的自然频率线.
(2) 2 1 11 1 1 a 11 1
1 b 21 1
211 1 a 1 1 b 2
4
a
2
b 1
抽象矩阵求特征值
例题：方阵 A满足A2 3A 2I 0，求A的特征值
设是A的特征值，对应的特征 向量为x, Ax x. 对等式A2 3A 2I 0同时乘以特征向量 x有 (A2 3A 2I )x 0x A2 x 3Ax 2x 0
第六章 矩阵的特征值与特征向量
本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似 矩阵、实对称矩阵的对角化。通过本章的学习， 我们应该掌握以下内容：
1 、方阵的特征值与特征向量的定义及计算 2、相似矩阵的定义与性质 3、方阵的对角化 4、用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法
犹如世界上每个人都有自己的特点一样，每个矩阵 也有其内在的特性。可逆性、秩、初等变换的结果等 属于矩阵的代数性质，而特征值、特征向量偏向于反 映矩阵的几何特性。
关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 第一个严格证明是高斯给出的.
1 0 0
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值．
0 0 3
1 0 0 A I 0 2 0 (1 )(2 )(3 )
0 0 3
1
对角矩阵
2
的特征值就是主对角线元素.
n
2 1 1
例：求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量．
定义 设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征向量.
例
1 2
12 11 3 11
注 1. 只有方阵才存在特征值。
2. 特征向量是非零列向量。 3. 对应于同一特征值的特征向量有无穷多。
分析 Ax = lx
(A I )x 0
特征向量x 0
kA Am
A1
特征值
k m
1
若 是 A 的一个特征值，则f() = a0 + a1 + … + am m
是矩阵多项式 f(A) = a0 I + a1 A + … + am A m 的特征值．
例 若 2 是 A 的一个特征值，则2 A +3A2- A 3 必有一个
特征值是_______．
练习
x1
0
,
x2
1
1 0
1
x3
01
特征值与特征向量的性质
定理1 若λ1,λ2,…,λn为方阵A的n个特征值，则 (i) λ1λ2…λn =A; (ii) λ1+λ2+…+ λn= a11+a22+…+ann= tr (A).
定理2 方阵A的对应于不同特征值的特征向 量线性无关.
矩阵
A
AT
1. 若A不可逆 ，则A 有一个特征值为______. 2. 若A+I不可逆 ，则A 有一个特征值为______.
3.若A-I 可逆, 则A 的特征值一定不等于______.
4. 设A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值 是_______, 它对应的特征向量是______.
a11 a12 a13 1 a11 a12 a13 2 1
A是n阶矩阵，x是n维列向量，则Ax也是n维列向 量，当然它已经改变了原来的x的大小与方向。有没有 一个特别的非零向量x，使得向量Ax仅仅使向量x伸长 了若干倍而没有改变其方向呢？这个使
Ax=λx
成立的特别的向量因矩阵A而定，反映A的内在特性， 故称之为特征向量，相应的数称为特征值。
特征值和特征向量的应用
a21
a22
a23
1
a21
a22
a23
2
21
a31 a32 a331 a31 a32 a33 2 1
例
2 A 1
1 a
1 1 ,
(1)若A的特征值为4,1,1, 求a, b;
1 b 2
1 (2)若x 1是A的一个特征向量,求a,b及x所对应的特征值.
1
解 (1) a 2 2 4 11, A 411. a=2,b=1.
2 1 1 解：A I 0 2 0 ( 1)( 2)2
4 1 3
令 A I 0，得矩阵A的特征值为1 1，2 3 2，
求特征向量就是求(A-λI)x=0 的非零解。
当1 1时,解方程A I x 0.
1 1 1 1 0 1 A I 0 3 0 ~ 0 1 0 ,
4 11 1 0 2 0 4 1 3
当2 3 2时,解方程A 2I x 0.
4 1 1 4 1 1 A 2I 0 0 0 ~ 0 0 0,
4 1 1 0 0 0
1 1 x2 4 , x3 0 0 4
例
1 2 2
特征值和特征向量的应用
❖ 汽车的设计者研究特征值是为了抑制噪音从 而创造一个安静的乘车环境.
❖ 石油公司借助特征值分析可以找到石油储藏 地点.
❖ 特征值也可以用于检查固体的裂缝,当一根梁 被撞击,它的固有频率(特征值)能够被听到, 如果这根梁有回响表明它没有裂缝;如果声音 迟钝,则这根梁有裂缝.
❖ 用收音机收听广播时要改变谐振频率直到它 与正在广播的频率相匹配,因此设计收音机时 要利用特征值.
A I 0
a11 a12 a1n f ( A I a21 a22 a2n
an1
an2 ann
f(λ)=|A- λI|是关于λ的n次多项式，称为A的特征多
项式， |A- λI|=0称为A的特征方程。
代数学基本定理
一个n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）。
A
2 2
1 2
12
解
A I (1 )( 1)( 3),
1 1 ,
1
x1
11
,
2 1 ,
1
x2
1 0
,
3 3
0
x3
1
,
1
练习 求下列矩阵的特征值和特征向量
0 0 1 A 0 1 0
1 0 0
0 1
0 1 0 (1 )( 2 1) 1 0
1 2 1,3 1
1 0
美国1940年建造了塔科马海峡桥，开始这座 桥有小的振动，很多人好奇的在这座移动的桥 上驾驶汽车，大约4个月后振动变大，最后这座 桥坠落水中.这是由于风的频率接近这座桥的固 有频率引起了共振,而这座桥的固有频率是桥的 建模系统的绝对值最小的特征值.这就是特征值 对于工程师分析建筑物的结构时非常重要的原 因.一个工程师总是试图使他的桥梁或他的火箭 的自然频率远离风的频率或液体燃料的频率； 而在另一种极端情况，一个证券经纪人则努力 去接近市场的自然频率线.
(2) 2 1 11 1 1 a 11 1
1 b 21 1
211 1 a 1 1 b 2
4
a
2
b 1
抽象矩阵求特征值
例题：方阵 A满足A2 3A 2I 0，求A的特征值
设是A的特征值，对应的特征 向量为x, Ax x. 对等式A2 3A 2I 0同时乘以特征向量 x有 (A2 3A 2I )x 0x A2 x 3Ax 2x 0
第六章 矩阵的特征值与特征向量
本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似 矩阵、实对称矩阵的对角化。通过本章的学习， 我们应该掌握以下内容：
1 、方阵的特征值与特征向量的定义及计算 2、相似矩阵的定义与性质 3、方阵的对角化 4、用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法
犹如世界上每个人都有自己的特点一样，每个矩阵 也有其内在的特性。可逆性、秩、初等变换的结果等 属于矩阵的代数性质，而特征值、特征向量偏向于反 映矩阵的几何特性。
关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 第一个严格证明是高斯给出的.
1 0 0
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值．
0 0 3
1 0 0 A I 0 2 0 (1 )(2 )(3 )
0 0 3
1
对角矩阵
2
的特征值就是主对角线元素.
n
2 1 1
例：求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量．
定义 设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征向量.
例
1 2
12 11 3 11
注 1. 只有方阵才存在特征值。
2. 特征向量是非零列向量。 3. 对应于同一特征值的特征向量有无穷多。
分析 Ax = lx
(A I )x 0
特征向量x 0
kA Am
A1
特征值
k m
1
若 是 A 的一个特征值，则f() = a0 + a1 + … + am m
是矩阵多项式 f(A) = a0 I + a1 A + … + am A m 的特征值．
例 若 2 是 A 的一个特征值，则2 A +3A2- A 3 必有一个
特征值是_______．
练习
x1
0
,
x2
1
1 0
1
x3
01
特征值与特征向量的性质
定理1 若λ1,λ2,…,λn为方阵A的n个特征值，则 (i) λ1λ2…λn =A; (ii) λ1+λ2+…+ λn= a11+a22+…+ann= tr (A).
定理2 方阵A的对应于不同特征值的特征向 量线性无关.
矩阵
A
AT
1. 若A不可逆 ，则A 有一个特征值为______. 2. 若A+I不可逆 ，则A 有一个特征值为______.
3.若A-I 可逆, 则A 的特征值一定不等于______.
4. 设A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值 是_______, 它对应的特征向量是______.
a11 a12 a13 1 a11 a12 a13 2 1
A是n阶矩阵，x是n维列向量，则Ax也是n维列向 量，当然它已经改变了原来的x的大小与方向。有没有 一个特别的非零向量x，使得向量Ax仅仅使向量x伸长 了若干倍而没有改变其方向呢？这个使
Ax=λx
成立的特别的向量因矩阵A而定，反映A的内在特性， 故称之为特征向量，相应的数称为特征值。
特征值和特征向量的应用
a21
a22
a23
1
a21
a22
a23
2
21
a31 a32 a331 a31 a32 a33 2 1
例
2 A 1
1 a
1 1 ,
(1)若A的特征值为4,1,1, 求a, b;
1 b 2
1 (2)若x 1是A的一个特征向量,求a,b及x所对应的特征值.
1
解 (1) a 2 2 4 11, A 411. a=2,b=1.