k5用函数的观点看数列 ( 刘若菡)

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用函数的观点看数列

温州七中刘若菡

设计立意及思路：

数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

高考考点回顾

1．与二次函数有关的等差数列的问题

（2004年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn成立的最大自然数n 是( )

(A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008

（1992年全国高考试题）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a3=12，S12>0,S13<0。

（1）求公差d的取值范围

(2)指出S1，S2,...,S n中哪一个值最大，并说明理由。

（2002年上海春季高考题）

设｛a n｝(n∈N)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7< S8,则下列结论错误的是( )

(A)d<0 (B) a 7=0 (C) S 9>S 5 (D) S 6与S 7均为S n 的最大值

2．与函数的单调性有关的数列问题

（2002年上海卷）

已知函数f(x)=a ·b x 的图象过点A （4，

4

1）和B （5，1） （1） 求函数f(x)的解析式；

（2） 记a n =log 2f(n),n 是正整数，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，解关于n

的不等式a n S n ≤0；

（3） （文）对于（2）中的a n 与S n ，整数96是否为数列｛a n S n ｝中的项？若

是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。

（理）对于（2）中的a n 与S n ，整数104是否为数列｛a n S n ｝中的项？

若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。

3.用函数观点解数列应用题

基础知识梳理：

1. 关于等差数列{a n }

(1) 通项公式a n =a 1+(n-1)d,可以写成 a n =dn+(a 1-d)。

它是n 的一次函数，以（n,a n ）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。 公差d=1

1--n a a n 是相应直线的斜率。当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，{a n }为常数数列。

（2）求和公式Sn=na 1+

2

)1(-n n d,可以写成 Sn=2d n 2+(a 1-2d )n 。 它是n 的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。

从函数的角度理解，Sn=na 1+2)1(-n n d 变形为Sn=2d n 2+(a 1-2

d )n 。 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式，且常数项为零。此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn 的增减变化及最值等问题。

当d=0时，{an}是常数列，S n =na 1,此时，若a 1≠0,则S n 是关于n 的一次

式；若a 1=0,则S n =0。

2. 关于等比数列{an}

通项公式a n =a 1q n-1,可以写成

a n =q

a 1·q n (n ∈N*)。 当q>0且q ≠1时，y=q x (x ∈R)是指数函数，而y=

q a 1·q x (x ∈R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此a n =q

a 1·q n (n ∈N*)的图象是函数y=q

a 1·q x (x R)的图象上的一群孤立点。 很明显，若

q a 1>0,当q>1时，数列递增；当0

例1 在等差数列{a n }中，若a 1<0, 且 S 5=S 13, 试问这数列的前几项之和最小？

思路导引：先让学生猜想等差数列{a n }的单调性，学生能预测{a n }是首项为负数的递增数列。因此，要找到这个数列中小于零的所有项中的最后一项。而a n =a 1+(n-1)d ，a n 的值与a 1、d 有关，所以先由已知条件S 5=S 13求出a 1与d 的关系

解法一 设公差为 d ，由 S 5=S 13, 有 5a+d 245⨯=13a1+d 2

1213⨯

由此得 a 1=-d 2

17 ，而a 1<0, 故d>0,即{a n }是首项为负数的递增数列。因此，当a n ≤0且a n+1>0时， S n 有最小值，即需

-d 2

17+(n-1)d ≤0, -d 217+nd>0, 解得2

17

思路导引：因为s n 是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次函数求最值的方法来求s n 的最小值

解法二 由解法一已得a 1=-

d 2

17,且d>0,所以 Sn=na 1+2)1(-n n d=-n d 217+22n d -2d n=2

d n 2-9dn =2d (n 2-18n) =2d (n-9)2-281d . 由此可知，当n=9时，S n 最小。

思路导引：既然s n 是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，已知条件中S 5=S 13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn=2d n 2+(a 1-2

d )n 中，当n=5与n=13时，对应的函数值相等。（教师在画出的抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的对称轴位置 解法三 已知S 5=S 13，而Sn 是n 的二次函数（二次项系数

2d >0）,由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n=

2

135+=9。 所以，当n=9时，S n 最小。

小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。

变式：

（1） 在等差数列{a n }中，a 1>0，S 3=S 11，则S n 中最大的是（ ）

(A)S 6 (B)S 7 (C)S 8 (D)S 9

（２）（2003年黄岗中学）在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为