鄂尔多斯一中2019-2020学年高二(下)第一次调研数学试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

鄂尔多斯一中2019-2020学年高二(下)第一次调研数学试卷(理科)(3
月份)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列求导结果正确的是( )
A. [(1−2x)2]′=2−4x
B. (cos π5)′=−sin π
5
C. [ln(3x)]′=1
3x
D. (x ⋅cosx)′=cosx −xsinx
2. 已知复数z =
i(1−3i)1+i ，则其共轭复数的虚部为( )
A. −1
B. 1
C. −i
D. i
3. 一质点运动规律为S(t)=2t 2+1，则t 从1到1.5内，质点运动的平均速度为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 已知复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，(i 为虚数单位)，则|z
z
|=( )
A. √5
B. √3
C. 2
D. 1
5. 函数
的极小值为( )
A. −4
3
B. 0
C. 28
3
D. 4
3
6. 己知f(x)的定义域为R ，f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在x =1处取得极小值
B. f(x)在x =1处取得极大值
C. f(x)是R 上的增函数
D. f(x)是(−∞,1)上的减函数，(1,+∞)上的增函数
7. “已知函数f(x)=x 2+ax +a(a ∈R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于1
2.”用反证法
证明这个命题时，下列假设正确的是( )
A. 假设|f(1)|≥12且|f(2)|≥1
2 B. 假设|f(1)|<1
2且|f(2)|<1
2
C. 假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于1
2 D. 假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于1
2
8. 若f(x)=ax 3+ax +2(a ≠0)满足f(−1)>1且f(1)<1，则方程f(x)=1解的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
9. 设a ∈R ，若函数y =e x +ax(x ∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为 ( )
A. (−∞,−1)
B. (−1,+∞)
C. (−∞,−1
e )
D. (−1
e ,+∞)
10. 若函数f(x)=x 3+ax 2+3x −9在x =−1时取得极值，则a 的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 不存在
11. 已知函数
的极小值点为2，则f(x)的极大值为( )
A. −5
2
B. −3
2
C. 3
2
D. 5
2
12. 函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，f ′(x)为其导函数，若xf ′(x)+f(x)=e x (x −2)且
f(3)=0，则不等式f(x)<0的解集为( )
A. (0,2)
B. (0,3)
C. (2,3)
D. (3,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=x −cos x 在区间[0,π]上的最大值为________．
14. 已知函数f(x)={x 2−4ax +2(x <1)
log a x (x ≥1)，在区间(−∞,+∞)上是减函数，则a 的取值范围为______ ．
15. 已知椭圆Γ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(3,0)，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交椭圆Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点N(12,0)，则Γ的离心率是______ ．
16. 函数f(x)=ae x 与g(x)=−x −1的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. (1)已知z ∈C ，且|z|−i =z +2+3i(i 为虚数单位)，求复数z
2+i 的虚部．
(2)已知z 1=a +2i ，z 2=3−4i(i 为虚数单位)，且z 1
z 2
为纯虚数，求实数a 的值．
18.已知命题p：方程x2
2m +y2
8−m2
=1表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q：椭圆x2
m2+3+y2
3
=1(m>0)的离心率e∈(1
2
,1)，
若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，且AB⊥AC，点M在棱CC1上，点N是BC
的中点，且满足AM⊥B1N.
(1)证明：AM⊥平面A1B1N；
(2)若CM=C1M，求二面角A1−B1N−C1的正弦值．
+ln x−1在区间(0,e]上的最小值．
20.已知a∈R，求函数f(x)=a
x
21.过双曲线x2−y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线的离心率和渐近线；
(2)求|AB|．
22.已知函数f(x)=aln x−ax−3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数
g(x)=x3+x2·[f′(x)+m
]在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
2
【答案与解析】
1.答案：D
解析：
【试题解析】
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误．
解：对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确．
故选：D．
2.答案：B
解析：
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z，则答案可求．
解：依题意z=3+i
1+i =(3+i)(1−i)
(1+i)(1−i)
=4−2i
2
=2−i，
故z=2+i，其虚部为1，故选B．
3.答案：D
解析：
本题考查了导数的基本概念.利用平均变化率的公式f(x+△x)−f(x)
△x
，代入数据，计算得结论．
解：平均速度为v=2×(1.5)2+1−(2×12+1)
1.5−1
=5，
故选D.
4.答案：D
解析：
本题主要考查复数的几何意义，共轭复数，复数的四则运算，复数的模，属于基础题．
根据题意知z=1+i，z=1−i，利用复数的四则运算法则将z
z
化为a+bi形式，再求模长．解：∵复数z在复平面内对应的点为(1,1)，
∴z=1+i，z=1−i，
∴z
z =1−i
1+i
=(1−i)2
(1+i)(1−i)
=−i，
∴|z
z
|=1．
故选D．
5.答案：A
解析：
本题考查利用导数求函数的极值，属于基础题．
求出导数，得到函数f(x)在(−2,2)上单调递减，在(−∞,−2)，(2,+∞)上单调递增，即可求解．解：f′(x)=x2−4=(x−2)(x+2)，
令f′(x)=0，解得x1=2，x2=−2，
令f′(x)<0，得−2<x<2；令f′(x)>0，得x<−2或x>2，
可得函数f(x)在(−2,2)上单调递减，
在(−∞,−2)，(2,+∞)上单调递增，
故函数在x=2处取得极小值，
即，
故选A ．
6.答案：C
解析：
本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题．
由图得导数的符号，导数大于零函数单调递增，导数的符号决定函数的单调性：导数为正，函数单增；导数为负，函数递减． 解析：
解：由图象易知f ′(x)≥0在R 上恒成立， 所以f(x)在R 上是增函数． 故选C .
7.答案：B
解析：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
假设|f(1)|<1
2且|f(2)|<1
2， 故选：B ．
反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
8.答案：B
解析：
本题主要考查三次函数根的取值情况，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题，由条件f(−1)>1且f(1)<1，得到a <−1
2，求函数的导数f′(x )，根据导数得到函数f (x )单调递减． 解：因为若f(x)=ax 3+ax +2(a ≠0)，满足f(−1)>1且f(1)<1， 所以f (−1)=−1−a +2>1且f (1)=a +a +2<1，
即a <12且a <−12，所以a <−1
2，
因为f ′(x )=3ax 2+a =a (3x 2+1)<0，所以函数f (x )在R 上单调递减， 所以方程f (x )=1解只有1个． 故选B ．
9.答案：A
解析：
本题主要考查利用导数研究函数的极值． 利用导数的根，令导数的根大于0，解得即可．
解：∵y =e x +ax ，∴y′=e x +a ．
令y′=e x +a =0，则e x =−a ，∴x =ln(−a)． 又∵x >0，∴−a >1，即a <−1． 故选A ．
10.答案：D
解析：
本题考查利用导数研究函数的极值，属于简单题．
因为f(x)在x =−1时取极值，则求出f ′(x)得到f ′(−1)=0，解出求出a ，再进行检验即可得解． 解：∵f ′(x)=3x 2+2ax +3，f(x)在x =−1时取得极值， ∴f ′(−1)=6−2a =0， 解得a =3．
经检验，a =3时，f ′(x)=3(x +1)2，f(x)在R 上单调递增， ∴不存在极值点． 故选：D ．
11.答案：A
解析：
本题考查了运用导数研究函数的极值问题，属于基础题．首先求出b的值，再求函数的极值即可．
解：由，
得f′(x)=2
x +x+b=x2+bx+2
x
 (x>0)，
∵x=2为f(x)的极小值点，
∴f′(2)=0，
∴4+2b+2
2
=0，
∴b=−3，
∴f′(x)=x2−3x+2
x
，x>0
令f′(x)=0，得x=1或x=2，
x∈(0,1)时，f′(x)>0，
x∈(1,2)时，f′(x)<0，
x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，
∴x=1时，f(x)取得极大值，x=2时，f(x)取得极小值，
．
故选A．
12.答案：B
解析：
本题考查函数的导数与单调性的结合，属于基础题．
结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．解：令g(x)=xf(x)，由题意可知：g′(x)=e x(x−2)，
∴x∈(0,2)，g′(x)<0，g(x)单调递减，
x∈(2,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增．
且g(0)=0，g(3)=0，
∴g(x)<0⇔f(x)<0的解集为(0,3)，
故选B．
13.答案：π+1
解析：
本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
先求出函数f(x)的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值．
解：函数f(x)=x −cosx ，可得f′(x)=1+sinx ，
∵x ∈[0,π]，∴1+sinx >0，
即f′(x)>0，∴函数f(x)在[0,π]递增，
∴f(x)最大值=f(π)=π+1，
故答案为：π+1．
14.答案：12≤a ≤34
解析：
本题考查了函数的单调性与单调区间，由函数f(x)={x 2−4ax +2(x <1)log a x (x ≥1)
在区间(−∞,+∞)上是减函数可得出a 的取值范围，即可综合求出答案．
解：∵函数f(x)={x 2−4ax +2(x <1)log a x (x ≥1)
在区间(−∞,+∞)上是减函数， ∴{2a ≥1,0<a <13−4a ≥0，解得{a ≥12,0<a <1a ≤34
，解得12≤a ≤34． 故答案为12≤a ≤34． 15.答案：12
解析：
本题考查椭圆的简单几何性质，直线的两点式，考查计算能力，属于中档题．
依题意求得AM 和BN 的方程，联立即可求得M 坐标，代入椭圆方程，即可求得a ，即可求得Γ的离心率．
解：由题意A(0,b)，B(0,−b)，
则直线AM 及BN 的方程，x 3+y b =1，x 12−y b =1，
则{x 3+y b =1
x 12−y b =1，解得：{x =245y =−3b 5，则M(245,−3b 5)， 因为点M 在椭圆Γ上，
所以将点M 的坐标代入椭圆方程：
24225a 2+925=1，解得：a =6， 所以椭圆Γ的离心率e =c a =12，
故答案为：12． 16.答案：(−∞,1]
解析：解：若函数f(x)=ae x 与g(x)=−x −1的图象上存在关于x 轴对称的点，
则方程ae x =x +1⇔a =
x+1e x 在x ∈R 有解， 令ℎ(x)=x+1
e x ，
可得ℎ′(x)=
−x e x ，令−x e x =0，可得x =0，x <0时，函数是增函数，x >0时，函数是减函数，所以a ≤ℎ(0)=1
e 0=1，故a ∈(−∞,1]，
故答案为：(−∞,1]．
由已知，得到方程ae x =x +1⇔a =
x+1e x 在x ∈R 有解，构造函数ℎ(x)利用函数的导数，求解函数的最值，求出a 的范围即可．
本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程ae x =x +1⇔a =x+1e x 在
x ∈R 有解，考查转化思想以及计算能力． 17.答案：解：(1)设z =x +yi ，代入方程|z|−i =z .+2+3i ，得出√x 2+y 2−i =x −yi +2+3i =(x +2)+(3−y)i ，
故有{√x 2+y 2=x +23−y =−1
，解得{x =3y =4， ∴z =3+4i ，复数
z 2+i =3+4i 2+i =2+i ，虚部为1 (2)z 1z 2=a+2i 3−4i =3a−8+(4a+6)i 25，且z 1z 2为纯虚数则3a −8=0，且4a +6≠0，解得a =83
解析：本题考查了复数中的基本知识和计算：纯虚数、实部、虚部的概念，复数的加减乘除混合运算．属于基础题．
(1)设z =x +yi ，代入方程|z|−i =z .
+2+3i ，整理后利用复数相等的概念求出引入的参数x ，y 的值，即可求得复数z ，再求出复数z 2+i 确定其虚部． (2)将z 1
z 2化为代数形式，再令其实部为0，虚部不为0即可
18.答案：解：若p 为真，则{ 2m >0 8−m 2>08−m 2>2m
，得到0<m <2；
若q 为真，则1 4 < c 2 a 2 <1，即14a 2
<a 2−b 2<a 2，
得到−34a 2<−b 2<0，于是3<3
4(m 2+3)，
可得，m >1，
由p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 真q 假，或p 假q 真，
p 真q 假时{ 0<m <2 m ≤1，得到0<m ≤1；
p 假q 真时
{m ≥2或m ≤0
m >1
，得到m ≥2；
综上所述，实数m 的取值范围为(0,1]∪[2,+∞)．
解析：本题考查了复合命题真假的简单应用，属于基础题．
根据题意求出命题p 、q 为真时m 的范围分别为0<m <2、m >1，
由p ∨q 为真，p ∧q 为假得p 真q 假，或p 假q 真，进而求出答案即可．
19.答案：解：(1)证明：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ，
AC ∩AA 1=A ，
∴AB ⊥平面ACC 1A 1，
∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥AM ，
∵AB//A 1B 1，∴A 1B 1⊥AM ，
又AM ⊥B 1N ，A 1B 1∩B 1N =B 1，
∴AM ⊥平面A 1B 1N.
(2)解：以AB ，AC ，AA 1分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
设AA 1=a ，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，
B 1(1,0，a)，M(0,1，a 2)，N(12,12,0)，
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，a 2)，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−a)， ∵AM ⊥B 1N ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−a 22=0，解得a =1，即AA 1=1， ∴B 1(1,0，1)，M(0,1，12)，C 1(0,1，1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)，
B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−1)，
C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−1)， 设平面B 1NC 1的法向量n
⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y −z =0n
⃗ ⋅C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −12y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，0)， 由(1)由知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12
)是平面A 1B 1N 的一个法向量， ∴cos <n ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√52=√105．
∴二面角A 1−B 1N −C 1的正弦值为(√105)=√155
．
解析：(1)推导出AB ⊥平面ACC 1A 1，从而AB ⊥AM ，由AB//A 1B 1，得A 1B 1⊥AM ，再由AM ⊥B 1N ，能证明AM ⊥平面A 1B 1N.
(2)以AB ，AC ，AA 1分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A 1−B 1N −C 1的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.答案：解：f′(x)=−a x 2+1x =x−a
x 2，
①a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，
∴f(x)在(0,e]无最小值，
②0<a <e 时，令f′(x)>0，解得：x >a ，令f′(x)<0，解得：0<x <a ，
∴函数f(x)在(0,a)递减，在(a,e]递增，
∴f(x)min =f(a)=1+lna −1，
③a ≥e 时，f′(x)<0，
f(x)在(0,e]单调递减，
∴f(x)min =f(e)=a e
．
解析：先求出函数f(x)的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，从而求出区间上的最小值． 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题． 21.答案：解：(1)双曲线x 2−y 2=1中a =b =1，
∴c =√2，
∴e =√2，y =±x ；
(2)AB 的斜率为tan60°=√3，
又双曲线x 2−y 2=1的右焦点F(√2,0)，
故AB 的方程为y −0=√3(x −√2)，
代入双曲线x 2−y 2=1的方程化简，可得：2x 2+6√2x −7=0，
∴x 1+x 2=−3√2，x 1x 2=−72，
∴|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=2√18+14=8√2．
解析：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
(1)双曲线x 2−y 2=1中a =b =1，c =√2，可得双曲线的离心率和渐近线；
(2)确定AB 的方程，代入双曲线x 2−y 2=1的方程化简可得2x 2+6√2x −7=0，即可求|AB|． 22.答案：解：(1)当a =−1时，f (x )=(x−1)x (x >0)，
解f′(x)>0，得x ∈(1,+∞)；解f′(x)<0得x ∈(0,1)，
所以，f(x)的单调增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)，
可知f(x)min =f(1)，所以f(x)≥f(1)．
(2)∵f′(x)=
a(1−x)x (x >0)，函数y =f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°， ∴f′(2)=−a 2=1，得a =−2，f(x)=−2lnx +2x −3，
∴g (x )=x 3+(m 2+2)x 2−2x ，∴g′(x)=3x 2+(m +4)x −2， ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)=−2，∴{g′(x )<0g′(3)>0
， 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，
所以有，{g′(1)<0g′(2)<0g′(3)>0
，解得−373<m <−9．
故m 的取值范围为(−
373,−9)．
解析：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力．
(1)当a =−1时，求出f′(x)，解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，可得单调区间，根据最值情况可比较f(x)与f(1)的大小关系；
(2)由函数y =f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°，可求出a 值，对于任意的t ∈[1,2]，函数g(x)在区间(t,3)上总不单调，则g(x)在区间(t,3)内总存在极值点，由此可得到关于m 的约束条件，解出即可．。