上海名校数学周周爽：上海中学高一下学期数学周周练10

上海中学高一数学周练卷

一. 选择题

1. 下列四个命题中正确的是（ ）

A. 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=

B. 若0n a >，lim n n a A →∞

=，则0A > C. 若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞= D. 若lim()0n n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞

= 2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ）

A. 38

B. 20

C. 10

D. 9

3. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且

7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

4. 把数列{21}n +依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数⋅⋅⋅循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，

21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），⋅⋅⋅则第104个括号内各数之和为（ ）

A. 2036

B. 2048

C. 2060

D. 2072

5. 三个数a 、b 、c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是（ ）

A. [1,0)-

B. 1[1,0)(0,]3-

C. 1(0,]3

D. 1(,)3

+∞ 6. 在数列{}n a 中，12a =，11n n a a ++=（*n N ∈），设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 2017201620152S S S -+的值为（ ）

A. 3

B. 7

C. 11

D. 15

二. 填空题 1. 数列{}n a 中，2

2211100010012n n n a n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩

，则数列{}n a 的极限为 2. 设等差数列{}n a 满足：636S =，324n S =，6144n S -=（6n >），则项数n =

3. 已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则n a n

的最小值为 4. 求和：2222

123133557(21)(21)

n n S n n =+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯-+

5. 已知数列{}n a 中，135

a =，121n n n a a a +=+，则{}n a 的通项公式为 6. 设等比数列{}n a 的通项公式为12n n

a =

，前n 项和为n S ，则数列{}n nS 的前n 项和n T = 7. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且

51013S S =，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且 51012T T =，那么10102020

S T S T +的值为 8. 已知数列{}n a 满足11a =，log (1)n n a n =+（2n ≥，*n N ∈），定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为正整数的k （*k N ∈）叫做和谐数，则在区间[1,2017]内所有的和谐数的和为

9. 函数()f x 对任意x R ∈，都有1()(1)2

f x f x +-=，若数列{}n a 满足： 121(0)()()()(1)n n a f f f f f n n n

-=+++⋅⋅⋅++，则数列{}n a 的通项公式为 10. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，我们发现若450a a +=，则8n n S S -= （8n <，*n N ∈），现推广为：若存在正整数k ，使得10k k a a ++=，则 成立

11. 竖直上抛的物体经过秒n 后，上升至C 处，若经过m 秒（时间从抛出时计时）后下落时 又经过C 处，则经过m n +秒（时间从抛出时计时）物体又回到原地，类比这一物体现象， 抽象出一个等差数列的性质：

12. 对于数列{}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,n a ⋅⋅⋅，即正奇数k 有k 个，是否存在整数r 、s 、t ，使得对于任意正整数n

，均有n a r t =⋅+恒成立？如果存在，请举出一组满足题意的r 、s 、t ，若不存在，说明理由 （其中[]x 表示不超过x 的最大整数）

三. 解答题

1. 求下列递推数列通项公式：

（1）134n n a a +=+，且11a =；

（2）122n n a a n -=+-（2n ≥），且11a =；

2. 定义一种运算*，满足1k n k n λ-*=⋅（*

,n k N ∈，λ为非零实常数）；

（1）对任意给定的k ，设n a n k =*（1,2,n =⋅⋅⋅），试问{}n a 是否为等差数列？说明理由；

（2）对任意给定的n ，设k b n k =*（1,2,k =⋅⋅⋅），试问：{}n b 是否为等比数列？说明理由；

（3）设n c n n =*，试求数列{}n c 的前n 项的和n S ，并求当01λ<<时，lim n n S →∞；

3. 现在我们利用已知函数1()x a f x a x

+-=-（x a ≠）来构造一个数列，方法如下：对于你所选取的定义域D 中的初始值1x ，令21()x f x =，32()x f x =，⋅⋅⋅，1()n n x f x -=，⋅⋅⋅在上述构造过程中，如果i x （1,2,3,i =⋅⋅⋅）还在定义域D 中，那么构造数列的过程继续下去，如果i x （1,2,3,i =⋅⋅⋅）不在定义域中，那么构造数列的过程就停止；

（1）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a 的取值范围；

（2）是否存在一个实数a ，使得取定义域中任何一值作为1x ，都可用上述方法构造出一个无穷数列{}n x ？若存在，求出所有的a ，若不存在，请说明理由；