高等数学讲义第九章重积分-PPT精选.ppt
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2021/1/9
定义：f(设 x,y)是有界闭D区 上域 的有界, 函数
将D任意分n个 成小闭区 1域 ,2,,n, 其中 i既表示i个 第小闭区 ,也域 表示它的 . 面积
n
在每 个 i中小 任 (i,区 i取 )作 域 一 和 f(i,点 i式 )i
如果当 maxdi0时,l i0mi n1 f(i,i)ii 1
a y 1 (x ) z1 (x ,y)
2021/1/9
如果D 区 xy为域 x1 ： (y)xx2(y),
cyd,则
f(x ,y ,z)d vddx y 2 (y )dzx 2 (x ,y )f(x ,y ,z)dz c x 1 (y ) z 1 (x ,y )
方法2：先计算二重积分再计算定积分
例3.计算三重 e积 ydv， 分其中 是由曲面
x2y2z2 1及y0,y2所源自文库成。
2021/1/9
例4.化三重积分 f (x, y,z)dv为累次积分，
其中是由曲面x2 y2 z2 1及z 0, 4
z 2所围成的区域。
2021/1/9
(2)利用柱面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z) 为空间一点，
并设点 M 在 xoy 面上的投
a
a y1(x)
f(x,y)dbdxy2(x)f(x,y)dy
D
a y1(x)
2021/1/9
(2)设积分区域 D可以用不等式 y
x1(y) x x2(y) , c y d
d
来表示。
y
c
x
0
f(x,y)dddy x2(y)f(x,y)dx c x1(y) D
2021/1/9
例1.将二重积分 f (x, y)d 化为二次积分， D
设函数 f (x, y)在闭区D域上连续 ,是D的面,积 则(,)D,使得
f(x,y)d f (,)
D
2021/1/9
2021/1/9
(1)设积分区域 D可以用不等式 y y1(x) y y2(x) , a x b 来表示。
x
0ax
b
VbA (x)d xbdx y2(x)f(x,y)dy
(如图所示 )
x
F(x,y) z2(x,y) f(x,y,z)dz z1(x,y)
2021/1/9
f (x, y, z)dv F(x, y)d
Dxy
d z2(x,y) f (x, y, z)dz z1(x, y) Dxy
如果D 区 xy为域 y： 1(x)yy2(x),
axb,则
f(x ,y ,z)d vbdy x 2(x )dzy 2(x ,y)f(x ,y ,z)dz
2021/1/9
设它们的方程分别为
z z=z2(x,y)
1 : z z1 ( x , y )，
2 : z z 2 ( x , y )，
其中 z1 ( x , y ), z 2 ( x , y )
z=z1(x,y)
都是 D xy 上的连续函数，
o
y
且 z1(x, y) z2 (x, y)
Dxy
D
D
D
性3质 :
f(x,y)df(x,y)df(x,y)d
D1D2
D1
D2
性4 质 :设 (x,y)D,f(x,y)g(x,y)
则f(x,y)dg(x,y)d
2021/1/9
D
D
性质5:设m f (x, y) M
则m f (x, y)d M
D
其中 表示D的面积。
性质6:(二重积分的中值 ) 定理
例4.计算二重积 xy分 d，其中区 D是 域
D
由y2 x,yx2所围成的区域。
例5.交换积1d分 y1y f(x,y)dx 0 1y2
的积分次序。
2021/1/9
例6.交换积2d分 x 2xx2 f(x,y)dy 1 2x 的积分次序。
y
例7.计算二次1d积y1分 exdx
0
y
例8.计算二次1d积 x1x分 2ey2dy 0x
D
其中区 D:x域 2y21,x0,y0
2021/1/9
2021/1/9
三重积分的性质类似于二重积分
dvV（的体积）
2。三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算三重积分
方法1：先计算定积分再计算二重积分
设平行于z轴且穿过区域内部的直线与的边界 曲面相交不多于两点，域 把区投影到xoy面 上得到一个平面区 Dx域 y，以Dxy的边界曲线为准 线作母线平行z于 轴的柱面。这柱面面 与曲的 交线，把分成上、下两部分。
其中区域D是 (1)由y x, x 2, y 1所围成的区域。 (2)由y x, y 2x, x 1所围成的区域。
例2.计算二重 x积 yd分 ，其中D区 是由 域
D
yx,y2x,y2所围成的区域。
2021/1/9
例3.计算二重积 y分1x2 y2d，其中
D
区域D是由yx,x1, y1所围成的区域。
2021/1/9
2021/1/9
设积分区域是由不等式
0rr(),
r r()
来表示r， ()在 其 [,中 ]上连0续 β α。
则极坐标下二重积分可化为二次积分
f(x,y)d f(rco ,rs si)n rdrd
D
D
r()
d
f(rco,srsin)r
dr
d
0
2021/1/9
例 9.计算二重e积 x2y2d分 ，其中D区 是域
D
圆域 x2y2a2。
例10.计算二重积 x分 yd，其中区D域 是由
D
第一象限x中0, yx,x2 (yb)2 b2 x2 (ya)2 a2(0ab)所围成的区域。
2021/1/9
例 11.计算二重积 R2分 x2y2d，
D
其中区 D:x域 2y2Rx
例 12.计算二重 ln积 1(x分 2y2)d，
z
d
f (x, y, z)dv c F(z)dz z
Dz
d
c dz f (x, y, z)d
Dz
o
y
2021/1/9
x
例1.化三重积分f (x, y,z)dv为累次积分，
其中是由平x面 2y3z1及x0, y0, z 0所围成的区域。
例2.计算三重积 x分 d， v 其 中 是由平面
x2y3z1及x0,y0,z0所围成的区域
存在，则称此函 极数 限 f(x值 ,y)在 为D上的
二重积记 分作 ， :f(x,y)d
即
D
n
D
f(x,y)dlim 0 i1
f(i,i)i
2021/1/9
2。二重积分的性质
性 1 :质 k (x f,y)d kf(x,y)d
D
D
性2:质
f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg (x,y)d
定义：f(设 x,y)是有界闭D区 上域 的有界, 函数
将D任意分n个 成小闭区 1域 ,2,,n, 其中 i既表示i个 第小闭区 ,也域 表示它的 . 面积
n
在每 个 i中小 任 (i,区 i取 )作 域 一 和 f(i,点 i式 )i
如果当 maxdi0时,l i0mi n1 f(i,i)ii 1
a y 1 (x ) z1 (x ,y)
2021/1/9
如果D 区 xy为域 x1 ： (y)xx2(y),
cyd,则
f(x ,y ,z)d vddx y 2 (y )dzx 2 (x ,y )f(x ,y ,z)dz c x 1 (y ) z 1 (x ,y )
方法2：先计算二重积分再计算定积分
例3.计算三重 e积 ydv， 分其中 是由曲面
x2y2z2 1及y0,y2所源自文库成。
2021/1/9
例4.化三重积分 f (x, y,z)dv为累次积分，
其中是由曲面x2 y2 z2 1及z 0, 4
z 2所围成的区域。
2021/1/9
(2)利用柱面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z) 为空间一点，
并设点 M 在 xoy 面上的投
a
a y1(x)
f(x,y)dbdxy2(x)f(x,y)dy
D
a y1(x)
2021/1/9
(2)设积分区域 D可以用不等式 y
x1(y) x x2(y) , c y d
d
来表示。
y
c
x
0
f(x,y)dddy x2(y)f(x,y)dx c x1(y) D
2021/1/9
例1.将二重积分 f (x, y)d 化为二次积分， D
设函数 f (x, y)在闭区D域上连续 ,是D的面,积 则(,)D,使得
f(x,y)d f (,)
D
2021/1/9
2021/1/9
(1)设积分区域 D可以用不等式 y y1(x) y y2(x) , a x b 来表示。
x
0ax
b
VbA (x)d xbdx y2(x)f(x,y)dy
(如图所示 )
x
F(x,y) z2(x,y) f(x,y,z)dz z1(x,y)
2021/1/9
f (x, y, z)dv F(x, y)d
Dxy
d z2(x,y) f (x, y, z)dz z1(x, y) Dxy
如果D 区 xy为域 y： 1(x)yy2(x),
axb,则
f(x ,y ,z)d vbdy x 2(x )dzy 2(x ,y)f(x ,y ,z)dz
2021/1/9
设它们的方程分别为
z z=z2(x,y)
1 : z z1 ( x , y )，
2 : z z 2 ( x , y )，
其中 z1 ( x , y ), z 2 ( x , y )
z=z1(x,y)
都是 D xy 上的连续函数，
o
y
且 z1(x, y) z2 (x, y)
Dxy
D
D
D
性3质 :
f(x,y)df(x,y)df(x,y)d
D1D2
D1
D2
性4 质 :设 (x,y)D,f(x,y)g(x,y)
则f(x,y)dg(x,y)d
2021/1/9
D
D
性质5:设m f (x, y) M
则m f (x, y)d M
D
其中 表示D的面积。
性质6:(二重积分的中值 ) 定理
例4.计算二重积 xy分 d，其中区 D是 域
D
由y2 x,yx2所围成的区域。
例5.交换积1d分 y1y f(x,y)dx 0 1y2
的积分次序。
2021/1/9
例6.交换积2d分 x 2xx2 f(x,y)dy 1 2x 的积分次序。
y
例7.计算二次1d积y1分 exdx
0
y
例8.计算二次1d积 x1x分 2ey2dy 0x
D
其中区 D:x域 2y21,x0,y0
2021/1/9
2021/1/9
三重积分的性质类似于二重积分
dvV（的体积）
2。三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算三重积分
方法1：先计算定积分再计算二重积分
设平行于z轴且穿过区域内部的直线与的边界 曲面相交不多于两点，域 把区投影到xoy面 上得到一个平面区 Dx域 y，以Dxy的边界曲线为准 线作母线平行z于 轴的柱面。这柱面面 与曲的 交线，把分成上、下两部分。
其中区域D是 (1)由y x, x 2, y 1所围成的区域。 (2)由y x, y 2x, x 1所围成的区域。
例2.计算二重 x积 yd分 ，其中D区 是由 域
D
yx,y2x,y2所围成的区域。
2021/1/9
例3.计算二重积 y分1x2 y2d，其中
D
区域D是由yx,x1, y1所围成的区域。
2021/1/9
2021/1/9
设积分区域是由不等式
0rr(),
r r()
来表示r， ()在 其 [,中 ]上连0续 β α。
则极坐标下二重积分可化为二次积分
f(x,y)d f(rco ,rs si)n rdrd
D
D
r()
d
f(rco,srsin)r
dr
d
0
2021/1/9
例 9.计算二重e积 x2y2d分 ，其中D区 是域
D
圆域 x2y2a2。
例10.计算二重积 x分 yd，其中区D域 是由
D
第一象限x中0, yx,x2 (yb)2 b2 x2 (ya)2 a2(0ab)所围成的区域。
2021/1/9
例 11.计算二重积 R2分 x2y2d，
D
其中区 D:x域 2y2Rx
例 12.计算二重 ln积 1(x分 2y2)d，
z
d
f (x, y, z)dv c F(z)dz z
Dz
d
c dz f (x, y, z)d
Dz
o
y
2021/1/9
x
例1.化三重积分f (x, y,z)dv为累次积分，
其中是由平x面 2y3z1及x0, y0, z 0所围成的区域。
例2.计算三重积 x分 d， v 其 中 是由平面
x2y3z1及x0,y0,z0所围成的区域
存在，则称此函 极数 限 f(x值 ,y)在 为D上的
二重积记 分作 ， :f(x,y)d
即
D
n
D
f(x,y)dlim 0 i1
f(i,i)i
2021/1/9
2。二重积分的性质
性 1 :质 k (x f,y)d kf(x,y)d
D
D
性2:质
f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg (x,y)d