变形监测网的基准点的稳定性分析

摘要
变形监测是一种监测变形体安全性的重要手段,因此确定变形体的稳定性就尤为重要。

对高层建筑物实施变形监测，首要的问题就是要保证基准网的稳定，在变形监测点位稳定性分析中，限差检验法、平均间隙法等都是常用的变形监测方法，在一些垂直位移监测网或者是水平位移监测网的稳定性分析时，通过选取最佳的监测方法可以有效的减小监测误差，提高监测的精度。

本文首先介绍了变形监测的相关基础知识，并重点介绍了变形监测的相关理论与变形监测基准点的稳定性分析方法，并结合实例使用限差分析法进行了变形监测点的分析。

关键词：变形监测网；基准点；稳定性；分析
目录
引言 (1)
1. 变形监测的概述 (2)
1.1变形监测的对象 (2)
1.2变形监测的内容 (2)
1.3变形监测的目的 (3)
1.4变形监测的意义 (3)
2. 变形监测网稳定性分析及方法 (4)
2.1变形监测网的分类和概述 (4)
2.1.1绝对网的基本概念 (4)
2.1.2相对网的基本概念 (5)
2.2监测网的参考系 (5)
2.2.1参考系的方程 (5)
2.2.2秩亏自由网平差与拟稳平差参考系的特点 (7)
2.2.3参考系的选择对位移计算的影响 (8)
2.3 变形监测网稳定性分析方法 (9)
2.3.1 限差检验法 (9)
2.3.2 限差检验法步骤 (9)
3 实例分析 (11)
3.1基准点稳定性分析的必要性 (11)
3.2问题的提出 (11)
3.3 数据分析与处理 (11)
4. 结论 (14)
参考文献 (16)
引言
变形是自然界普遍存在的现象。

各种荷载作用于变形体，使其形状，大小及位置在时间域或空间域发生变化均为变形。

变形监测则是对设置在变形体上的观测点进行周期性的重复观测，求得观测点各周期相对于首期的点位或高程的变化量。

所以变形监测是一种监测变形体安全性的重要手段。

它是通过实时获取变形体的动态位移信息，根据这些信息预警变形体安危状况。

变形监测具有实时性，事前性，可靠性三个基本属性。

变形监测最终的结果就是监视变形体的安全，研究其变形的过程,提供和积累可靠有用的资料。

在变形监测网的观测工作中,无论垂直位移观测还是水平位移观测，都是力求使基准点保持稳定不动,即使不能全部不动,也至少应有一组是稳定不动的，以作为改正变形点的依据。

但在测量实践中，基准点的选定是一个难点，首先基准点距离测量仪器或变形点不能太远,否则影响测量精度。

同时，基准点距离测量仪器或变形点不能太近，否则其稳定性难以保证。

基准网的稳定性是一个相对的概念，因为受到周围环境的影响，基准点有时也会产生位移。

同时，在多期观测中，由于变形监测时间长，稳定点很容易被破坏。

例如：大坝变形网中监测垂直位移和水平位移的基准点，由于大坝及测网的复杂性，使其受周期性水位的影响，随坝体的移动而产生变形；埋在地表土层地区的水准基准点，也可能因为气温冷热不均，土层热胀冷缩影响而产生周期性升降和位移。

所以变形监测网的网型也会随之发生变化。

本文提出用平均间隙法来判断点的稳定性，确定变形模型。

因此，对基准点的稳定性分析，是变形观测数据处理时不可忽视的重要内容。

1. 变形监测的概述
变形监测就是利用专用的仪器和方法对变形体的变形现象进行持续观测、对变形体变形性态进行分析和变形体变形的发展态势进行预测等的各项工作。

确切的说也就是确定在各种荷载和外力作用下，变形体的形状、大小、及位置变化的空间状态和时间特征。

1.1变形监测的对象
根据变形体的研究范围，可以将变形监测的研究对象划分为以下三种。

（1）全球性变形研究：如监测全球扳块的运动，地极的运动，地球自转速率的变化，地潮等。

（2）区域性变形研究：如监测地壳形变，城市地面沉降等。

（3）工程和局部变形研究：如监测工程建筑物的三维变形，滑坡体的滑动，地下开采所引起的地表移动和下沉等。

1.2变形监测的内容
变形监测的主要内容应包括沉降监测，位移监测，倾斜监测，裂缝监测和挠度监测等。

变形监测的内容应根据变形体的性质和地基情况决定。

要求有明确的针对性，既要有重点，又要全面的考虑，例如，对水利工程建筑物主要观测水平位移、垂直位移、渗透及裂缝观测，这些内容称为外部观测。

为了了解建筑物（如大坝）内部结构的情况，还应对混凝土应力、钢筋应力、温度等进行观测，这些内容常称为内部观测，在进行变形监测数据处理时，特别是对变形原因做物理解释时，必须将内、外观测资料结合起来进行分析。

具体实施内容则由建筑物的性质和要求，周围条件以及仪器方面决定。

比如有以下的分类：
（1）工业与民用建筑:工业与民工建筑主要包括基础的沉降与建筑物本身的变形监测。

就基础而言，主要是建筑物的均匀沉陷和不均匀沉陷。

对于建筑物本身来说主要是观测倾斜和裂缝。

（2）水工建筑物:对于土坝，其观测的内容主要是水平位移，垂直位移，渗透及裂缝；对于混凝土坝，由于水压力，外界温度的变化，坝体自重等因素的影响，其主要观测的项目是垂直位移（从而可以求得基础与坝体的转动），水平位移（可以求得坝体的扭曲）及伸缩与裂缝，这些叫做外部变形监测。

（3）地面沉降:对于建设在江河下游冲积上的城市，由于工业用水是大量的开采地下水，从而影响地下土层的结构，导致地面发生沉降。

变形监测理论与方法包括三方面的内容：变形信息的获取，变形信息的分析与理解及变形的预报。

其研究的成果对预防自然灾害及理解变形机理是很重要的。

1.3变形监测的目的
变形监测的首要目的是要掌握水工建筑物的实际性状，科学、准确、及时的分析和预报水利工程建筑物的变形状况，对水利工程建筑物的施工和运营管理极为重要。

因此，变形监测的目的可以慨括如下：
（1）变形监测是工程管理运行的安全手段。

（2）通过在施工及运营期对变形体进行观测，分析，研究可以验证基地和基础的计算方法，工程结构的设计方法，可以对不同基地与工程结构规定合理的允许沉陷与变形数值，为工程建筑物的设计，施工，维护管理和科学研究工作提供相关的资料，为建筑结构提供分析数据。

（3）变形监测是人们通过变形现象获得科学知识，检验理论和假设的必要手段。

1.4变形监测的意义
工程建筑物在施工和运营期间，由于受到主观和客观因素的影响，会产生变形，如果变形超过了允许的限度，就会影响建筑物的正常能够使用，严重时会危机建筑物的安全，给社会和人民带来巨大的损失。

总的来说，变形监测的意义主要表现在以下两个方面：
（1）实用方面的意义，重点是掌握各种工程建筑物的地质结构的稳定性，为安全诊断提供必要的信息，以便发现问题并采取措施解决问题。

（2）科学方面的意义，能够更好的理解变形的机理，验证有关设计的理论和地壳运动的假说，进行反馈设计和建立有效的预报模型。

2. 变形监测网稳定性分析及方法
2.1变形监测网的分类和概述
变形监测的方法有很多种，根据使用性质的不同可以选择不同的方法。

如进行大地测量与摄影测量时，需建立平面与高程的控制网，结合观测对象与其周围所设置的系列观测点，通过重复测量控制网与观测点，可以有效获取相关的监测数据，通过各种数学分析方法进行观测点的研究与处理，挖掘其监测数据中的规律，确定所监测变形的大小。

这种用作监测使用的控制网称之为变形控制网，简称为变形网。

变形网又可以分为绝对网与相对网。

2.1.1绝对网的基本概念
绝对网是指进行监测时，部分监测点位于变形体外监测网。

绝对网的监测过程中，一些变形体外的监测点的主要作用在于为监测点之间的相对位置提供一个参考系，也称之为基准点或者参考点。

若变形体的相对变形范围较小，可以将监测点布置成为一种绝对网的形状，下图1为某大坝的变形监测绝对网。

图2.2.1某大坝变形观测的绝对网
绝对网中，由于其参考点布设于离变形体较远的稳定地层或者是基岩之上，由此可以有效保障监测点在变形体的移动位移为绝对位移。

然而当参考点由于一些因素而发生了移动，如地层的不稳定导致参考点发生移动；或者是一些认为因素等等。

为了有效防止这一情况的发生，进行参考点的选定时，通常会选择多个参考点，这样可以有效剔除一些发生变动的参考点，有效的保证检测数据的准确性，使得最终的计算结果所带来的偏差更小。

如果个别参考点发生了较大的位移，那么这种参考点应该很容易发现，可以从复测资料的平差结果或复测观测值的比较途径达到目的。

但是当参考点的位移很小的时候，并且是在非人为因素的影响下，例如，地下水位的升降，温度的变
化，对变形影响范围的估计不足，以及其他的变形因素的影响等。

2.1.2相对网的基本概念
相对网是指网的全部点位于变形体上的监测网。

当变形区域很大或是变形的范围难于确定的时候，监测网只有采用相对网的形式，例如，地壳变形监测网就是这种形式。

选择不同的参考系就会得到不同的相对位移。

为了使所计算的相对网的位移矢量与绝对位移矢量相接近，就要使相对网的参考系按照相对稳定点来定义。

也就是说，对于相对网来说也存在一个寻找相对稳定点，并合理定义网的参考系的相关问题。

所以说，对监测网进行稳定性分析，根据稳定性分析的结果来选择平差的方法，确立一个对变形分析很有利的参考系，是变形监测数据处理很重要的环节。

2.2监测网的参考系
在监测网平差中，待估的未知参数往往不是被观测量，也不是其他不变量（或称可估量）。

如果没有一定的起算数据，也就不能直接由观测值求得未知参数的平差值。

这种起算数据就叫平差问题的基准。

基准给出了控制网的位置，尺度和方位的定义，实际上也就给出了控制网的参考系。

所以我们往往把基准和参考系作为同一概念。

监测网中平差基准的定义和一般的平差基准的定义有所不同，一般性的平差基准定义式为了使得一些待估参数的求取得以满足要求。

监测网中的平差定义则是要通过多次复测使得观测值的绝对位移处于一种绝对的状态。

因此对于绝对网而言，使用经典的平差基准进行计算，可以有效保证计算结果的准确性。

监测网也可以采用秩亏自由网平差或是拟稳平差法。

因此，我们有三种可以选的基准：经典平差基准，秩亏自由网平差基准，拟稳平差基准（本质也是一种秩亏自由网平差基准）。

认识平差基准对位移计算结果的影响，并合理的确定基准，是变形监测数据处理的一个基本的问题。

2.2.1参考系的方程
平差问题的基准或参考系的定义可以由参考系方程表达：G T X = 0 （2-1）
式中：G——参考系方程系数矩阵；
X ——网的坐标向量。

三类参考系方程系数矩阵的形式如下： （1）经典平差参考系方程系数矩阵 水准网： T G )0...001(= （2-2）
（假设第一个点是基准点） 测边网或边角网：
T
m m
x y x y x y G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000202
01
1
...01...001000 (000)
1 （2-3）
在此假设第一个点是已知点，从第一个点到第二个点的方向是已知方向。

（2）秩亏自由网平差参考系方程的系数矩阵 水准网：
()T
G 1...111= （2-4）
测边网或边角网：
T
m m
x y x y x y G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000202
01
1
...01...001000 (000)
1
（2-5） （3）拟稳平差参考系方程的系数矩阵 水准网：
()T
G 0...001...11= （2-6）
这里假设前k 个水准点是拟稳点。

测边网或边角网：
T
k k
x y x y x y G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=00...00...00...00...01001000...00 (00000)
1
002
02
01
1
（2-7） 这里假设前k 个点是拟稳点。

2.2.2秩亏自由网平差与拟稳平差参考系的特点
设平差的误差方程为：V=AX-L 。

相应的法方程系数矩阵为N = A T PA 。

无论是秩亏自由网平差还是拟稳平差，坐标向量x 的解可以表达为：
()
PL A GG N X T T
1
-+= （2-8）
它同时满足法方程和参考系方程。

以水准网为例来讨论以上两中平差方法所定义的参考系的特点。

秩亏 自由网平差的结果满足：
...)1...11(121==⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑=m i i m T
x x x x X G （2-9）
令011
==∑=-
m
i i x m x ，-x 为水准网的高程重心。

0=-x 说明水准网的自由网参考系
是网的高程重心。

以测边网或边角网为例，秩亏自由网平差的坐标向量X 满足：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∑∑∑===000)( (01)
...
001000 (0001)
10
01
1
1100
2
2
1
1
m i i i i i m
i i m
i i m m T
m m
T x y y x y x y x y x x y x y x y X G （2-10） 在此，我们把参考系方程进一步引申。

由：
0;01
1
==∑∑==m
i i m
i i
y x
（2-11）
可以得出： 01;011
1====∑∑=-=-
m
i i m i i y m y x m x （2-12）
-x 、-
y 是网的重心改正数，说明秩亏自由网平差是以网的重心坐标作为坐标起算数据。

也就是先给定的网点坐标（近似值）的平均值与平差后网点坐标的平均值相等。

边角网平差还需要方向起算数据，在经典平差中假定一条边的方位角作为起始方位，在边角网的秩亏自由网平差中，起始方位（或叫方向基准）是由参考系方程组的第三个方程决定的。

令： i
i
i i i i r x y y x da 000-= （2-13）
式中i ——第i 点到坐标原点的距离，2
020i i i y r r +=；
（2-14） i da ——原点到点i 的方位角改正数。

()
0)(21
21
==-∑∑==i m
i i m
i i i i i
da r x y y x
（2-15）
式中说明原点到各网点方位角改正数的加权（以距离的平方为权）平均值为零。

也就是说，边角网秩亏自由网平差的方位基准是坐标原点到各个点的方位角的加权平均值。

秩亏自由网平差的参考系是由控制网中的所有的点定义的。

如果以网中的部分点来定义网的参考系，所得到的是拟稳平差参考系。

参与参考系定义的点为拟稳点。

类似于秩亏自由网平差的参考系，拟稳平差参考系的坐标基准是拟稳点的重心坐标，起始方位是原点到各拟稳点方位角的平均值。

2.2.3参考系的选择对位移计算的影响
监测网的位移向量是通过平差两期观测得到的坐标向量之差求得。

参考系的选择将影响各期的坐标向量的屏查结果，因此影响到位移计算的结果。

不同的参考系方程将给出网点不同的位移值。

经典平差所求的网点位移值是相对于假定的固定点的变化量。

由自由网平差计算所得的网点位移是相对于网的重心的变化值。

由拟稳平差所求的网点变形则是相对于拟 稳点的重心而言的。

当然了，我们事先是无法知道监测网网点的实际变形，因而选用某种平差方
法计算网点的位移，实质上是选用某种变形模型去模拟实际变形。

比如：经典平差是用监测网某些点是稳定不变的变形模型来计算网点的位移；当采用自由网平差时，则是把网点重心看成稳定不变的数学模型来模拟实际变形；同样，对于稳定平差，采用了拟稳点重心不变的数学模型去模拟实际变形。

当所选用的数学模型于实际变形不相符时，将使所计算的位移值伴有误差，我们就叫它为参考系模型误差，简称模型误差。

在变形分析中，选择哪中平差方法最好，关键在于了解平差方法中所定义的参考系是否与实际变形情况相符合。

当网中有固定点时，采用这种固定点做基准，应用经典平差，可以得到很好的结果。

当网中某些点具有相对的稳定性，它们相互变动是随机的情况下，则用这些点做拟稳点，用拟稳平差对成果进行分析能得到满意的结果。

当监测网所有网点具有微小的变动时，自由网平差的一种有效的分析方法。

因此，要合理的确定监测网的参考系，首先要确定监测网中哪些点是稳定的哪些是相对稳定的，或哪些是不稳定的点。

2.3 变形监测网稳定性分析方法 2.3.1 限差检验法
限差检验法主要是利用两期观测多组起始数据所得的两期坐标差或多期观测每两期所得的坐标差计算其均值或均方差，如果点位没有移动，它就应小于极限误差（即中误差的t 倍）。

数学表达为：
X tu ∆≤ （2-16）
2.3.2 限差检验法步骤
（1）起始数据分组分别进行平差
平面控制网有u 个点，进行两期观测，对两期观测分别作经典平差，可供选择的起始数据有m 组，根据第i 组起始数据平差得网中第j 点的1、2期坐标为:
(1)
(1)
,ij ij X Y 、
(2)
(2)
,ij ij X Y
（2）计算坐标差矩阵
(1)(1)(2)
(2)
ij ij ij ij X Y X Y 、；、
则两期坐标差(2)(1)
(2)(1)
ij ij ij ij ij ij X X X Y Y Y ∆=-∆=-　
其中，1,2,
,1,2,
,i m j u ==
把
ij ij
X Y ∆∆、进行排列，形成两个坐标矩阵X Y ∆∆、
11
12111
12
121
222212221
2
1
2
u u u u m m mu m m mu X X X Y Y Y X X X Y
Y Y X Y X X X Y Y Y ∆∆∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪∆∆∆∆∆∆
⎪ ⎪
∆=∆= ⎪ ⎪
⎪ ⎪∆∆∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭
（2-17）
矩阵X Y ∆∆、的各个元素将包含起始数据误差、观测数据误差以及两期点之间的位移误差，为了有效减小这些误差对于最终结果的影响。

（3）计算平均坐标差X ∆及其协因素X
Q ∆
将X Y ∆∆、按下列取均值
1111m m
ij ij i i X X Y Y m h m h ==∆=∆∆=∆--∑∑ （2-18）
其中，式中的h 表示j 点的起始点次数。

则可以求得两期坐标的权矩阵
(1)(2)
i
i
X X
Q Q 、
那么有：(1)(2)
i i i X X X
Q Q Q ∆=+ （2-19）
当两期的网形相同，则有
2i i
X X Q Q ∆= （2-20）
式中i 表示的是第i 组起始数据。

（4）计算坐标差X ∆中的误差
设用q 表示权逆矩阵Q x 中的元素，且将X 坐标与Y 坐标进行分离，得出
j j
X Y ∆∆、的权倒数，数学表达式如下。

2
2
1
1
2
2()()j
ij
j
ij
m
m
X X Y Y i i Q q
Q q
m h m h ∆∆===
=
--∑∑　
式中，ij ij
X Y q q 、分别表示第i 组起算数据平差以及第j 点X 、Y 的权倒数。

那么
j j
X Y ∆∆、的中误差可以表示如下。

j j X Y M M μμ∆∆==如此可以得出误差的检验式：
23
j j X t Y t t μμ∆≤∆≤ 取或
3 实例分析
3.1基准点稳定性分析的必要性
在变形监测网的观测工作中,无论垂直位移观测还是水平位移观测，都是力求使基准点保持稳定不动,即使不能全部不动,也至少应有一组是稳定不动的， 以作为改正变形点的依据。

基准网的稳定性是一个相对的概念，因为受到周围环境的影响，基准点有时也会产生位移。

因此， 对基准点的稳定性分析，是变形观测数据处理时不可忽视的重要内容。

3.2问题的提出
在多期观测中，由于变形监测时间长，稳定点很容易被破坏。

例如：大坝变形网中监测垂直位移和水平位移的基准点，由于大坝及测网的复杂性，使其受周期性水位的影响，随坝体的移动而产生变形；埋在地表土层地区的水准基准点，也可能因为气温冷热不均，土层热胀冷缩影响而产生周期性升降和位移。

所以变形监测网的网型也会随之发生变化。

本文提出用限差检验法来判断点的稳定性，确定其变形模型。

3.3 数据分析与处理
已知某变形监测水准网及两期观测的高差和路线的权列如下表：
表3-5：两期观测高差表：
其中，
122331S S S ==；且观测得
000
1230 3.371 1.999H m H m H m
===，，，其水
准检测网形如下图所示。

图1 水准检测网形图
（1）现在对点位的稳定性进行分析检验
对此水准网第1期观测值进行秩亏自由网平差计算，使用经典的平差公式
1()()T T T
x A PA GG A Pl -=+ 可得误差方程：
123110*********x V x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 选择基准点：[]11
00T
J G =；
211121112N --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；303T A l ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦ 由此可得，
11311121112T
J J N G G --⎡⎤
⎢⎥+=--⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦ 1
113331()3543345T J J N G G -⎡⎤⎢⎥+=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
经解算第1期平差矩阵：
1123012J x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 100010213012xJ Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦ 由此可以计算出误差矩阵
111V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（2）基准转换法
根据经典的平差转换方程，算出2、3点的平差，基准转换方程如下：
1()T T
B B B A x I G G G G x -⎡⎤=-⎣⎦
11()()B B A A T
T T T T
x x B B x x B B Q I G G G G Q I G G G G --⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦
选择2号为基准点，选取基准矩阵：[]20
10T
J G =
可以求得2号的平差矩阵：
1223101J x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦ 220110003102xJ Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦ 同理选择3号为基准点，选取基准矩阵：[]
3001T
J G =
可以求出3号的平差矩阵：
1323210J x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ 321011203000xJ Q ⎡⎤⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦ （3）第二期平差计算
第二期平差计算原理与第一期的平差计算原理相同，分别选取1、2、3号点作为基准，由此可以分别计算出其平差方程。

如下所示。

当选取1号点作为已知点时，基准矩阵为[]
11
00T
J G =
可得平差矩阵
11230135J x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ 100010213012xJ Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦ 当选取2号点作为已知点时，基准矩阵为[]20
10T J G =
可得平差矩阵
12
231308J x x x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ 220110003102xJ Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦ 当选取3号点作为已知点时，基准矩阵为[]
30
01T
J G =
可得平差矩阵
1323580J x x x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ 321011203000xJ Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦ （4）计算坐标差及其协因素阵
根据第1期平差矩阵和第2期平差矩阵，可以得出其坐标差
01471407770H -⎡⎤
⎢⎥∆=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
根据标准差公式：11m
ij i X X m h =∆=∆-∑
可以求得3
111110.531i i H H =∆=∆=--∑；210.5H ∆=；
30H ∆=
根据协因素阵公式：
2
1
2
()j
m
X ij
i Q q
m h ∆==
∆-∑
123
22222
(0)(31)333H H H Q Q Q ∆∆∆=
++===-
又根据
12()()3
T T V PV V PV ==
可以求得
0μ=取t 值为2，可以求得其限差为2 2.8=
又由于
110.5
H ∆=-；
210.5
H ∆=；
30
H ∆=
所以3号点相对稳定。

4. 结论
（1）当水准网中单点（也可多点）发生位移时，用平均间隙法判断位移点
效果良好。

（2）在变形监测网的观测工作中，无论垂直位移观测还是水平位移观测，都是力求使基准点保持稳定不动，即使不能全部不动，也至少应有一组是稳定不动的，以作为改正变形点的依据。

变形监测网一般范围不大，而精度要求较高，从保证成果可靠方面考虑，对监测网的稳定性检验是很必要的。

（3）本文通过对于变形监测的实例进行了分析，结合限差分析法对该变形监测数据进行了处理，得出了相应的变形监测稳定性分析结果。

经实践检验可知，限差分析法可以有效的进行变形监测网基准点的稳定性分析。

参考文献
[1]詹龙喜等。

变形监测基准点的稳定性检验[J]。

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