《流体力学》第二章 流体静力学2.7
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第七节
流体平衡微分方程
作用在六面体上的外力有质量力和表面力，列X轴 向平衡方程为： 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz Xdxdydz 0 2 x 2 x p p p 0 0 Z X 0 Y z y x 1 p X x 上式即流体 1 p 平衡微分方 Y 程（欧拉方 y 程），也可 1 p Z 写为： z
1 p X x 1 p Y y 1 p Z z
欧拉平衡方程指出流体处于平衡 状态时，作用于流体上的质量力 与压强递增率之间的关系。
平衡流体受哪个方向的质量分力， 则流体静压强沿该方向必然发生 变化；反之，如果哪个方向没有 质量分力，则流体静压强在该方 向上必然保持不变。
将
p X 0 x p Y 0 y
分别乘以dx, dy, dz相加，得
p Z 0 z
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz )
dp ( Xdx Ydy Zdz )
如果流体是不可压缩的，则上式右边括号 内的数值必然是某一函数的全微分
dW Xdx Ydy Zdz
W W W dW dx dy dz x y z
W W W X, Y, Z x y z
满足 dp ( Xdx Ydy Zdz ) 的函数W（x,y,z)称为势函数 具有这样势函数的质量力称为有势的力
函数 W ( x, y, z ) 称为势函数。 具有势函数的力称为有势的力。 液体只有在有势的质量力的作用下才能平衡。
X 0
重力各轴向分力为： Y 0
Z g
dp ( Xdx Ydy Zdz ) gdz dz
积分上式得：
即：
p Z C
C
Z
p
等压面及其特性
dp dW 0
W C Xdx Ydy Zdz 0
等压面即等势面
等压面和质量力正交 （这是等压面的重要性质）
例题：如图微压计由U型管连接的两个相同圆杯所组成， 两杯中分别装入互不混合而又密度相近的两种工作液体 （酒精水溶液密度ρ1=870kg/m3,煤油ρ2=830kg/m3），当 气体压强差Δp=p1- p2=0时，两种液体的初始交界面在标 尺O处，已知U型管直径d=5mm,杯直径d=50mm,试确定使交
界面升至h=280mm时的压强差Δp. 解：设初始液面距离为h1和h2,当交界面上升h时，液面上 升或下降均为Δh
1h1 2h2
h
4
D h
2
4
d
2
d 2 h ( ) h D
以变动后交界面为基准，列平衡方程：
p1 1(h1 h h) p2 2 (h2 h h)
d 2 p p1 p2 h[( 1 2 ) ( 1 2 )( ) ] D
156Pa 16mmH2O
例题：油箱液面指示器的功用是：在较短尺寸的液面指示管上成比 例地示出油箱中液面的升降情况。图示三液交叉式U型管中，装有 汽油1，水银3和水2，汽油装满时，U型管中的水银面为1-1，液面 指示管中的水位在刻度1处，当油箱液面下降h1时，指示管中液面 下降h2,求h2和h1的比例关系式。
解：当油箱装满时： 1H1 2 H 2
当汽油面下降时，以左支管 交界面为基准，列平衡方程
1 ( H1 h1 h2 ) 3 2h2 2 H 2
1 ( H1 h1 h2 ) 2 3h2 1H1
H1
H2
1h1 h2 kh1 2 3 1
流体平衡微分方程
作用在六面体上的外力有质量力和表面力，列X轴 向平衡方程为： 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz Xdxdydz 0 2 x 2 x p p p 0 0 Z X 0 Y z y x 1 p X x 上式即流体 1 p 平衡微分方 Y 程（欧拉方 y 程），也可 1 p Z 写为： z
1 p X x 1 p Y y 1 p Z z
欧拉平衡方程指出流体处于平衡 状态时，作用于流体上的质量力 与压强递增率之间的关系。
平衡流体受哪个方向的质量分力， 则流体静压强沿该方向必然发生 变化；反之，如果哪个方向没有 质量分力，则流体静压强在该方 向上必然保持不变。
将
p X 0 x p Y 0 y
分别乘以dx, dy, dz相加，得
p Z 0 z
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz )
dp ( Xdx Ydy Zdz )
如果流体是不可压缩的，则上式右边括号 内的数值必然是某一函数的全微分
dW Xdx Ydy Zdz
W W W dW dx dy dz x y z
W W W X, Y, Z x y z
满足 dp ( Xdx Ydy Zdz ) 的函数W（x,y,z)称为势函数 具有这样势函数的质量力称为有势的力
函数 W ( x, y, z ) 称为势函数。 具有势函数的力称为有势的力。 液体只有在有势的质量力的作用下才能平衡。
X 0
重力各轴向分力为： Y 0
Z g
dp ( Xdx Ydy Zdz ) gdz dz
积分上式得：
即：
p Z C
C
Z
p
等压面及其特性
dp dW 0
W C Xdx Ydy Zdz 0
等压面即等势面
等压面和质量力正交 （这是等压面的重要性质）
例题：如图微压计由U型管连接的两个相同圆杯所组成， 两杯中分别装入互不混合而又密度相近的两种工作液体 （酒精水溶液密度ρ1=870kg/m3,煤油ρ2=830kg/m3），当 气体压强差Δp=p1- p2=0时，两种液体的初始交界面在标 尺O处，已知U型管直径d=5mm,杯直径d=50mm,试确定使交
界面升至h=280mm时的压强差Δp. 解：设初始液面距离为h1和h2,当交界面上升h时，液面上 升或下降均为Δh
1h1 2h2
h
4
D h
2
4
d
2
d 2 h ( ) h D
以变动后交界面为基准，列平衡方程：
p1 1(h1 h h) p2 2 (h2 h h)
d 2 p p1 p2 h[( 1 2 ) ( 1 2 )( ) ] D
156Pa 16mmH2O
例题：油箱液面指示器的功用是：在较短尺寸的液面指示管上成比 例地示出油箱中液面的升降情况。图示三液交叉式U型管中，装有 汽油1，水银3和水2，汽油装满时，U型管中的水银面为1-1，液面 指示管中的水位在刻度1处，当油箱液面下降h1时，指示管中液面 下降h2,求h2和h1的比例关系式。
解：当油箱装满时： 1H1 2 H 2
当汽油面下降时，以左支管 交界面为基准，列平衡方程
1 ( H1 h1 h2 ) 3 2h2 2 H 2
1 ( H1 h1 h2 ) 2 3h2 1H1
H1
H2
1h1 h2 kh1 2 3 1