12-1函数的傅里叶级数展开

o
1

t
不同频率正弦波逐个叠加
1 1 1 sin t , sin 3t , sin 5t , sin 7t , 4 4 3 4 5 4 7
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f ( t ) A0 An sin( nt n )
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2
称为欧拉公式.
也称为欧拉公式.
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欧拉公式揭示了三角函数和复变量指数函数之
间的一种关系.
由函数的傅立叶级数
a0 f ( x) (an cos n x bn sin n x) 2 n1
其中傅里叶系数公式
2 T /2 an T / 2 f ( x ) cos nxdx, ( n 0,1,2,) T b 2 T / 2 f ( x ) sin nxdx, ( n 1,2,) n T T / 2
f ( x 0) f ( x 0) 收敛于 ; 2
注:
函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
1.把周期函数展为Fourier级数步骤: (1)找出f(x)的间断点,求出收敛于? (2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 (3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数 f ( x ) x为 傅立叶级数.
例 2 以 2 为周期的矩形脉冲的波形
0t Em , u( t ) Em , t 0
将其展开为傅立叶级数.
1 an u( t ) cos ntdt 0 1 bn u( t ) sin ntdt
0 2 x 0 , 将其展成傅氏级数. f ( x) k 0 x 2
并求其傅氏级数的和函数.
五、傅里叶级数的复数形式 欧拉 (Euler) 公式
e cos x i sin x ,
ix
e ix cos x i sin x ,
e ix e ix cos x 2 则 ix ix e e sin x 2i
n 1

3、以T为周期的函数傅里叶级数
设f(x) 周期为T,在(-T/2,T/2)可积和绝对可积,
T T 则 ( ) f ( ) f ( x )为周期2的周期函数， 令x ， 2 2
a0 设f ( x ) ~ (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
和函数图象为
u
m
u
E
m
E

o
Em

t

o
Em

t
例 3 在[0,2 ]上展开函数 f ( x ) x为 傅立叶级数.
解：
bn
1


2
0
2 x sin nxdx n
a0

1
2
0
xdx 2 ,
an

1
2
0
x cos xdx 0
1 1 f ( x ) ~ 2[sin x sin 2 x sin kx ] 2 k x 1 x , 0 x 2 sin kx 2 k 1 k , x 0, 2
4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
4 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7 ( t , t 0)
当n 2,4,6, 当n 1,3,5,
4 1 1 x 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x ] 2 3 5
(0 x )
例5
应当如何把区间(0, )内的可积函数 2 延拓后，使它展开成的傅里叶级数的形如 f ( x ) an cos( n 1) x ( x )
n 1

a0 f ( x ) sin nxdx sin nxdx 2

1 bn f ( x ) sin nxdx
( n 1,2,3,)
傅里叶系数
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,) n 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx, ( n 0,1,2,) 或 2 1 b f ( x ) sin nxdx, ( n 1,2,) n 0

cos nxdx 0,
sin nxdx 0,

0, m n , sin mx sin nxdx , m n

0, m n , cos mx cos nxdx , m n

sin mx cos nxdx 0.
f ( x x ) f ( x 0 ) f ( x x ) f ( x 0 ) lim , lim 都存在 x 0 x 0 x x
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) ;
(2) 当x 是 f ( x ) 的间断点时,
傅里叶级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1
四.傅里叶级数的收敛判别法
设 f ( x ) 在[ , ]上可积和绝对可积， 若 f(x)在 x 点的 左右极限都存在，并且两个广义单侧导数：

该函数傅里叶级数图形？
0 x 2
作业：P126 2; 3; 5; 6;
正弦级数和余弦级数
例 4 将函数 f ( x ) x 1 ( 0 x ) 分别展开成 正弦级数和余弦级数.
(1)求正弦级数. 对f ( x )进行奇延拓 , 2 2 当n 1,3,5, n 2 bn 0 f ( x ) sin nxdx 2 当n 2,4,6, n
an cos2 nxdx an,

1 a n f ( x ) cos nxdx
( n 1,2,3,)
(3) 求bn .


[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ] bn ,
物理学中最简单的波__谐波
A sin( t )
A __ 振幅, __ 角频率, __ 初相位.
在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角 波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.
非正弦周期函数:矩形波
u
1
1, 当 t 0 u( t ) 当0 t 1,
2 T /2 其中 an f ( x )cos n xdx , T / 2 T 2 T /2 bn f ( x )sin n xdx . T T / 2
2 角频率，an cos nx bn sin nx n阶谐波 T
例 6 设 f ( x ) 在[ 2,2)上的表达式为
第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换
•第一节函数的傅里叶级数展开
一、傅里叶级数的引进
前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒 建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重 要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能 作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传 导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其 要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可 积，并且它可以整体逼近函数。 在声学、光学、热力学中有非常重要的作用 在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用
a0 2 , 2
a0
( 2) 求an .
f ( x )dx

1

a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2

[a cos kx cos nxdx b sin kx cos nxdx ]
n1

k
k

(其中m, n 1,2,)
三、傅里叶级数系数
1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx ), 2 k 1 且右端级数一致收敛于f(x )
(1) 求a0 .

a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
也称为傅里叶级数的复振幅.
2 2 n阶谐波的振幅在实数形式中为：An an bn = | cn |
T 2 T 2
n 1

n1
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n1
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在长 度为2（通常取为 [ , ] 或[0,2 ])上的积分等于零 .
一般地，
若有 f ( x ) A0 An sin( n x n )
n 1

A0 (an cos n x bn sin n x )
n 1

称右端级数为f ( x )所确定的傅里叶( Fourier )级数
问题：
(1)什么条件下可以把一个周期函数展开为傅里叶级数？ (2)如何展开？
将欧拉公式代入得
1 int f ( x) cn e , 2 n
就是f(x)的傅里叶级数复数形式. 其中

cn an ibn , c n an ibn
互 为共轭复数.
傅里叶级数复数形式的系数
2 int cn f (t )e dt , (n 0, 1, 2,) T
( n 0,1,2,)
4 Em , n 2k 1, k 1,2, ( 2k 1) 0, n 2k , k 1,2,
所求函数的傅氏展开式为
4 Em u( t ) sin( 2n 1)t n1 ( 2n 1)

( t ; t 0, , 2,)
解
2 1 x 1 [( 2) sin x sin 2 x ( 2) sin 3 x ] 2 3 (0 x )
, (2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓
2 a0 ( x 1)dx 2, 0
0 2 an 0 ( x 1) cos nxdx 4 2 n