使用ESPRIT对阵列信号的波达方向(DOA)估计

z(t)zH (t)
=
ARss
H
A
+ σn2Σn
（11）
设
D
≤
2m
，则
(
R
zz
,
Σn
)
的
2m
−
D
个最小的广义特征值等于
σ
2 n
，而与
D
个最
大广义特征值相对应的特征向量 Es 满足：
{ } Range{Es} = Range A
（12）
式中， Range{g} 表示由矩阵中的向量张成的空间。
则存在唯一的非奇异矩阵 T 满足：
（8）
{ } ( ) ( ) 式中， x
t
,u
t
∈ £ m×1 是带噪声的数据向量， Φ = diag
e ,L , e jω0d sin θ1 c
jω0d sin θD c
表
示两个阵列之间的相位延迟，也称为旋转不变因子， nx
(t)
=
⎡⎣nwenku.baidu.com1 (t ),L
, nxm
(t
)
T
⎤⎦
和
nu (t ) = ⎡⎣nu1 (t ) ,L , num (t )⎤⎦T 为加性噪声向量。
%% 噪声 假设为高斯白噪声，均值为零的
N= wgn(10,2000,3); %% 求信噪比的 S1,S2,S3 信噪比依次是 10 20 30
s_power1=10*log(2.72^2/2);
s_power2=10*log(4.48^2/2);
s_power3=10*log(7.37^2/2);
clear all;close all;clc;
c=3*10^8; f=3*10^9; %% 求得信号的波长 lamda=c/f; %% 阵元的间距 d=lamda/2; %% （n-1）为子阵列的个数 n=10; %% 信号的数目
即 阵元数
5
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signal_number=3; %% 三个信号的角度值 thita1=-25; thita2=30; thita3=65; %% 三个信号的中心频率 f1=40; f2=20; f3=70; %% 在时域来说，是快拍数（一段时间内对阵列数据采样的个数 ）；在频域来说，是 DFT 的时间子段的个数。 snapshot=1:2000; %% S 是信号空间，有三个信号组成 S1=2.72*exp(j*2*pi*f1*snapshot/length(snapshot)); S2=4.48*exp(j*2*pi*f2*snapshot/length(snapshot)); S3=7.37*exp(j*2*pi*f3*snapshot/length(snapshot)); S=[S1;S2;S3]; %% 子阵 1 A1=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita1*pi/180)/lamda).'; A2=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita2*pi/180)/lamda).'; A3=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita3*pi/180)/lamda).'; A=[A1,A2,A3];
（17）
ATΨ = AΦT ⇒ ATΨT−1 = AΦ
（18）
如果信号的入射方向不同，则阵列流行 A 是满秩的，则可以得到：
TΨT−1 = Φ
（19）
显然， Ψ 的特征值必然等于对角矩阵 Φ 的对角元素，而 T 的列向量为 Ψ 的特征
向量。
三、仿真模型假设
本模型采用阵元数 M=10 ，阵元间距为 d=λ/2 ，窄带远场信号，一共三组信 号，其入射角分别为 -25, 30,60。快拍数 N 选择 2000，且三组信号的信噪比 SNR 分别取 10,20,30。三组信号的噪声均看做是均值为零的高斯白噪声，其功 率为 2，随机给出信号组不同的振幅利用 Matlab 进行仿真，对方位进行估计， 若估计值与实际入射角接近，则认为仿真成功。
三、ESPRIT 算法的原理
设由 m 个对偶极子组成的阵元数为 K 的天线阵列，两个子阵列对应元素具
有相等的敏感度模式和相同的位移偏移量 d ， D 个独立的中心频率为 ω0 的窄带
信号源入射到该阵列，两个子阵列第 i 组对应阵元的接收信号可以表示为：
D
xi (t ) = ∑ sk (t ) ai (θk ) + nxi (t )
=
e e ⎡⎣ , ,L − jω0τ1i − jω0τ2i
, e− jω0τMi
T
⎤⎦ 为信号 i 的方向向量， A =
a0 , a1,L , a D−1
为
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阵 列 流 行 ， S(t ) = ⎡⎣s0 (t ), s1 (t ),L , sD−1 (t )⎤⎦T 为 信 号 矩 阵 ， N (t ) = ⎡⎣n1 (t ), n2 (t ),L , nM (t )⎤⎦T 为加性噪声矩阵， [g]T 表示矩阵转置。
1、平面波与阵列
在无线通信中我们通过天线对电磁波进行发射和接收。为了增加电磁波的利
用率和电磁波的波束形状可控，一般采用阵列天线。在一般情况下，将一组传
感器按一定的方式设置在空间不同的位置上组成传感器阵列，此传感器阵列能
够接收空间的传播信号，然后对所接收到的信号经过适当的处理并提取所需的
信号源和信号属性等信息，包括信号辐射源辐射信号的数目、方向、幅度等。
（14）
Range{Ex} = Range{Eu} = Range{A}
（15）
这表明存在一个唯一的秩为 D 的矩阵 F ∈£ 2D×D 可满足：
0 = [Ex | Eu ]F = ExFx + EuFu = ATFx + AΦTFu
（16）
定义：
Ψ = −FxFu−1 把式（13）带入式（16）可得：
式中，τ mi 为第 i 个阵元到达第 m 个阵元时相对于参考阵元的时延， nm (t ) 为第 m
阵元上的加性噪声。根据式（2）和（3）可得，整个天线阵接收到得信号为：
D−1
X(t ) = ∑ si (t ) ai + N (t )
i=0
= AS (t ) + N (t ) （4）
[ ] 式中， ai
ESPRIT 算法有如下优点：它无须像 MUSIC 那样对所有导引向量进行搜寻，直 接由特征值确定 DOA，大大减少了 MUSIC 的计算量；不需要精确知道阵列流型 向量，对阵列校准要求不严格。但是 ESPRIT 算法与 MUSIC 一样，都不能直接 用于处理相干源。
二、背景介绍
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用时间平均来代替统计平均。噪声为互不相关的白噪声，方差为
σ
2 n
。
3. 忽略阵元之间的互耦；
4. 信号的数目要小于阵元的数目，并且阵列接收到得所有信号的波达方向
互不相同，信号之间互不相关；
5. 平面波假设：假设信源到阵列的距离远大于阵列的口径，从而所有入射
到阵列的信号波前金额以近似为平面波。
假设在天线阵的原场存在 D 个信号源，则所有到达阵列的波前可近似为平面
Es = AT
（13）
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利用阵列的旋转不变结构特性， Es 可以分解成为 Ex ∈ £ m×D 和 Eu ∈ £ m×D 。
Es
=
⎡Ex ⎢⎣Eu
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ AT ⎤
⎢⎣AΦT
⎥ ⎦
由于 Ex 和 Eu 共享一个列空间， Exu = [Ex | Eu ] 的秩为 D ，则：
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使用 ESPRIT 对阵列信号 （DOA）估计
课程名称
成
员
信号检测与估计 白柄成 201322190332
2013 年 11 月 29 日
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使用 ESPRIT 算法对阵列信号（DOA）估计
【摘要】在 DOA 的估计中，由于 MUSIC 算法需要进行谱峰搜索，计 算量很大，因此在实际的应用中对于系统的计算速度要求较高。 在 MUSIC 算法以后，人们开始研究各种不需要进行谱峰搜索的快速 DOA 算法。有 Roy 等人提出的旋转不变子空间（ESPRIT）算法是空间谱 估计中的另一种经典算法。ESPRIT 算法的基本思想是利用旋转不变 因子技术来估计信号参数，它把传感器阵列分解成两个完全相同的 子阵列，在两个子阵列中每两个相对应的阵元有着相同的位移，即 阵列具有平移不变性，每两个位移相同的传感器配对。在实际情况 下，比如等间距的直线阵列或双直线阵列都可以满足 ESPRIT 算法对 于阵列天线的要求。它同 MUSIC 算法一样，也需要对阵列接收数据 自相关矩阵进行特征值分解，但是两者存在明显的不同，MUSIC 算法 利用了自相关矩阵信号子空间的正交性，而 ESPRIT 算法利用了自相 关矩阵信号子空间的旋转不变特性。ESPRIT 算法不需要知道阵列的 几何结构，因此对于阵列的校准要求比较低，现在 ESPRIT 算法已经 成为主要的 DOA 估计算法之一。
k =1
（5）
D
∑ ui (t ) =
( ) ( ) ( ) sk
t e a θ jω0d sin θk c ik
+ nui
t
k =1
（6）
式中，θk 表示第 k 个信号源的入射方向，将每个子阵列的接收信号表示成向量
形式有：
x(t) = A(θ )S(t) + nx (t )
(7)
u (t ) = A (θ ) ΦS (t ) + nu (t )
以表示为：
si (t −τ ) = zi ( t −τ ) e jω0(t−τ )
≈ si (t ) e− jω0τ , i = 0,1,L , D −1 （2）
则理想情况下第 m 个阵元接收到的信号可以表示为:
D−1
∑ xm (t ) = si (t −τ mi ) + nm (t ) （3）
i=0
定义整个阵列的接收向量为 z (t ) ，用子阵列接收向量来表示：
式中，
z
(
t
)
=
⎡x ⎢⎣u
(t (t
)⎤ )⎥⎦
=
AS
(
t
)
+
n
z
(
t
)
（9）
（10）
A
=
⎡A⎤
⎢ ⎣
AΦ⎥⎦
,
nz
(t
)
=
⎡nx ⎢⎣nu
(t (t
)⎤ )⎥⎦
天线阵列接收向量 z (t ) 的自相关矩阵为：
{ } Rzz = E
波。若天线阵由 M 个全向天线组成，将第一个阵元设为参考阵元，则到达参考
阵元的第 i 个信号为：
si (t ) = zi (t) ejω0t , i = 0,1,L , D −1 （1）
式中， zi (t) 为第 i 个信号的复包络，包含信号信息。 e jω0t 为空间信号的载波。
由于信号满足窄带假设条件，则 zi (t −τ ) ≈ zi (t),那么经过传播延迟τ 后的信号可
五、结论分析
ESPRIT 算法避免了大多数 DOA 估计方法所固有的搜索过程，大大减小了计算 量，并降低了对于硬件的存储要求。和 MUSIC 算法不同的是，ESPRIT 算法不需 要精确知道阵列的流行向量，因此，对阵列校正的要求不是很严格。
附录
MATLAB 程序：%基本 ESPRIT 算法,第二种方法 最小二乘法
一般来说，构成阵列的阵元可以按照任意的方式进行排列，但是通常是按照直
线等距、圆周等距或平面等距排列的，并且取向相同。为了简化天线阵列的分
析，通常作如下假设：
1. 窄带假设：这样可以保证所有阵元几乎同时接收到该信号，即阵元接收
之间的信号包络没有变化；
2. 信号的统计特性：假设入射到阵列的信号为平稳且各态历经，这样可以
snr1=s_power1-3;
【关键词】 阵列信号 DOA 估计 ESPRIT 算法
一、引言
ESPRIT 是 “Estimating signal parameters viarotational invariance techniques” 的 缩 写，含义是“借助旋转不变技术估计信号参数”，它是由 Roy 等人于1986年提出 的另一种基于子空间的 DOA 估计方法。 其主要的应用领域是测向定位和信号处 理方向，ESPRIT 的思想在于，将传感器阵列分解为两个完全相同的子阵列，两 个子阵中每两个相对应的阵元具有相同的平移，即要求阵列具有平移不变性， 每两个位移相同的阵元匹配成对。实际中许多阵列满足这个条件，比如等距直 线阵。它还有一些改进演算法，如最小二乘 ESPRIT (LS-ESPRIT)，整体最小二乘 ESPRIT(TLS-ESPRIT)等，不再详述。
模型图可以抽象成下图：
θ
……
M
3
2
1
为了使得模型相对简单，此方针是针对这种均匀线阵进行仿真。
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四、仿真结果以及分析
从方 针结果 可以看 出来， 三组信 号的 DOA 估计 分别为 -24.9865 30.0009 64.9773, ，与之前设定的 -25 30 65 ，非常接近，所以仿真成功，同时也 可以看出使用 ESPRIT 对阵列信号的 DOA 估计比较精确。