四色定理的终极证明-证明篇
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如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
公共边现象
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在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
二个区域包围一个区域的情况
•如图1所示，中间的区域只要 用不同于外面二区域的任何颜 色就可以了，而它的存在与否， 也根本不会影响外围二区域与 其它区域的着色。就是说：在 整个最大平面图中可把图1中 左边的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉了中心 O点，把二边形左右两条边AB 合并为一条。
2n边形与（2n 样图5就需要三种颜色，图6就需要四 种颜色。因为中间的黄色是被包围在 公路当中不与外界接触，它的存在与 否不会影响公路与外面地域的着色情 况，所以可以把黄色部分去掉，去掉 中间部分后左右车道就合二为一（如 图中右边所示），图5和图6中右边与 外界的着色关系同左边时仍旧一样。 下方的关系图就是去掉中心点，通过 合并，2n边形只剩下n+1个点n条线 （图5），2n-1边形只剩下n+1个点 n+1条线（图6）。带下划线的这两个 规律其实也适合上面所述的二边形、 三边形、四边形、五边形„„。它们 只是多边形的几个特例。
公共边现象 图8
四色定理终极证明的说明
•一偶然机会，看到一篇《简单明了的四色问题的证明》，作者是焦永溢。这 个证明很有条理，又简单易懂，但是证明方法是否正确呢？我向许多数学爱 好者、数学教授专家求证，理会的人不多。据悉作者本人焦永溢也给众多数 学家、专家教授发过N多邮件，基本石沉大海。 •我查阅大量有关拓扑理论、四色问题、七桥问题等相关资讯；网购并阅读了 许寿椿著的《图说四色问题》和徐俊杰著的《数学四色问题证明》；下载 Inkscape软件绘制各种复杂图形，根据此证明方法，成功将各种图形着色。 其中有一图被称为“加德纳难四着色图”，用此证明方法我不到半小时就成 功着色,1975年此图设计发表，1998年才有公布该图着色文章，而我根据焦永 溢先生的证明方法，仅半小时就成了。 •没有再见到比这更简洁明了的四色定理的证明，我称之为“四色定理的终极 证明”。 •为了更易明了更有层次，更容易使读者理解，将焦永溢先生的证明方法制作 成PPT文件。
五个区域包围一个区域的情况
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如图4所示，周围五个区域中， A与C可用同一种颜色，B与E可 用另一种颜色，D就必须用第三 种颜色，而中心的O就需要用第 四种颜色。由于中间区域与以 上几种情况一样只与包围它的 五个区域有接壤，它的存在与 否，只要外围五区域着色不变 也不会影响其它区域的着色。 就是说：在整个最大平面图中 可把图4中左边的情况看成与右 边一样，下方的关系图就是去 掉中心O点，把E点合并到B点， 只剩下四个点四条线。
三个区域包围一个区域的情况
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如图2所示，中间的区域只 要用不同于外面三区域的任 何第四种颜色就可以了，而 它的存在与否，也根本不会 影响外围三区域与其它区域 的着色。就是说：在整个最 大平面图中可把图2中左边 的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉中心 O点，只剩下外面三边形ABC。
四个区域包围一个区域的情况
四色定理的终极证明
焦永溢 jyy630907@
拓扑学原理
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根据 “拓扑学”原理，平 面地图上不管形状多么复杂、 大小多么不等的每块区域都 可看成一个点。而相互间有 接壤的可用连线来表示（从
图1到图6每幅图上方的区域图 都可用下面的关系图来表示）。
一个区域完全包围另一个区域
这种情况相信不用画图大家也能明了，比 如梵蒂冈处在罗马的包围之中，地图上它只要 用与罗马不同的任何颜色就能分别出来，而处 在中间的梵蒂冈存在与否，不会影响罗马与周 围区域的着色。
短路现象
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在最大平面图上可以把任何一个点当作中间点来去掉，但可能 在包围这个点的多边形的各个顶点当中有的点之间有连线（比 如第1个点与第3、5、7等点有连线，相当于在串联电路中把一 些电阻短路），这些点就不能使用同一种颜色。图7中A与C的连 线就把B点短路了，但一旦有短路现象就一定会产生比原来多边 形边数少的多边形，如图7中就产生三边形AOC包围B点的情况， 这样可以先去掉B点，原来的多边形也就少了一个B点。因为边 数最少的多边形顶点间不可能再有短路，所以只要先找到整个 最大平面图中顶点最少的多边形进行去掉中心点（也就是连接 线最少的点），再把外围的点按图1到图6的 规律进行合并。把减少合并后的线和点，在 最大平面中代替原来多点包围一点的多边形 （就象初等代数中解多元一次方程的代入消 元法一样，用图1到图6的右面取代左面）， 再在新形成的整个平面图上找出顶点最少的 多边形，再用以上同样的方法把连接线最少 的中间点去掉，把外围的多边形合并成几条 线和几个点。这样一步步的减去、合并、代 替下去，任何复杂的最大平面图到最后只剩 下一个三边形。
2n与（2n-1）边形情况
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当外围的点增多时能否与上叙一 样处理呢？回答是肯定的。我们 先来看一条公路状的平面图的着 色（如图5、6所示），公路起点 用一整块红色，左右车道向下对 称的分别用绿、红、绿、红„„ 一块块涂色。当起点终点及左右 两边总块数加起来是偶数2n时， 终点也是一整块并且n是偶数也 用红色，n是奇数用绿色（图5）。 当起点终点及左右两边总块数加 起来是奇数2n-1时，终点左右分 两块，其中一块沿用上面车道着 色方法用红或绿，另一块就要多 用一种颜色蓝（图6）。
如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
公共边现象
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在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
二个区域包围一个区域的情况
•如图1所示，中间的区域只要 用不同于外面二区域的任何颜 色就可以了，而它的存在与否， 也根本不会影响外围二区域与 其它区域的着色。就是说：在 整个最大平面图中可把图1中 左边的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉了中心 O点，把二边形左右两条边AB 合并为一条。
2n边形与（2n 样图5就需要三种颜色，图6就需要四 种颜色。因为中间的黄色是被包围在 公路当中不与外界接触，它的存在与 否不会影响公路与外面地域的着色情 况，所以可以把黄色部分去掉，去掉 中间部分后左右车道就合二为一（如 图中右边所示），图5和图6中右边与 外界的着色关系同左边时仍旧一样。 下方的关系图就是去掉中心点，通过 合并，2n边形只剩下n+1个点n条线 （图5），2n-1边形只剩下n+1个点 n+1条线（图6）。带下划线的这两个 规律其实也适合上面所述的二边形、 三边形、四边形、五边形„„。它们 只是多边形的几个特例。
公共边现象 图8
四色定理终极证明的说明
•一偶然机会，看到一篇《简单明了的四色问题的证明》，作者是焦永溢。这 个证明很有条理，又简单易懂，但是证明方法是否正确呢？我向许多数学爱 好者、数学教授专家求证，理会的人不多。据悉作者本人焦永溢也给众多数 学家、专家教授发过N多邮件，基本石沉大海。 •我查阅大量有关拓扑理论、四色问题、七桥问题等相关资讯；网购并阅读了 许寿椿著的《图说四色问题》和徐俊杰著的《数学四色问题证明》；下载 Inkscape软件绘制各种复杂图形，根据此证明方法，成功将各种图形着色。 其中有一图被称为“加德纳难四着色图”，用此证明方法我不到半小时就成 功着色,1975年此图设计发表，1998年才有公布该图着色文章，而我根据焦永 溢先生的证明方法，仅半小时就成了。 •没有再见到比这更简洁明了的四色定理的证明，我称之为“四色定理的终极 证明”。 •为了更易明了更有层次，更容易使读者理解，将焦永溢先生的证明方法制作 成PPT文件。
五个区域包围一个区域的情况
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如图4所示，周围五个区域中， A与C可用同一种颜色，B与E可 用另一种颜色，D就必须用第三 种颜色，而中心的O就需要用第 四种颜色。由于中间区域与以 上几种情况一样只与包围它的 五个区域有接壤，它的存在与 否，只要外围五区域着色不变 也不会影响其它区域的着色。 就是说：在整个最大平面图中 可把图4中左边的情况看成与右 边一样，下方的关系图就是去 掉中心O点，把E点合并到B点， 只剩下四个点四条线。
三个区域包围一个区域的情况
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如图2所示，中间的区域只 要用不同于外面三区域的任 何第四种颜色就可以了，而 它的存在与否，也根本不会 影响外围三区域与其它区域 的着色。就是说：在整个最 大平面图中可把图2中左边 的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉中心 O点，只剩下外面三边形ABC。
四个区域包围一个区域的情况
四色定理的终极证明
焦永溢 jyy630907@
拓扑学原理
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根据 “拓扑学”原理，平 面地图上不管形状多么复杂、 大小多么不等的每块区域都 可看成一个点。而相互间有 接壤的可用连线来表示（从
图1到图6每幅图上方的区域图 都可用下面的关系图来表示）。
一个区域完全包围另一个区域
这种情况相信不用画图大家也能明了，比 如梵蒂冈处在罗马的包围之中，地图上它只要 用与罗马不同的任何颜色就能分别出来，而处 在中间的梵蒂冈存在与否，不会影响罗马与周 围区域的着色。
短路现象
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在最大平面图上可以把任何一个点当作中间点来去掉，但可能 在包围这个点的多边形的各个顶点当中有的点之间有连线（比 如第1个点与第3、5、7等点有连线，相当于在串联电路中把一 些电阻短路），这些点就不能使用同一种颜色。图7中A与C的连 线就把B点短路了，但一旦有短路现象就一定会产生比原来多边 形边数少的多边形，如图7中就产生三边形AOC包围B点的情况， 这样可以先去掉B点，原来的多边形也就少了一个B点。因为边 数最少的多边形顶点间不可能再有短路，所以只要先找到整个 最大平面图中顶点最少的多边形进行去掉中心点（也就是连接 线最少的点），再把外围的点按图1到图6的 规律进行合并。把减少合并后的线和点，在 最大平面中代替原来多点包围一点的多边形 （就象初等代数中解多元一次方程的代入消 元法一样，用图1到图6的右面取代左面）， 再在新形成的整个平面图上找出顶点最少的 多边形，再用以上同样的方法把连接线最少 的中间点去掉，把外围的多边形合并成几条 线和几个点。这样一步步的减去、合并、代 替下去，任何复杂的最大平面图到最后只剩 下一个三边形。
2n与（2n-1）边形情况
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当外围的点增多时能否与上叙一 样处理呢？回答是肯定的。我们 先来看一条公路状的平面图的着 色（如图5、6所示），公路起点 用一整块红色，左右车道向下对 称的分别用绿、红、绿、红„„ 一块块涂色。当起点终点及左右 两边总块数加起来是偶数2n时， 终点也是一整块并且n是偶数也 用红色，n是奇数用绿色（图5）。 当起点终点及左右两边总块数加 起来是奇数2n-1时，终点左右分 两块，其中一块沿用上面车道着 色方法用红或绿，另一块就要多 用一种颜色蓝（图6）。