等价鞅测度和鞅定价方法导数

在概率测度 下，随机向量 1, 2 服从联合正态分布，即
1,
2
1 2
1
2
1 1
2
2
12
12
12
2 2
1
11
2
2
1
2
其中
12
2 2
2 12
如果希望将其期望值调整为 ， 定义随机变量
1
2
12
12
12
2 2
1
1 2
1 2
1
2
12
12
12
2 2
1
1
2
将 乘以 ，可以得到
当概率测度 与 关于 中哪些集合具有零概率是一致的时候，我们称它们为等价测
度。 注 ：对于等价测度来说，当我们称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一个测
度下成立。 注 ：在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度下必然也是无风险组合，因为两
个等价测度对于具有概率 的事件是一致的。
几乎必然非负。
1
等价鞅测度和鞅定价方法
导数
改变期望值
一个概率分布通常具有两大特征：位置和形状。改变期望值就是改变位置；改变方差则 是改变形状的一个方式。在本章中，我们试图改变位置（即期望值），但不改变分布的形状。
改变期望值一般可以通过： 为随机变量加上一个常数，改变其期望值。
这一方法在统计学和计量中很常见，但在金融资产定价中，我们希望实现的是将资产预 期收益率从
λ t 1 ,..., ,0 是一个 维适应过程。定义
新概率之和等于 ；在概率测度 下 的期望值为 ；方差仍保持为 98 。可以求得概率测 3
度 应为
122 429 10
22 39
3
5 33
1
可以看出，从概率测度 到 ，随机变量的取值并未变化，变化的是其对应的概率。要 令期望值下降，需要将较大取值的概率调低，较小取值的概率调高。
在概率测度 下，随机变量 服从正态分布
|
定理
定理（一维情形）
设 ,0 是概率空间, , 上的布朗运动。 ,0 是关于该布
朗运动的域流。设 ,0 是一个适应过程。定义
exp
1 2
0
2
0
在 条件下，我们有
0
源自文库
0
2
2
1
并且，在概率测度 下，过程 ,0 是一个布朗运动。
risk premium
调整至
以规避对风险溢酬的估计，简化期望值的计算。显然我们并不知道期望的风险溢酬究竟是多 少，因此无法采用这一方法。
改变概率测度，改变期望值，但不改变方差。
在概率测度 下，随机变量 的分布为
则我们有
1 3 10
1 3 3
1 3 1
2
98
3
为了将其期望值调整为 ，我们采用概率测度 。显然，概率测度 应满足以下三个条件：
证明： 首先，由于遵循广义几何布朗运动的随机过程
S
t
S
t 1 2 udu
t
udW u
0 e 0 2
0
是一个鞅过程，因此
1
为
导数过程，概率测度 和 是等价测度。
其次，讨论定理条件。从 可知
从而有
1 0
因此定理条件意味着伊藤积分 和 均为方差有界，是平方可积鞅。 0
证明：
1
证明：
当
几乎必然严格为正时，
证明：
在概率空间, , 上，如果 是几乎必然非负的随机变量，且满足 1，
则对于 定义的
是一个概率测度。 证明：
由
可证其正则性。
1
为 证 其 可 数 可 加 性 ， 设 1, 2,... 是 中 一 列 互 不 相 交 的 集 合 ， 并 定 义
因此， 在概率测度 下是一个鞅。
|
1
|
：等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的。例如在二叉树模型中，真 实概率测度和风险中性概率测度都基于相同的树；在蒙特卡罗模拟中，可能的路径是一致的。 不同的只是发生的概率。
： 是什么？
定理（多维情形）
设 Wt,0 是 概 率 空 间 , , 上 的 维 布 朗 运 动 。 设
最后，验证过程 ,0 是布朗运动。如果一个过程初始值为 、具有连续路
径、在时刻 的二次变分为 、并且具有鞅性质，该过程就是布朗运动。
0 0 且 ,0 连续；
显然 的二次变分等于 的二次变分。即
在概率测度 下是一个鞅。
1
定义的概率测度 下，有
| 给定 0 ，对于 可测的随机变量 ，在概率测度 下，有
|
1
|
证明：根据条件期望的部分平均性质：
要验证
|
导数过程的性质 ，意味着要验证
1
|
或
由性质 有
1
|
1
|
1,
2
1 2
1
2
1
2
12
12
12
2 2
1
1
2
1
2
显然以上方法可以推广至多维连续随机向量的情形。
导数
我们将
中的随机变量 称为 关于 的
导数。
在离散分布下，我们有
或者 在连续分布下，则表示为
实际上，通过（满足一定性质的）
导数，我们既可以从概率测度 变换
至 ，也可以从概率测度 变换至 。
, 2
如果希望将其期望值调整为 ， 定义随机变量
将 乘以 ，可以得到
2
2 2 2
2
1
2 2
2
式 意味着，在概率测度 下， 服从期望值为 ，方差为 2 的正态分布。
如果希望将其期望值调整为 ，则定义随机变量
2
2 2 2
2
将 乘以 ，可以得到
1
2
2 2
2
式 意味着，在概率测度 下， 服从期望值为 ，方差为 2 的正态分布。
在什么情形下， 进行上述变换？
由于我们希望能够通过
导数 存在？或者说，什么情形下我们可以对概率测度 导数 在两个测度之间自由变换，从数学上看，
与 应该都不能为零。但由于分子分母均为概率，因此：
当概率测度 与 关于 中哪些集合具有零概率是一致的时候， 存在，我们可以在两个测度之间自由变换：
导数
1
1
,
1
。显然有
和 lim
，可得 1
...
1
2
3
lim
lim 1
lim 1
1
假设, , 为概率空间， ,0 为域流。随机变量 几乎必然为正，并且
满足 1。
导数过程定义为
|
鞅性质。
| | | 对于 可测的随机变量 ，在由