数列上下极限的不同定义方式及相关性质

目录

数列上下极限的不同定义方式及相关性质

摘要 (01)

一、数列的上极限、下极限的定义 (01)

1. 用“数列的聚点”来定义 (01)

2. 用“数列的确界”来定义 (02)

3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)

二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)

参考文献 (14)

英文摘要 (15)

数列上下极限的不同定义方式及相关性质

摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数

一、数列的上极限、下极限的定义

关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义

定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列

{}n x 的一个聚点.

例1 数列{(1)}1

n n

n -+有聚点1-与1； 数列{sin

}4

n π

有1,-和1五个聚点； 数列1

{}n 只有一个聚点0；

常数列{1,1,

,1,}只有一个聚点1.

定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作

lim n a →+∞

=大;lim n n a x →∞

=小.

例2 lim (1)11n

n n n →+∞-=+(),lim 111

n n n →∞-=-+

lim sin

14n n π→+∞=,limsin 14

n n π→∞=- 11

lim lim 0n n n n →+∞→∞==

2. 用“数列的确界”来定义

定义3 任给数列{}n x ，定义

lim lim sup{}n k n n k n

x x →+∞

→∞≥=;lim liminf{}n k n k n

n x x →∞≥→∞

= （1）

分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.

若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.

例3 lim ((1)1)n n n →+∞

-+=+∞,lim (1)n n n →+∞

-=-∞,lim(1)n n n →∞

-=-∞

3. 数列上、下极限定义的等价性

下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即

lim limsup{}n k n n k n

a x x →+∞

→∞≥==大；

lim liminf{}n k n k n

n a x x →∞≥→∞

==小.

证明：如果limsup{}k n k n

x →∞≥=+∞，由于sup{}k k n

x ≥关于n 单调递减，所以

sup{}k k n

x ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈

（自然数）1

..1n s t x >,又可取2,n ∈

2

21,..2,

,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}

()n k x k →+∞→+∞.这就证明

了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得

lim lim sup{}n k n n k n

a x x →+∞

→∞≥==+∞=大;

如果limsup{}k n k n

x →∞≥<+∞，则limsup{}k n k n

x →∞≥=-∞或实数.

设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈

,,i i n n i n ≥≥≥当时有

sup{}i n k k n

x x ≥≤，

lim sup{}i n k i k n

a x x →∞

≥=≤，

limsup{}k n k n

a x →∞≥≤,

所以，数列{}n x 的最大聚点满足

lim lim sup{}n k n n k n

x x →+∞

→∞≥≤.

另一方面， lim ,n n y x →+∞

∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.

因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有

sup{},k k n

x y ≥≤

由此可得

limsup{}k n k n

x y →∞≥≤.

令()lim n

n y x +

→+∞

→，推出

lim sup{}lim k n n n k n

x x →∞→+∞

≥≤.

综合上述，有

lim lim sup{}n k n n k n

a x x →+∞

→∞≥==.

类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得

lim liminf{}n k n k n

n a x x →∞≥→∞

==小.

如果

lim inf{}k n k n

x →-∞≥=-∞，由于inf{}k k n

x ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k n

x ≥=-∞，

对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-使得

22-

聚点，且为最小聚点小a .由此可得

lim lim inf{}n k n k n

n a x x →-∞≥→∞

==小;

如果lim inf{}k n k n

x →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k n

x →-∞≥=+∞或实数.

设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有

k n x ≥inf{}k k n

x ≥

lim inf{}i n k i k n

a x x →∞

≥=≥

lim inf{}k n k n

a x →+∞≥≥