信号与系统微分算子方程

电路系统算子方程的建立
表 2.2 电路元件的算子模型
在电路分析中，独立源信号代表 系统激励，待求解的电流或电压为系统
3
设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算
子H(为p) H B(p( p)，)
A( p)
且 bm pm bm1 pm1
pn an1 pn1
b1 a1 p
p b0 a0
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
其一阶和二阶导函数为 yx' y(tx)(t)c10eett
c(221e2tt
)e2t
2(c20
c2t1t)e02t
系统的微分算子方程
1 微分算子和积分算子
p d dt
1 t ( )d
p
p称为微分算子，1/p称为微分逆
算子或积分算子。
例 ：
微分算子的运 算性质
性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，
在形式上可以像代数多项式那样进
( p 2)( p 3) y(t) ( p2 5p 6) y(t)
行展开和因式分解。
pn an1 pn1 an2 pn2 L a1 p a0 y(t) bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L b1 p b0 f (t)
或缩写为
n
ai
pi
y(t
)
m
bj
p
j
f
(t )
i0
j0
A( p) y(t) B( p) f (t)
微分算子方程
n
A( p) ai pi i0
c10et (1 2t)c21e2t 2c20e2t
y"x (t) c10et 2c21e2t 2[(1 2t)c21 2c20 ]e2t
c10et 4(t 1)c21e2t 4c20e2t
令t=0-,并考虑到y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13
代入初始条件值并整理得
m
B( p) bj p j j0
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
H( p)
B( p) A( p)
bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L pn an1 pn1 an2 pn2 L
b1 p b0 a1 p a0
传输算子
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
例 2 ：已知系统框图，求系统的传输算子
－2
f (t)
∫
x(t) ＋
y(t)
4
－5
－3
解 设中间变量x(t)，左端加法器
列方程 x"(t) x '(t) 3x(t) f (t) 右端加法器
y(t) 2x'(t) 4x(t)
yx(t)=(c0+c1t)eλt。
例 某系统输入输出微分算子方程为
( p 1)( p 2)2 y(t) ( p 3) f (t)
已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，
y″(0-)=13, 求系统的零输入响应yx(t)。 解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2
( p 1) yx1(t) c10et ( p 2)2 yx2 (t) (c20 c21t)e2t
系统的特征 A( p) 0 y方(t)程和：f(t)满足的算子方程为
A( p) y(t) B( p) f (t)
系统的 特征多 项式
yx(t)满足的算子方程为
A( p) yx (t) 0
t0
简单系统的零输入响应
简单系统1
若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0e
简单系统2
若 A(p)=(p-λ)2，则
D(p)B(p)
B(p)
A(p) D(p)f (t) A(p) f (t)
B(p)D(p)
B(p)
2 LTI系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输入输出方
程是线性常系数n阶微分方程。若系统输 y(n) (t) an1y(n1) (t) an2 y(n2) (t) L a1y(1) (t) a0 y(t) 入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为 bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) bm2 f (m2) (t) L b1 f (1) (t) b0 f (t) 用微分算子P表示可写成
果。因为y(t)与y(ft()t)之f (t间) 可c 以相差一个常数 c也。不能由方程( p a) y(t) ( p a) f (t) 通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得
到y(t)=f(t)
性质4 但是
设A(p),B(p)和D(p)均为p的正
幂D(p多) 项A(式p) f (t)=A(p) f (t)
yx (0 ) yx' (0 )
c10 c20 3 c10 c21 2c20
6
c10 =1 c20 =2
y"x (0 )
c10
4c21
4c20
13
c21 =-1
一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：
第一步，将A（p）进行因式分解，即 l A( p) ( p i )ri i 1
( p2 4) f (t) ( p 2)( p 2) f (t)
性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多
项A( p式)B，( p) f则(t) B( p)A( p) f (t)
性质3 微分算子方程等号两边p的公因
式例不如能，随便py消(t) 去pf。(t) 不能随意方消程去公因子p而得到y(t)=f(t)的结
第二步，求出第ii个根 对应
的零输入响应y (t) yxi(t)
[ci0
ci1t
ci2t
2
xi
ci(
ri
tr
1) i
1
]eit
i 1,2,....,l
第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得
入响应，yx (即t) l yxi(t) t 0 i 1
传输算子代表了系统将输入转变 为输出的作用，或系统对输入的传输 作用，故称H(p)为响应y(t) 对激励f(t) 的传输f (t)算子或系H(统p) 的传输算y(t)子。
用H(p)表示的系统输 入输出模型
例 1：设某连续系统的传输算子为
H ( p)
p3
p2 2p2 3p 4
写出系统的输入输出 微分方程