固体理论

（6） 布里渊区－倒空间的W-S元胞
在倒空间中选定一个倒格点为原点，画出连接原点及其近邻倒格 点的那些矢量，然后作这些矢量的垂直平分面，由这组平面包围 成的含有原点的最小立体图形称为第一布里渊区，用BZ表示，又 称简约区。
2 2 布里渊区表面上的点所对应的k 矢量满足： K n k ， k （其中：K n是倒格矢）。 简约区具有倒点阵点群的全部对称性，由于同一晶体的正、倒点阵 具有相同的点群对称性，因此可以简单的说简约区具有晶体点阵点 群的全部对称性。
i 1
（m为整数）。
练习
(1)证明: (2 )3
A B C）（A C）B A B）C （ （
（2）证明: sc的倒格子仍为sc，bcc和fcc互为倒格子。
证明：
sc：
| a1 || a2 || a3 | a
因为最小周期为l 1，m 1，n 1 所以， ( , , ) ( 1, , ) ( , , )e i 2 ( , 1, )e i 2
( , , )e i 2 ( ) ( , , 1)e i 2 ( ) ( , , )e i 2 ( ) K K e 其中，K b1 b2 b3


iK r (r )e dr
（b）证明： 设f (r )为正点阵的周期函数，证明当k不等于K时， ikr f (r )e dr 0
由题意知：f (r ) f (r N1a1 N 2 a2 N 3 a3 ) 其中，N1 , N 2 , N 3分别表示沿三个基矢方向上 的元胞个数。 令r a1 a2 a3 , 则 f ( , , ) f ( N1 , N 2 , N 3 ) F ( , , )e
i ( 2 2 2 ) N1 N2 N3
令k b1 b2 b3 , 则上式变成 N1 N2 N3 i ( kr ) ikr 1 f ( r ) k F ( k )e , 其中，F (k )＝ f (r )e dr 由k 的表达式可以看出k 既包括倒格矢K，也包括非倒 i ( kr ) i ( K r ) 格矢，因此, f (r ) K F ( K )e ＋k K F (k )e i ( K r ) 又因为, f (r ) K F ( K )e i ( kr ) 所以, k K F (k )e ＝0， ikr 1 即，k K时，F (k )＝ f (r )e dr＝0。

d 2 2 2 0




所以， d 2 2 2 2 0



即： d 2 d 2

2. 倒空间
（ ）倒格基矢： 1 a a b1 2 2 3 a1 a2 a3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3 a1 a2 b3 2 a1 a2 a3
晶体中的电子密度具有周期性： (r ) (r R) r 可以用晶格基矢表示：r a1 a2 a3 其中，，，，不是整数， 晶格矢量R也用晶格基矢表示：R la1 ma2 na3， 其中，l，m，n，是整数， 则 (r )变成： ( , , ) ( l , m, n)
固体理论
赵 刚 •预备课程：《固体物理》《量子力学》 •课时安排：周1 3、4节，周3 3、4节， 共72学时 •考核方式：平时成绩（30%） +最后考试（70%）
•授课教师：
参考书目
1. 《固体理论》李正中 高等教育出版社
2. 《固体理论导论》唐景昌 徐伦彪 浙江大学出版社
3. 《固体理论讲义》丁大同 南开大学出版社
1. 实空间
会根据晶格矢量表 达式推测晶格结构
基矢 : a1 ai ; a 2 aj ; a3 a k
基矢 : a a1 ( j k ); 2 a a2 ( k i ); 2 a a3 (i j ). 2
同理，可证fcc的倒格子为bcc。
2 b1 ( j k ); a 2 b2 (k i ); a 2 b3 (i j ). a
（5） 倒格矢的应用
（a）证明：晶体中的电子密度可以写成： (r ) K K e
iK r
对离子实体系（声子）的研究只考虑晶格周期性结构，不考虑电子体系 的影响；
对电子体系研究时从简单到复杂： （１）在自由电子气模型（不考虑电子和电子的相互作用，自由电子近 似）和凝胶模型（忽略晶格周期性和晶格振动的影响,只考虑电子和电子 的相互作用）下研究多电子体系（等离激元）； （２）只考虑晶格周期性势场对电子体系的影响（能带理论，但由于采 用单电子近似，使得上面所讲的电子和电子的相互作用中某些多体效应 被忽略）； （３）同时考虑晶格周期性和晶格振动的影响（电子－声子的相互作用， 极化子理论，超导ＢＣＳ理论）；
4. 《凝聚态物理学》冯端 金国钧 高等教育出版社
主要内容和大致框架
对固体性质的研究主要包括三个方面： （1）固体的电子结构-----电子在固体中的分布，以 及由电子结构导出的固体中原子与原子间的成键，由 固体的电子结构可求得处于基态的有关固体特性； （2）固体中的激发和输运过程，因为固体的宏观 性质不仅与基态有关，而且与低能量的激发态（元 激发）有关，特别是输运性质与元激发的关系更为 密切；
基矢 : a a1 (i j k ); 2 a a2 ( j k i ); 2 a a3 (k i j ). 2
（3）元胞：三个基矢构成的平行六面体，晶格中最小的重复单元， 简单晶格的每个元胞中平均只包含一个格点。体积：
（2）任意倒格矢量都可以用倒格基矢 的线性组合表示：K n n1b1 n2b2 n3b3
（3）倒点阵元胞：由三个倒格基矢组成的 平行六面体。倒格元胞的体积： b1 (b2 b3 )
（4）正格基矢与倒格基矢的关系：ai b j 2 ij； 3 正格矢与倒格矢的关系：K n Rl 2 ni li 2m
（４）激子理论（导带中的电子和价带中的空穴的相互作用）。
涉及到一二四五六八九十各章的内容。
第一章 晶格周期性结构
§1.1 实空间、倒空间和布里渊区
（ ）选择基矢：a1 , a2 , a3；（简单的原则） 1
（2）任意晶格矢量可以用基矢的线性组合表示： Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 (l1 , l2 , l3为整数)



d d

设f ( r ) ( r ) ( r )，则 df ( r ) d ( r ) ( ) 0

所以， d d

令 ，则 d d 2 ； 2 2 另外， d f ( r ) d ( r ) ( r )
•fcc晶格的布里渊区是截角八面体， •bcc晶格的布里渊区是菱十二面体。
§1.2 晶格对称性对固体性质的影响
原子的周期性排列使得晶体在几何外形上表现出明显的对称性， 这种对称性对研究晶体的宏观性质有重要的意义。 各向同性的物体中，物理性质量与空间方向无关， 可以用一个标量来表示。 例如，电导率，介电常数，极化系数， 它们与宏观物理量之间的关系为： 电流密度：j E 电位移：D E 电极化强度：P E
在晶体中，这些物理性质量是各向异性的，一般用 二阶张量来表示。
例如：晶体的电导率张量的一般形式为
xx xy xz yx yy yz zy zz zx j E , ( , x, y , z )
练习
练习：
(b)
（5）实空间中周期函数的格林定理
设 ( r )与 ( r )是正点阵的周期函数，则
d 2 d 2 ，其中，为元胞体积。 证明：设f ( r )是任意正点阵的周期函数，则下列积分应与r 无关， ) df ( r r )，这是由晶格的周期性决定的， I( r )对 r 的一、二阶导数必为零，即： 所以，I( r I( r ) df ( r r )，由于在f ( r r )中， r 和 r 是等价的， 所以，f ( r r ) f ( r r ) I( r ) df ( r r ) 0 所以， 2 I( r ) d2 f ( r r ) d 2 f ( r r ) 0 同理， 2 令 r 0，则： df ( r ) 0； d f ( r ) 0
（3）相变----固体状态的变化 由固体的外部条件所 决定，相变过程中固体的性质发生大的变化，且有 许多新的物理现象伴随着发生。 离子实体系 固体（晶体） 绝热近似 电子体系 绝热近似：在研究离子实的运动时，认为电子始终 处在相应离子实位置的基态上，而在研究电子的运 动时，认为离子实是不动的。这意味着电子和核子 的运动可以分开。
a1 (a2 a3 )
（4）维格纳-塞茨元胞：一个格点与近邻格点连线的中垂面所围成的 多面体。它比元胞更能反应晶格的对称性。 维格纳-塞茨元胞的画法：二维晶格，sc，fcc，bcc
sc的W-S元胞仍为sc；fcc的W-S元胞为菱十二面体； bcc的W-S元胞为截角八面体。
2 2 2 b1 i ，b2 j ，b3 k， a a a
1 1 1 a1 ai aj ak ； 2 2 2 1 1 1 bcc： a ai aj ak ； 2 2 2 2 1 1 1 a3 ai aj ak ； 2 2 2
iK r
iK r 1 其中， K (r )e dr 上式对任何具有晶格周期性的函数都成立， 例如晶格势场V (r )。
说明：由于在上式中，K的取值范围是所有的倒格矢量， iK r 因此上式也可以写成： (r ) K K e 1 其中， K