一类具有常数避难所的功能反应Ⅲ的食铒-捕食模型动力学性态

证明： 当系 统 （ ） ５ 的正 平 衡 点
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四 川 兵 工 学 报
证明 ： Ｅ Ｘ ） 当 （ ２ ＝０时 ， ＝ （ 一 ） 此时 ＸＹ ｏ 。 ） 故 Ｅ（ ）＝ 不 等式成立 ； ｏａ ， ： （一 ， ＸＹ ０， 当 （ ）＞ ０时 ， ， ｔ 令 （）＝Ｅ［ 一 （ ｙ 。 ＝ｔ （ ２ 一２ Ｘ ＋Ｅ ） ≥０ 于是 △＝ （ Ｘ ） 一 Ｅ Ｘ ） ） ， （ ） 。 （ ） （ ２ 。 ）］ ２ Ｘ ） ｔ Ｙ （ 恒 Ｅ Ｅ ， ４ Ｅ Ｙ 。 ４ （ ２ （ ＧＯ 即［ ｙ ］ ≤Ｅ Ｅ ｙ ）
０ 一２ｘ ］ ｂ
设 Ｒ（ ｍ）：２ 。＋ （ ６８ ６Ｂｍ ２ ２—２ｘ ｂ 一２ ） ＋ａ 一 ｑ ｍ ｘ
０
ｚ
一２ｂ ｘ
Ｏ ｙ 一
：
一
’ａ
，
：
一
２ … ’
△ ： （ ２
一２ ｘ ｂ 一２ ） ＋
警 ： ｃ ） ｋ 一（ ＋ ＋ａ 卢
ｆ ｃ ｝ｃ 仇一 １ ，一， 一
【 一 ＝ ＋
。
一
砌 ＋ ∞≤ 。因此 ， ｔ Ａ 当 充分大 ， 满足初始 条件 的模 型
（） ４ 的解 是 正的 ， 且最 终 有 界 。
并 且 讨 论 了躲 避 系 数 在 该 模 型 中 的 作 用 。 Ｇ ｎａ ｚＯｉ ｒｓ ｏ ｚｌ —ｌ ａｅ ｅ ｖ ａｄＲ ｍ ｓ ｉｂｒ 在 文献 ［ ］ ｎ ａ ｏ— ｌ ｅｔ Ｊｉ ｏ ３ 中对 模 型 （ ） １ 中的 食 铒 引 人 了 具 有 比例 避 难 所 ， 加 入 常 数 收 获 进 行 了 改 进 ， 并 同时 研 究 了
参考文献 ：
况玲丽， 一类具有常数避难所的功能反应Ｉ 等： Ｉ Ｉ
二 塑鱼
兰竺查
竺
ｆ （ ｍ。６＋ ｜ ） 鲁＝ ＋） ＿ 训（ ［ （ ８
【 ：ｃ 一 ＋ ） ｄ （ ｒ ＋
证 明 ： 过 计 算 得 模 型 的正 解 为 经
一 （ ）
（ ＋Ｘ （ ） ２ ） ２
３ ）若 Ａ（ ）＞ ， ０＜ｍ ＜ｍ 时 ， ）＜ Ａ ＋ ２ ０ ｘ ０当 １ Ｒ（ ０ ｌ Ａ ＜ ，
ｍ ＞ｍ 时 ， （ Ｒ ）＞ Ａ ＋Ａ ０ ０ ｌ ２＞ 。 由 Ｈｕｗｔ 据 ￣ ，２ ｒｉ ｚ判 ４ Ｐ（ ３
定 的。 定 理 ３ 当 系统 （ ） 正平 衡 点 ５的
） ｙＡ， ≤０ 从 而 （ Ａ ） Ａ ） １Ａ ） （ ｌ ） ， ｙ ≤（ （， ｙ 。
二Ｊ
］ ］ ］
ＹＡ ）＋ｙＡ ｔ ＋ ｔ ｙ＋ＹＡ ｙ： ２ Ａ Ｘ ２ Ａ Ｘ ｙ恒 ＞０ 于是 △＝ （ ｌ ～ （ １ ， ４ ＸＡ ， ４ ）
第３ ２卷
第 ２期
四 川 兵 工 学 报
２１ ０ １年 ２月
【 其他研究】
一
类具 有 常数 避 难所 的功 能 反应 Ⅲ的食铒 一捕 食
模 型 动 力 学 性 态
况玲 丽 ， 彭 结 ， 张 芳
（ 长江师范学院 ， 数学 与计算机学院 ，０ １０ ４ ８０ ）
摘要 ： 在深入分析具有功能反应 的食饵 一捕食者 ２种群模型 的基础上 ， 在功能反应 Ⅲ的 ２种群模 型中引入了食饵种 群具有躲避功能的捕食与被捕食模 型 ， 运用微 分方程稳 定性研究 了模型平衡 点 的存 在性 、 部稳定性 ， 局 并通 过构造
其 中：（） Ｙ ｔ分别表示 ｔ ｔ ，（） 时刻食饵种群和捕食 者种群的密
度 ； ，， ， 卢均 为 正 常 数 。 引入 了 食 铒 具 有 躲 避 捕 食 者 捕 ０ ｃｄ ，
鲁＋ 。 一 鲁＝［一
～
］ 一
ｃ ｙ＋
： （ — ）一ｃ 。 ｙ＝
ｃ 一 ＋ ＋ ｋ ｘ —ｋ ｘ ＝ ｙ ｃ ｃ ａ ｂ
解 是 正 的 ， 最终 有 界 。 且
证明 ： 显然 ， 对于满足初 始条 件 （ ）＞ ， （ ）＞ ． ０ ０ Ｙ ０ ０ 的模
型 （ ） 当 ｔ ０时解 为 正 的 。 ４， ＞ ／
定 义 ： ＝ｋ ＋ ｘ Ｙ
能性反应的食铒 一捕食系统
一
ｋ
） Ｘ－
＝
【 ＋ 警＝
，
生
Ｘ２
） 是稳
３ 模 型 正 平衡 点 的存 在 性 和 稳 定 性
以下 讨论 正平 横 点 的存 在 性 与 局 部 稳 定 性 。 … … 当 撇 …
ｆ
｜ 旦± ： ｃ 匿 ： ， ， ＼ ／
、 为
局 部 稳 定 时 ，并 且 当
ａ ＞ｂ ｍ
Ａ ｃ ＋ ＡｃＯ 芸 。 芸 ， 监 蒡 ＝， 一 ＋ ｙ 一
ＡＡ ｌ ２＝ ２ （ 一ｃ ｘｙ ） 由 ｏ ＞ｃ Ａ Ａ ０ ｔ ｋ 得 ｌ２＞
Ａ ｌ＋Ａ
：
ｌ ｂ￣ ｍ ［ ｘ ＋ （ ６ ２ ２
。 ｎ
一
一２ 一２ ） ＋ ｂ ｍ
［ 。一６ ＋ｍ） （ ＋ ）一ｂ ｘ＋ｍ） ＋Ｘ ）＋ （ ］卢 （ （ ２
定理 ４ 已知 Ａ， Ｂ∈Ｍ… （ ） 则有 ［ （ Ｂ） ＜ ｒＡ ｔ Ｂ 。 Ｒ ， ｔ Ａ ］ ￣ｔ Ａ ） （ Ｂ ） ｒ （ ｒ 证明 ： ｔ Ａ ： 则有 Ａ： ， Ａ ０ 即 打（ ＝ ， 若 ｒ Ａ ） ０， （ ０ 故 Ｂ＝ ， Ａ ０ 此时不等式成 立 ； ｔ Ａ ０时 ， 当 ｒ Ａ ）＞ （ 令 ｔ ｒ （ 一 （ 一 ）：ｔ［ ）］ ２ｒＡ ＝ｔ （ Ａ ）一ｔｔ Ａ ＋ （ Ａ ） 打（ Ｂ ） ＞０， 意 到 ｔ（ Ｂ ）＝ ） 于 是 Ａ ＝ ｔ （ Ｂ ）一 ｔ Ａ 打（ ≤ ｔ ［ｒ Ｂ ） Ｂ ］＋ Ｂ 恒 １ 注 （ ｒＡ 打（ ， ４ｒ Ａ ４ｒ Ａ ） 肋 ） ２ （
１ ）当 Ｙ＝ ０时 ， ｃ（ 令 ）＝（ ＋ｍ） 。一ｂ ＋，） ［ （ ｎ ］＝ 一 下 面 讨 论 正 平 衡 点 的稳 定 性 ， 平 衡 点 的 局 部 稳 定 满 足 正 的 条 件 为
（去 ，： ｍ ａ ） 以 詈＞ 时 界 衡 舍 ） 詈一‘ ｍ， 当 ｍ 边 平 点 所
ｐ
２
ｒ
２ ， ｏ ： 一ｘ （ Ｒ（ ） Ａ ）
１ ）若 Ａ ） ， ＜ ＜ｍ ， ）＜０ ｌ Ａ ＜ 。 （ ＜０ ｍｌ ｍ ２Ｒ（ ｊＡ ＋ ２ ０ ２ ）若 ａ ｘ ０ Ｂ（ （ ）＜ ， ）＞０ 当 ０＜ｍｌ ， （ ， 时 Ｒ ）＞ Ａ ＋ ０ １
Ａ２ ＞０。
对于具有功能反应 ｍ的食饵 一捕食者 ２种群模 型
— ～
ｆ ａ－ｘ一 ｘｂ ｄ ｘ ２
聋，
，
（） ４
Ｉ＝ ＋ 鲁 一
引理 １ 系统（ ） ４ 满足初 始条件 （ ）＞ ， （ ０ ０ ｙ ０）＞ ． ０ 的
ｔ
一ｃ ， ，
其 中：（）Ｙ ｔ分别表示 ｔ ｔ ，（） 时刻食饵 种群 和捕食者种群 的密
ｆ （ ｍ［ ６ ＋） ＋） 鲁＝ ＋） 一（ ｍ］ 一 ｎ （ Ｉ 一（ ） ｙ ＝ｃ２ ／ ３ ＋ ：
）
其中， ） ｛（ ＋ ［。 ６ ： ｍ ］ ＋；。 ＝ ）（一（ ＋ ）（ ） （
，
＞ ｃ
衔 脯 ｉ － 怔 枷 Ｃ
０ 所 以 Ｂ变 成 曰 即可 ，
［ｒＡ ， ＿ ≤ ｔ Ａ ｔ（ Ｂ ） ｔ（ 曰 ） ｒ Ａ ）ｒＢ （ 最 后 由 Ｂ的任 意性 ， 式 （ ） 曰 换成 Ｂ， 得 ［ｒＡ ］ ￣ｔ Ａ ｔ Ｂ 。 将 １中 即 ｔ Ｂ） ＜ ｒ Ａ ）ｒ Ｂ ） （ （ （
二 望： ± 。 ！
一ａ。＋２ｘ ， ）＝２ｘ ２—２ ｘ ｘ ｂ。 Ｂ（ ｂ３ １ ｂ。一
４８ ６２
『 （）。 ａ 一 ＿ ＋ 。 一一 ［ｍ： ： ］ ］
ｍ ） （ ｍ ＜ ＋（ 一 ） 该 界 衡 ，， 詈一 ） ｃａ ｍ 时 边 平 ０当 —
度 ； ，，， ， 口均 为 正 常 数 。 文 献 ［ ］ 对 此 模 型 的 稳 定 。 ｂｃ ｋ ， １中
１ 模 型 有界 性
性进行 了系统分析 ， 到了该模型无极 限环以及极限环存在 得
唯 一 的 一些 条 件 。 Ｔ ｐｎＫ ｍ ｒａ 在 文 献 ［ ］ ， 对 具 有 Ｈ ｌｎＩ 类 功 ａ ａ ｕ ａＫ ｒ ２中 针 ｏｉ Ｉ ｌｇ
８ （ 。一ａ ＋２ｘ ） ： 。 ｘ ｂ
８６ ＋ ８ｂ ＋ ４６ 。＋４ ＞０
盼
定 当 ｍ ，型 ５ 在 界 衡 （ 理ｌ 詈＞ 时模 （ 存 边 平 点 詈 ）
一
经 计 得 二 二茏 过 算 ｍ＝
ｍ ２
，
： 二
令 Ａ（ ）：
２ 系统 边 界 平 衡 点 的 存 在 性和 局 部 稳 定 性
为 了 方 便 ， 模 型 （ ） 行 无 纲 量 变换 ： 对 ４进 令 ＝ —ｍ， ｙ ｄ ：［ ＋（ ＝ａ ，ｔ 。 —ｍ） ］ ｄ
则
改进后模型的稳定性 。在模型 （ ） １ 中对食铒引进常数躲避系
食 的功能的常数避难所 （ 常避难所有按食铒 比例 的避难所 通
和 一定 数 量 的避 难 所 ， 就是 常数 避 难 所 ） 其 模 型 为 也 ，
一
Ｃ）一ｋ ｘ Ｏ ｂ 十ｋ ０＋Ｃ Ｘ≤ 一ｃ ＋Ａ ｆ ）
其 ， 二 函 。ｃ 一 的 大 ，警 中 是 次 数 （＋） 。 最 值则 ≤ Ａ
数得到模型（ ） ４ 为
收 稿 日期 ：００—１ — ５ ２１ １ ２ 基 金项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 计 划 资 助 （Ｏ ７５ ５ 国 ３ ７Ｏ ５ ） 作者简介 ： 况玲 丽 （ ９７ ） 女 ， 要 从 事 计 算 机 技 术 与应 用数 学研 究 。 １８ 一 ， 主
类 似 地可 以证 明另 一 个 关 于 协 方 差 的不 等式 ： ｏ Ｘ， ） Ｃ ｙ Ｘ， ） ｏ （ ， ） Ｄ ） Ｄ ） Ｃｙ （ Ｙ ￣ ｏ （ Ｘ Ｃ ｖ Ｙ Ｙ ＝（ Ｘ （ Ｙ 。 ＜
４ Ｃ ｕ ｈ —ｃ ｗ ｒ 在 矩 阵 论 中的应 用 ａ ｃｙＳ ｈ ａｚ
４１ 应用 ｌ ．
４２ 应用 ２ ．
（） １
定 理 ５ 已 知 Ｘ，， Ａ是 ｎ阶正 定 矩 阵 ， 有 （ Ａ ） （ Ａ （ Ｙ 。 ｌ ∈Ｒ ， 则 Ｙ ≤ Ｘ） ＹＡ ） 证 明： 当 ＝０时 ， 有 Ｘ＝ ， 时两 边 都 为 ０ 成 立 ； ＸＡ ＞ 必 ０此 ， 当 Ｘ Ｏ时 ， ＿ ｔ ＋１ （ ＋Ｙ 令 厂 ）＝（ （ ， Ａ ） ）＝ｔ Ｘ ＋ （ Ｙ＋ ２ Ａ ｔＸ Ａ Ｘ
Ｄｌ ｕａ ｃ函数 ， 一 定 条 件 下 得 到 了 该 模 型 正平 衡 点 的全 局 渐 近 稳 定 性 。 在 关键 词 ： 食饵 一 食 者 模 型 ； 能反 应 ｍ ； 捕 功 正平 衡 点 ； 局 渐 近稳 定 性 ； 避 全 躲 中 图分 类 号 ： ９ ０１３ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０６— ７ ７ ２ １ ）２— １２— ２ １０ ００ （０ １ ０ ０ ４ ０
Ｊ —ｍ— ｂ ｏ ｂ ｎ （ ｎ
时， 在 Ｇ （，） ｘ ０Ｙ ０ ： ＝｛ ｙ Ｉ＞ ，＞ ｝
【 ＋ ａ一６ ａ ）＜ ｂ 口（ ， ｎ— ｂ ０
内无 极 限环 ， 此 正 平 衡 点 为 全 局稳 定 的 。 即
正平 衡 点 Ｅ ， ） 且 该 正 平 衡 点 在 满 足 一 定 条 件 时 是 （ Ｙ ，