随机事件的概率与古典概型

随机事件的概率与古典概型
1．随机事件的频率与概率
(1)(2015北京，13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四.
(Ⅰ) (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 答案：(Ⅰ)0.2 (Ⅱ)0.3 (Ⅲ)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 解：(Ⅰ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
(1分) 利用频率估计概率，可知顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200
1000＝0.2.(3分)
(Ⅱ)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．(5分)
利用频率估计概率，可知顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋200
1000
＝0.3.(6分) (Ⅲ)由统计表及频率估计概率可知：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200
1000＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋300
1000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可
以估计为100
1000
＝0.1.(12分)
因为0.6＞0.2＞0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．(13分)
2．互斥事件和对立事件
a ．互斥事件、对立事件的判定
(2)(2019汇编，5分)下列事件中，________是互斥事件，________是对立事件．(填序号)
①从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”；
②一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都中靶”； ③抛掷一枚骰子，事件“落地时向上的点数是奇数”与事件“落地时向上的点数是2的倍数”；
④某城市有甲、乙、丙三种报纸，事件“至少订一种报纸”与事件“不订甲报”； ⑤现有5名学生，3名男生2名女生，从中任意抽取2人去参加比赛，事件“恰有1名
男生”与事件“恰有2名男生”．
答案：③⑤ ③
解析：①事件“至少有1个黑球”的可能性有两种：1个黑球1个红球或2个黑球；事件“至少有1个红球”的可能性也有两种：1个红球1个黑球或2个红球，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．②事件“至少有一次中靶”的可能性有两种：中一次靶或中两次靶，这与事件“两次都中靶”可能同时出现，所以不是互斥事件．③事件“落地时向上的点数是奇数”的结果可能为1，3，5，事件“落地时向上的点数是2的倍数”的结果可能为2，4，6，两个事件不可能同时发生，所以为互斥事件；又落地时向上的点数只可能是1，2，3，4，5，6，所以两个事件也是对立事件．④事件“至少订一种报纸”的结果可能为：订甲，订乙，订丙，订甲、乙，订甲、丙，订乙、丙，订甲、乙、丙，而事件“不订甲报” 的结果可能为：订乙，订丙，订乙、丙，两个事件可能同时发生，所以不是互斥事件．⑤事件“恰有1名男生”的结果只有一种：1名男生1名女生，事件“恰有2名男生”的结果只能是2名男生，两个事件不可能一起发生，所以为互斥事件；但是抽取2名学生参赛的可能结果有1名男生1名女生、2名男生、2名女生这三种，所以两个事件不是对立事件．
b ．互斥事件与对立事件的概率
(3)(经典题，12分)射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，0.13，计算这个射手在一次射击中：
(Ⅰ)射中10环或9环的概率； (Ⅱ)至少射中7环的概率． 答案：(Ⅰ)0.52 (Ⅱ)0.87
解：(Ⅰ)∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环的概率分别是0.24，0.28，且它们为互斥事件，(2分)
∴这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率P ＝0.24＋0.28＝0.52.(5分)
(Ⅱ)(法一)事件“至少射中7环”包括基本事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”．(6分)
∵射手小张在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，且它们彼此互斥，(8分)
∴由互斥事件的概率加法公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率 P ＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.(12分)
(法二)事件“至少射中7环”的对立事件为“射中7环以下”．(7分) ∵射手小张在一次射击中，射中7环以下的概率是0.13，∴由对立事件的概率公式可得，这个射手在一次射击中至少射中7环的概率P ＝1－0.13＝0.87.(12分)
3．求简单古典概型的概率
(4)(2017全国Ⅱ，5分)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110
B.15
C.310
D.25 答案：D
由上表可知，基本事件总数是25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数为4＋3＋2＋1＝10，则由古典概型的概率计算公式可得，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P ＝1025＝2
5
，所以选D.
(5)(2016全国Ⅰ，5分)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.56
答案：C
解析：(法一)种花时可能产生的结果分别为：(红黄，白紫)，(红白，黄紫)，(红紫，黄白)，(黄白，红紫)，(黄紫，红白)，(白紫，红黄)，共6种等可能的结果，即基本事件总数为6，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的基本事件个数为4，故所求概率为P ＝46＝2
3.故
选C.
(法二)和红色花种在同一个花坛里的花有3种情况：紫色花、白色花、黄色花，三者是等可能的，其中红色与紫色的花不种在同一个花坛里有2种情况，故所求概率为2
3.故选C.
(6)(2018江苏，5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
答案：3
10
解析：将2名男生编号为1，2，3名女生编号为3，4，5.选出2名学生参加活动，有 (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个等可能基本事件．记事件“恰好选中2名女生”为事件A ，则事件A 包含(3，4)，
(3，5)，(4，5)3个等可能基本事件，所以P (A )＝3
10
.
4．古典概型与其他知识点结合
(7)(经典题，12分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出如图43－8所示的茎叶图，其中x ，y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83分，乙同学成绩的平均数是86分．
图43－8
(Ⅰ)求x 和y 的值；
(Ⅱ)现从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．
答案：(Ⅰ)x ＝3，y ＝1 (Ⅱ)3
5
∵乙同学成绩的平均数是86分，∴1
7(78＋83＋83＋80＋y ＋90＋91＋96)＝86，
∴y ＝1.(5分)
(Ⅱ)甲同学成绩在[90，100]之间的试卷有两份，分别记为a 1，a 2；乙同学成绩在 [90，100]之间的试卷有三份，分别记为b 1，b 2，b 3.(6分)
“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共有10种等可能的情况．(8分)
记“从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共有6种情况，则P (M )＝610＝3
5
.(12分)
(8)(2018北京昌平二模，13分)为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制出如图43－9所示的频率分布直方图：
图43－9
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
(留整数)
(Ⅱ) 若分别在A ，B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．
答案：(Ⅰ)274 (Ⅱ)3
20
解：(Ⅰ)从A 地区选出的20天中，空气质量状况“优良”的频率为 (0.008＋0.007)×50＝0.75，估计A 地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的频率为0.75，所以A 地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274(天)．(4分)
(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.003×50＝3天，设为a 1，a 2，a 3；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.001×50＝1天，设为a 4. B 地20天中空气质量指数在[150，200)内的有20×0.002×50＝2天，设为b 1，b 2；空气质量指数在[200，250)内的有20×0.003×50＝3天，设为b 3，b 4，b 5.(8分)
设“抽到的日子里空气质量等级均为重度污染”为事件C . 满足条件的所有可能的结果为
a 1
b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1b 4，a 1b 5，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 2b 4，a 2b 5，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，a 3b 4，a 3b 5，a 4b 1，a 4b 2，a 4b 3，a 4b 4，a 4b 5，共20种， C 包含的基本事件有a 4b 3，a 4b 4，a 4b 5，共3种，所以抽到的日子里空气质量等级均为重度污染的概率为P (C )＝3
20
.(13分)
(9)(经典题，5分)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．
答案：7
12
≤2，整理得a 2≤b 2. 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36(种)结果．满足a 2≤b 2的数组：
当a ＝1时，b ＝1，2，3，4，5，6，共6种结果； 当a ＝2时，b ＝2，3，4，5，6，共5种结果； 当a ＝3时，b ＝3，4，5，6，共4种结果； 当a ＝4时，b ＝4，5，6，共3种结果； 当a ＝5时，b ＝5，6，共2种结果； 当a ＝6时，b ＝6，共1种结果．
∴满足a 2≤b 2的数组共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)结果，因此所求的概率P ＝2136＝7
12.
随堂普查练43
1．(经典题，5分)连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a ，b ，记m ＝a ＋b ，则( )
A ．事件“m ＝2”的概率为1
18
B ．事件“m >11”的概率为1
18
C ．事件“m ＝2”与“m ≠3”互为对立事件
D ．事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件 答案：D
解析：将一枚骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)， (1，3)，…，(6，6)，共36种情况．事件“m ＝2”只有1种情况，为(1，1)，所以所求概率为136，A 错误；事件“m ＞11”只有1种情况，为(6，6)，所以所求概率为1
36，B 错误；
事件“m ＝2”与“m ≠3”可以同时发生，C 错误；若a ＝b ，则m ＝2a ，∴m 是偶数，则事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件，D 正确．故选D.
2．(2016天津，5分)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1
3，
则甲不输的概率为( )
A.56
B.2
5 C.1
6 D.13
答案：A
解析：∵互斥事件“甲、乙两人下成和棋”和“甲获胜”的和事件是“甲不输”，∴根据互斥事件的概率加法公式可知甲不输的概率P ＝12＋13＝5
6
.故选A.
3．(经典题，5分)某学校五一放假4天，学校要求每天必须有1名校长值班，该校有正校长1名，副校长2名，正校长主动要求值班2天，若随机为他们排班，则正校长不连续值班的概率为( )
A.14
B.13
C.12
D.34
答案：C
解析：设正校长为a ，两名副校长分别为b ，c . (列举法)对两个a 及b ，c 进行排列，结果有aabc ，aacb ，abac ，abca ，acab ，acba ，baac ，baca ，bcaa ，caba ，caab ，cbaa ，共12种，其中两个a 不相邻的结果有abac ，abca ，acab ，acba ，baca ，caba ，共6种，∴正校长不连续值班的概率为P ＝612＝1
2
.
(树形图法)对两个a 及b ，c 进行排列，所有的可能结果用树形图表示如下：
即所有可能的结果共12种，其中两个a 不相邻的结果有6种，如图：
∴正校长不连续值班的概率为P ＝612＝1
2
.
(Ⅱ)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
答案：(Ⅰ)从左到右依次填0.8，0.95，0.88，0.9，0.89，0.91，0.906 (Ⅱ)0.9 解：(Ⅰ)表中击中靶心的频率依次是：810＝0.8，1920＝0.95，4450＝0.88, 90
100＝0.9，
178200＝0.89，455500＝0.91，906
1000
＝0.906.(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知，射击的次数不同，计算得到的频率值也不同，但随着射击次数的增多，频率值都在常数0.9附近摆动，所以击中靶心的概率约为0.9.(12分)
5．(经典题，12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(Ⅰ)若以A 表示和为6的事件，求P (A )； (Ⅱ)这种游戏规则公平吗？说明理由．
答案：(Ⅰ)1
5 (Ⅱ)游戏规则不公平，理由见解答过程
解：(Ⅰ)甲、乙两人出手指数的所有情况如下表所示：
(4分)
由上表可知，所有可能的结果有25种，事件A 包括(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，共5种，所以P (A )＝
525＝1
5
.(6分) (Ⅱ)游戏规则不公平．(7分)
理由如下：由(Ⅰ)可知，所有可能的结果有25种，事件“和为偶数”包括(1，1)，(3，1)，(5，1)，(2，2)，(4，2)，(1，3)，(3，3)，(5，3)，(2，4)，(4，4)，(1，5)，(3，5)，(5，5)，共13种，事件“和为奇数”共25－13＝12(种)，∴事件“和为偶数”的概率是13
25
，
两人的手指数之和不是奇数就是偶数.
事件“和为奇数”的概率是1225.∴甲赢的概率是1325，乙赢的概率是12
25.(10分)
∵1325>12
25
，∴甲赢的概率大．因此，游戏规则不公平．(12分) 6．(2015天津，12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．
答案：(Ⅰ)3，1，2 (Ⅱ)3
5
解：(Ⅰ)由题意可得抽样比为
627＋9＋18＝19
，(2分)∴27×19＝3，9×19＝1，18×1
9＝2，
∴应从甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3，1，2.(4分)
(Ⅱ)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)， (A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)， (A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15个；(7分)
事件A 包含(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)， (A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共9个基本事件，(10分)
∴事件A 发生的概率P (A )＝
915＝3
5
.(12分)。